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第77讲 轨迹方程的求法【知识要点】 一、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义 在直角坐标系中，如果曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（完备性）.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.二、求简单的曲线方程的一般步骤：建设限代化（1） 建立直角坐标系：利用垂直性和对称性建立适当的坐标系；（2） 设点：用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标（不要把其它的点的坐标设成）；（3） 列出动点满足的限制条件：用坐标表示条件,列出方程；（4） 代点坐标到方程；（5） 化简：化方程为最简形式；（6） 检验：检验某些特殊点是否满足题意，把不满足的点排除，把满足的点补充上来.（可以省略）三、求轨迹方程的四种主要方法 ：轨迹四法 待代直参 （1）待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程.（2）代入法：如果点的运动是由于点的运动引起的，可以先用点的坐标表示点的坐标，然后代入点满足的方程，即得动点的轨迹方程.（3）直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程.（4）参数法：动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参. 四、轨迹和轨迹方程 轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程只求那个方程即可，不需描述曲线的特征.【方法讲评】 方法一直接法使用情景已知中或图形中有动点满足的方程.解题步骤直接把动点的坐标代入已知的方程化简即可. 【例1】线段与互相垂直平分于点，动点满足，求动点的轨迹方程 【解析】 【点评】（1）这种题目由于已知中没有直角坐标系，所以首先要根据垂直性和对称性建立直角坐标系，由于建立坐标系的方法有多种，所以求出的轨迹方程有多种，但是都是对的；（2）这道题是直接用坐标化简已知中的得到的轨迹方程，运用的是直接法. 【例2】 已知圆： ，由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，并且，求点的轨迹. 【点评】（1）这道题运用的是直接法，但是它是把已知条件转化得到的一个等式，不是现存的等式.（2）轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹包含轨迹方程和对轨迹方程表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程只求那个方程即可，不需描述曲线的特征.所以本题要描述轨迹的基本特征. 【反馈检测1】在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为、，动点满足:直线与直线的斜率之积为（1）求动点的轨迹方程；（2）设为动点的轨迹的左右顶点，为直线上的一动点（点不在x轴上），连交的轨迹于点，连并延长交的轨迹于点，试问直线是否过定点？若成立，请求出该定点坐标，若不成立，请说明理由 【反馈检测2】一条双曲线的左、右顶点分别为，点，是双曲线上不同的两个动点. （1）求直线与交点的轨迹的方程式；（2）若过点（）的两条直线和与轨迹都只有一个交点，且 ,求的值. 方法二待定系数法使用情景通过已知条件的分析可以得到动点满足某种曲线（圆、圆锥曲线）的定义.解题步骤（1）分析出动点满足的方程；（2）证明动点满足某曲线（圆、圆锥曲线）的定义；（3）设出该曲线的待定系数方程；（4）求出待定系数，即得所求的轨迹方程.【例3】 已知动圆P与两定圆和都外切，求动圆圆心的轨迹方程 【点评】（1）此道题通过对已知的分析得到，即动点到两个定点的距离的差是一个常数，与双曲线的定义相符，所以其轨迹是双曲线的一支，利用的是待定系数法；（2）利用待定系数法求轨迹方程时，一定要比较全面地分析条件和曲线的定义，看是曲线的全部，还是曲线的部分，此题也不是双曲线的全部，是双曲线的一支. 【例4】已知点到点的距离比到点到直线的距离小4；（）求点的轨迹的方程；（）若曲线上存在两点关于直线l:对称，求直线的方程.【解析】（1）结合图形知，点不可能在轴的左侧，即到点的距离等于到直线的距离的轨迹是抛物线，为焦点，为准线的轨迹方程是： （2）设则 相减得 又的斜率为4则 中点的坐标为， 即经检验，此时，与抛物线有两个不同的交点，满足题意【点评】（1）本题的第一问利用的就是待定系数法，通过对动点的分析，发现它满足抛物线的定义,所以动点的轨迹是抛物线.(2)第二小问利用了点差法，可以提高解题效率.【反馈检测3】已知垂直平分线与交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）已知点， 过点且斜率为（）的直线与点的轨迹相交于两点，直线，分别交直线于点,，线段的中点为，记直线的斜率为.求证:为定值. 方法三代入法使用情景某被动点之所以在运动，是因为主动点在某曲线上运动引起的.解题步骤（1）先利用被动点的坐标表示主动点的坐标；（2）把动点的坐标代入它满足的方程化简. 【例5】已知抛物线和点，为抛物线上一点，点在线段上且，当点在该抛物线上移动时，求点的轨迹方程 【点评】点之所以在动，就是因为点在动，所以点是被动点，点是主动点，这种情景，应该利用代入法求轨迹方程. 【反馈检测4】 已知的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程 方法四消参法使用情景如果动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的.解题步骤（1）选参设参；（2）用这个参数表示动点的坐标，即；（3）消去参数，化简. 【例6】已知曲线（1）证明:当时，曲线是一个圆；（2）求证圆心在一条定直线上. 【点评】（1）此题求圆心在一定直线上，就是求动点的轨迹是一条直线；（2）圆心的运动主要是因为参数引起的，所以选用消参法解答.【反馈检测5】 已知线段，直线垂直平分于，在上取两点，使有向线段满足，求直线与的交点的轨迹方程 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第77讲:轨迹方程的求法参考答案 【反馈检测1答案】（1）；（2）直线恒过定点 【反馈检测2答案】（1）；（2）.【反馈检测2详细解析】由双曲线的左、右顶点分别为得.所以两式相乘得而点在双曲线上，所以即故，即.（2）设，则由知，.将代入得，即，由与E只有一个交点知，即.同理，由与E只有一个交点知，消去得，即，从而，即.【反馈检测3答案】（1）;（2）. （2）设过点（1,0），且斜率为（）的直线方程为，设点，点, 将直线方程代入椭圆： ，整理得：， 因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，且. 直线的方程为，直线的方程为，令，得点，点，所以点的坐 直线的斜率为. 将代入上式得，. 所以为定值. 【反馈检测4答案】 【反馈检测5答案】【反馈检测5详细解析】如图2，以线段所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立直角坐标系设点，则由题意，得由点斜式得直线的方程分别为两式相乘，消去，得这就是所求点的轨迹方程10
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