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第39讲 数列求和的方法【知识要点】一、数列的求和要有通项意识，先要对通项特征进行分析（数列的通项决定了数列的求和方法），再确定数列求和的方法.二、数列常用的求和方法有六种：求和六法 一公二错三分四裂五倒六并，最后一定要牢记，公比为1不为1.1、公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.等差数列求和公式：等比数列求和公式：常见的数列的前项和：， =,，等.2、错位相减法：若数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令 ,则两式错位相减并化简整理即得.3、分组求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：，特别地当时， ，特别地当时 5、倒序相加法：类似于等差数列的前项和的公式的推导方法.如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和.这一种求和的方法称为倒序相加法.6.并项求和法.有些数列的通项里有，这种数列求和时，一般要分奇数和偶数来分类讨论.【方法讲评】方法一公式法使用情景如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.解题步骤直接代入公式即可. 【例1】已知等比数列中，,公比,又分别是某等差数列的第项，第项，第项.(1)求；(2)设,求数列的前项和.【解析】（1）依题意有，即,，即2.,.故.【点评】（1）利用公式法求数列的前项和，一般先求好数列前项和公式的各个基本量，再代入公式.（2）第2问注意要分类讨论，因为与7的大小关系不能确定.【反馈检测1】已知是公差不为零的等差数列，且成等比数列.（）求数列的通项；（）求数列的前项和. 方法二错位相减法使用情景已知数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.解题步骤若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令，则 两式相减并整理即得.【例2】 已知函数 ，是数列的前项和，点（，）（）在曲线上.（）求数列的通项公式；（）若，且是数列的前项和. 试问是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.（）因为 所以 得 .整理得， 策略二 利用商值比较法由式得.因为所以，即. 所以所以存在最大值.策略三 利用放缩法由式得，又因为是数列的前项和，所以. 所以所以存在最大值.【反馈检测2】数列的通项是关于的不等式的解集中正整数的个数，（1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和；（3）求证：对且恒有方法三分组求和法使用情景有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列.解题步骤可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.【例3】已知数列的前项和为，且满足（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）数列满足，其前项和为，试求满足的最小正整数（2）设 【点评】（1）数列求和时，要分成两个数列求和，其中一个是数列通项是，它用错位相减来求和，另外一个数列是，它是一个等差数列，直接用公式法求和.（2）解不等式时，直接用代值试验解答就可以了.【反馈检测3】已知数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.方法四裂项相消法使用情景类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.解题步骤把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和. 【例4】 已知等差数列满足：，.的前项和为. （）求 及；（）令（）,求数列的前项和.【解析】（）设等差数列的公差为，因为，所以有，解得，所以；=.（）由（）知，所以bn=，【点评】利用裂项相消时，注意消了哪些项，保留了哪些项.如，.为了确定保留了哪些项，最好前后多写一些项.【反馈检测4】 设数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和. 【反馈检测5】已知各项均为正数的数列的前项和为,且().() 求的值及数列的通项公式； () 记数列的前项和为,求证:().方法五倒序相加法使用情景如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和.解题步骤可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和.【例5 】 已知数列的前项和，函数对有，数列满足.（1）分别求数列、的通项公式；（2）若数列满足，是数列的前项和，若存在正实数，使不等式对于一切的恒成立，求的取值范围【解析】（1） -得 即 要使得不等式恒成立,对于一切的恒成立,即 令,则当且仅当时等号成立,故 所以为所求. 【点评】如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可以利用倒序相加法求和.【例6】求证：【点评】如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可以利用倒序相加法求和.【反馈检测6】已知函数（1）证明：；（2）求的值.方法六并项求和法使用情景有些数列的通项里有，这种数列求和时，一般要分奇数和偶数来分类讨论.解题步骤一般把项数分成奇数和偶数两种情况分类讨论. 【例7】求和：【解析】当为偶数时，当为奇数时，【点评】（1）如果数列的通项里有，这种数列求和时，一般要分奇数和偶数来分类讨论.把两项合成一项来求和. (2)这种情况最好先计算偶数的情况，再计算奇数的情况.讨论奇数情况时，为了减少计算量，提高计算效率，可以利用，而可以利用前面计算出来的偶数的结论（因为是偶数），只要把偶数情况下表达式中所有的都换成即可.【反馈检测7】已知数列的首项为，前项和，且数列是公差为的等差数列（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第39讲：数列求和的方法参考答案【反馈检测1答案】（1）；（2）.【反馈检测1详细解析】（）由题设知公差，由，成等比数列得，解得， 故的通项.()由（）知，由等比数列前项和公式得.【反馈检测2答案】（1）；（2）；（3）见解析.（3） 由知于是故当且时为增函数 综上可知 . （2）由（1）知，故数列的前项和【反馈检测4答案】（1）；（2）.【反馈检测4详细解答】（1）因为， 所以当时， 当时， ，得，所以因为，适合上式，所以；（2）由（1）得，所以，所以【反馈检测5答案】（1）， ；（2）见后面解析.【反馈检测5详细解析】()当时,解得或(舍去) 当时,相减得即,又,所以,则,所以是首项为,公差为的等差数列,故 证法二:当时,当时,先证,即证显然成立.所以所以, 综上,对任意,均有成立.【反馈检测6答案】（1）；（2）.【反馈检测7答案】（1）；（2）【反馈检测7详细解析】（1）（1）由已知得， 当时，（2）由可得当为偶数时，综上， 16
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