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第37讲 数列通项的求法二（构造法）【知识要点】一、数列的通项公式如果数列的第项和项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.即.不是每一个数列都有通项公式.不是每一个数列只有一个通项公式.二、构造法求数列的通项类型一：已知，一般利用待定系数法构造等比数列求通项.类型二：已知数列，一般利用待定系数法构造等比数列求通项.类型三：已知，一般利用待定系数法构造等比或等差数列求通项.类型四：已知，一般利用待定系数法构造等比数列求通项.类型五：已知，一般利用倒数构造等差数列求数列的通项.类型六：已知，一般利用取对数构造等比数列.【方法讲评】类型一构造法一使用情景已知解题步骤一般利用待定系数法构造等比数列求通项.【例1】已知数列满足=1，= ()，求数列的通项公式.【点评】（1）已知，一般可以利用待定系数法构造等比数列，其公比为（2）注意数列的首项为，不是对新数列的首项要弄准确.【反馈检测1】已知数列中，=2，= ，求的通项公式.类型二构造法二使用情景已知数列解题步骤一般利用待定系数法构造等比数列求通项.【例2 】已知数列满足，求数列的通项公式.由及式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则.【点评】本题解题的关键是把递推关系式转化为，其中要用到待定系数法，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式. 【反馈检测2】 在数列中，=6 ，求通项公式.类型三构造法三使用情景已知解题步骤一般利用待定系数法构造等比或等差数列求通项.【例3 】已知数列满足，求数列的通项公式.【点评】（1）本题的一个关键是先要把变成,这样才便于后面构造数列,否则不方便构造. （2）换元之后原等式变成，即型，又可以利用前面的构造方法构造一个等比数列求数列通项.【反馈检测3】已知数列满足，求数列的通项公式.【例4】 已知数列满足，求数列的通项公式.【点评】（1）本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式.（2）已知，有时可以构造等比数列，有时可以构造等差数列，本题是构造等比数列，此时的系数和指数函数的底数相同.【反馈检测4】数列满足且.求、； 是否存在一个实数，使此数列为等差数列？若存在求出的值及；若不存在，说明理由.类型四构造法四使用情景已知解题步骤一般利用待定系数法构造等比数列求通项.【例5】 数列中，求数列的通项公式.【解析】比较系数得 若取【点评】（1）递推式为时，可以设，其待定系数求出，从而得到一个等比数列.（2）这种特征的构造一般要结合其它方法才能得出结果.此题就结合了累差法.【反馈检测5】在数列中，当， 求通项公式.类型五构造法五使用情景已知解题步骤一般利用倒数构造等差数列求数列的通项.【例6】已知数列满足求数列的通项公式.【解析】取倒数 【点评】（1）形如递推式，考虑函数倒数关系有型.（2）对于形如的也可以在方程的两边同时除以，再构造等差数列. 【反馈检测6】 已知数列中，其中，且当时，求通项公式.类型六构造法六使用情景已知解题步骤一般利用取对数构造等比数列.【例7】若数列中，=3且（是正整数），求它的通项公式是. 【反馈检测7】已知数列满足，求数列的通项公式.【反馈检测8】设数列的各项都是正数，为数列的前n项和，且对任意.都有 ,. (e是自然对数的底数，e=2.71828） (1)求数列、的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)试探究是否存在整数，使得对于任意，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第37讲：数列通项的求法二（构造法）参考答案【反馈检测1答案】=【反馈检测2答案】【反馈检测2详细解析】 式可化为： 比较系数可得：=-6， 式为是一个等比数列，首项，公比为.即 故.【反馈检测3答案】【反馈检测3详细解析】在原等式两边同除以，得【反馈检测4答案】（1）=5；（2）=.【反馈检测5答案】【反馈检测5详细解析】式可化为：比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.式可化为：则是一个等比数列，首项=2-2（-1）=4，公比为3.利用上题结果有：.【反馈检测6答案】【反馈检测6详细解析】将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.【反馈检测7答案】【变式演练7详细解析】因为，所以.在式两边取常用对数得设所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此则.【反馈检测8答案】（1），；（2）；（3）时，原不等式恒成立. （2）由（1）知， 所以，由-得， 所以. （3）由，得，由可得，即使得对于任意且，不等式恒成立等价于使得对于任意且，不等式恒成立. . （或用导数求在上的最大值.）解得,所以当时，取最小值，最小值为,所以时，原不等式恒成立. 11
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