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14个填空题专项强化练(十五)推理与证明A组题型分类练题型一合情推理1已知不等式1，1，1，照此规律总结出第n个不等式为_解析：由已知，三个不等式可以写成1，1，1，所以照此规律可得到第n个不等式为1.答案：12对于命题：若O是线段AB上一点，则有0.将它类比到平面的情形是：若O是ABC内一点，则有SOBCSOCASOBA0.将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有_解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：若O为四面体ABCD内一点，则有VOBCDVOACDVOABDVOABC0.答案：VOBCDVOACDVOABDVOABC03观察下列等式：24，24；3，3；4，4；，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n的等式，这个等式可以表示为_解析：由归纳推理得(n1)， (n1)，所以得出结论(n1)(n1)(nN*)答案：(n1)(n1)(nN*)4已知圆的方程是x2y2r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为xx0yy0r2.类比上述性质，可以得到过椭圆1上一点P(x0，y0)的切线方程为_解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换故可得椭圆1类似的性质为：过椭圆1上一点P(x0，y0)的切线方程为1.答案：1题型二演绎推理1已知函数f(x)x3x，对于等差数列an满足：f(a21)2，f(a2 0163)2，Sn是其前n项和，则S2 017_.解析：因为函数f(x)x3x为奇函数，且在R上单调递增，又因为f(a21)2，f(a2 0163)2，则a21(a2 0163)，即a2a2 0164，即a1a2 0174.则S2 017(a1a2 017)4 034.答案：4 0342.如图，在平面直角坐标系xOy中，分别在x轴与直线y(x1)上从左向右依次取点Ak，Bk，k1,2，其中A1是坐标原点，使AkBkAk1都是等边三角形，则A10B10A11的边长是_解析：因为AkBkBk1是一个内角为的直角三角形，易得A1A21，且2, 所以A10B10A11的边长是以A1A21为首项，2为公比的等比数列的第10项，所以A10B10A11的边长是129512.答案：5123.如图，在平面斜坐标系xOy中，xOy，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若xe1ye2(其中e1，e2分别是x轴，y轴正方向上的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y)，向量的斜坐标为(x，y)给出以下结论：若60，P(2，1)，则|；若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)；若(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2y1y2；若60，以O为圆心、1为半径的圆的斜坐标方程为x2y2xy10.其中所有正确结论的序号是_解析：对于，OP是两邻边长分别为2,1，且一内角为60的平行四边形较短的对角线，解三角形可知|，故正确；对于，若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)，故正确；对于，(x1，y1)，(x2，y2)，所以(x1e1y1e2)(x2e1y2e2)，因为e1e20，所以x1x2y1y2，故错误；对于，设圆O上任意一点为P(x，y)，因为OP1，所以(xe1ye2)21，所以x2y2xy10，故正确故填.答案：4在ABC中，已知AB2，AC2BC26，则tan C的最大值是_解析：法一：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点，建立平面直角坐标系如图所示，则A(1,0)，B(1,0)设点C坐标为(x，y)(y0)，由AC2BC26，得(x1)2y26，即x，所以C.过C作CDAB，垂足为D，所以tanACD，tanBCD，所以tan CtanACB tan(ACDBCD)，当且仅当“y，即y”时取等号，所以tan C的最大值为.法二：设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则c2，b2a26，所以2b22a23c2，由余弦定理得，cos C，故tan C.且当a，b，c2时，tan C.所以tan C的最大值为.答案：题型三直接证明与间接证明1用反证法证明命题：若abc为偶数，则“自然数a，b，c恰有一个偶数”时应反设为_解析：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数”答案：自然数a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数2若0a1,0b1，且ab，则在ab,2，a2b2和2ab中最大的是_解析：因为0a1,0b2，a2b22ab，ab(a2b2)a(1a)b(1b)0，所以ab最大答案：ab3下列条件：ab0，ab0，a0，b0，a0，b0，其中能使2成立的条件的序号是_解析：要使2，只需0且0成立，即a，b不为0且同号即可，故都能使2成立答案：4凸函数的性质定理：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，xn，有f，已知函数ysin x在区间(0，)上是凸函数，则在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值为_解析：因为f(x)sin x在区间(0，)上是凸函数，且A，B，C(0，)所以ff，即sin Asin Bsin C3sin，所以sin Asin Bsin C的最大值为.答案：B组高考提速练1若P，Q(a0)，则P，Q的大小关系是_解析：因为P22a722a72，Q22a722a72，所以P2Q2，所以PQ.答案：P2矛盾，故假设不成立，所以能推出：“a，b中至少有一个大于1”在中，若a2，b3，则a2b22成立，故不能推出：“a，b中至少有一个大于1” .答案：3.将正整数1,2,3,4，按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数是_解析：由三角形数组可推断出，第n行共有2n1项，且最后一项为n2，所以第10行共有19项，最后一项为100，故左数第10个数是91.答案：914定义运算：xy例如：343，(2)44，则函数f(x)x2(2xx2)的最大值为_解析：由题意可得f(x)x2(2xx2)当0x2时，f(x)0,4；当x2或x0时，f(x)(，0)综上可得函数f(x)的最大值为4.答案：45已知点An(n，an)为函数y图象上的点，Bn(n，bn)为函数yx图象上的点，其中nN*，设cnanbn，则cn与cn1的大小关系为_解析：由题意知，an，bnn，所以cnn.显然，cn随着n的增大而减小，所以cncn1.答案：cncn16已知：f(x)，设f1(x)f(x)，fn(x)fn1fn1(x)(n1且nN*)，则通过计算分析，猜想fn(x)(nN*)的表达式为_解析：由f1(x)f(x)和fn(x)fn1fn1(x)(n1且nN*)，得f2(x)f1f1(x)，f3(x)f2f2(x)，由此猜想fn(x)(nN*)答案：fn(x)(nN*)7定义：如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常，那么这个列叫作等差列，这个常叫作等差列的公差已知向量列an是以a1(1,3)为首项，公差为d(1,0)的等差向量列，若向量an与非零向量bn(xn，xn1)(nN*)垂直，则_.解析：易知an(1,3)(n1,0)(n,3)，因为向量an与非零向量bn(xn，xn1)(nN*)垂直，所以，所以.答案：8二维空间中，圆的一维测度(周长)l2r，二维测度(面积)Sr2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S4r2，三维测度(体积)Vr3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V8r3，则其四维测度W_.解析：在二维空间中，圆的二维测度(面积)Sr2，则其导数S2r，即为圆的一维测度(周长)l2r；在三维空间中，球的三维测度(体积)Vr3，则其导数V4r2，即为球的二维测度(表面积)S4r2；应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V8r3，则其四维测度W2r4.答案：2r49大数学家拉普拉斯曾经这样说过“数学本身赖以获得真理的重要手段就是归纳和类比”事实上，数学中的许多重要定理和猜想都是通过归纳总结出来的，如欧拉公式：观察三棱锥、四棱锥、三棱柱、五棱柱等多面体，发现其顶点数V与面数F的和与棱数E相差2，即VFE2，于是猜想任意凸多面体都具有这样的性质，后经过严格证明确实如此利用上述思想，观察下列等式：11234934567254567891049则第7个等式左端的和式的最后一个数字、右端的结果分别是_、_.解析：由1,4,7,10知，第7个等式左端的和式的最后一个数字为16319；由12,32,52,72知，第7个等式右端的结果为132169.答案：1916910设二次函数f(x)ax2bxc(a，b，c为常数)的导函数为f(x)对任意xR，不等式f(x)f(x)恒成立，则的最大值为_解析：f(x)ax2bxc，f(x)2axb，对任意xR，不等式f(x)f(x)恒成立，ax2bxc2axb恒成立，即ax2(b2a)x(cb)0恒成立，故(b2a)24a(cb)b24a24ac0，且a0，即b24ac4a2，4ac4a20，ca0，10，故22.当且仅当22时等号成立，故的最大值为22.答案：2211若数列an满足：对任意的nN*，只有有限个正整数m使得amn成立，记这样的m的个数为(an)*，则得到一个新数列(an)*例如，若数列an是1,2，3，n，则数列(an)*是0,1,2，n1，已知对任意的nN*，ann2，则(a5)*_，(an)*)*_.解析：因为am5，而ann2，所以m1,2，所以(a5)*2.因为(a1)*0，(a2)*1，(a3)*1，(a4)*1，(a5)*2，(a6)*2，(a7)*2，(a8)*2，(a9)*2，(a10)*3，(a11)*3，(a12)*3，(a13)*3，(a14)*3，(a15)*3，(a16)*3，所以(a1)*)*1，(a2)*)*4，(a3)*)*9，(a4)*)*16，猜想(an)*)*n2.答案：2n212如下图所示的数阵中，第10行第2个数字是_1解析：根据题中所给数据，找出每行第2个数字的规律为：从第2行起，每一行第2个数字的分母加上所在行数为下一行的第2个数字的分母，所以按照规律，依次往下推得知，第6行为，第7行为，第8行为，第9行为，第10行为，所以答案为.答案：13已知对任意的xR,3a(sin xcos x)2bsin 2x3(a，bR)恒成立，则当ab取得最小值时，a的值是_解析：令sin xcos x，则sin 2x，代入得(ab)3，即ab2.而当ab2时，令sin xcos xt，t， ，代入并整理得2bt23(2b)t32b0，对t， 恒成立所以9(2b)28b(32b)0，即(5b6)20，从而b，a.而当a，b时，3a(sin xcos x)2bsin 2x233.所以ab取得最小值2，此时a.答案：14观察下列等式：123nn(n1)；136n(n1)n(n1)(n2)；1410n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)可以推测，1515n(n1)(n2)(n3)_.解析：根据式子中的规律可知，等式右侧为n(n1)(n2)(n3)(n4)n(n1)(n2)(n3)(n4)答案：n(n1)(n2)(n3)(n4)9
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