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突破点12 圆锥曲线的定义、方程、几何性质核心知识提炼提炼1 圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系在椭圆中：a2b2c2；离心率为e；在双曲线中：c2a2b2；离心率为e.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx；焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)；双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，焦点坐标F1(0，c)，F2(0，c)(3)抛物线的焦点坐标与准线方程抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，准线方程为x；抛物线x22py(p0)的焦点坐标为，准线方程为y.提炼2 弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.(2)抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2；弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)；以弦AB为直径的圆与准线相切高考真题回访回访1圆锥曲线的定义与方程1(2015全国卷)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_y21法一：双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为x24y2(0)双曲线过点(4，)，164()24，双曲线的标准方程为y21.法二：渐近线yx过点(4,2)，而0，b0)由已知条件可得解得双曲线的标准方程为y21.2(2013全国卷改编)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，则C的方程为_1(x2)由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M、N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)回访2圆锥曲线的重要性质3(2017全国卷)若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是()A(，)B(，2)C(1，) D(1,2)C由题意得双曲线的离心率e.e21.a1，01，112，1e.故选C.4(2016全国卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.B不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为1，即bxcybc0.由题意知2b，解得，即e.故选B.回访3弦长问题5(2015全国卷)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|()A3 B6 C9 D12B抛物线y28x的焦点为(2,0)，椭圆中c2，又，a4，b2a2c212，从而椭圆方程为1.抛物线y28x的准线为x2，xAxB2，将xA2代入椭圆方程可得|yA|3，由图象可知|AB|2|yA|6.故选B.热点题型1圆锥曲线的定义、标准方程题型分析：圆锥曲线的定义、标准方程是高考常考内容，主要以选择、填空的形式考查，解题时分两步走：第一步，依定义定“型”，第二步，待定系数法求“值”【例1】(1)(2017哈尔滨模拟)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为() 【导学号：04024108】A.1B1C.y21 Dx21(2)(2016通化一模)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|()A.B3 C.D2(1)D(2)B(1)根据题意画出草图如图所示，不妨设点A在渐近线yx上由AOF是边长为2的等边三角形得到AOF60，c|OF|2.又点A在双曲线的渐近线yx上，tan 60.又a2b24，a1，b，双曲线的方程为x21.故选D.(2)如图所示，因为4，所以，过点Q作QMl垂足为M，则MQx轴，所以，所以|MQ|3，由抛物线定义知|QF|QM|3.方法指津求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”1定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程2计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y22ax或x22ay(a0)，椭圆常设mx2ny21(m0，n0)，双曲线常设为mx2ny21(mn0)变式训练1 (1)(2016郑州二模)经过点(2,1)，且渐近线与圆x2(y2)21相切的双曲线的标准方程为() 【导学号：04024109】A.1 B.y21C.1 D.1(2)(2017衡水模拟)已知A(1,0)，B是圆F：x22xy2110(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1(1)A(2)D(1)设双曲线的渐近线方程为ykx，即kxy0，由题意知1，解得k，则双曲线的焦点在x轴上，设双曲线方程为1，则有解得故选A.(2)由题意得|PA|PB|，|PA|PF|PB|PF|r2|AF|2，点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，且a，c1，b，动点P的轨迹方程为1，故选D.热点题型2圆锥曲线的几何性质题型分析：圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点和热点，其中求圆锥曲线的离心率是最热门的考点之一，建立关于a，c的方程或不等式是求解的关键【例2】(1)(2017全国卷)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则APF的面积为()A. B.C. D.(2)(2017合肥二模)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为e.P是椭圆上一点，满足PF2F1F2，点Q在线段PF1上，且2.若0，则e2()A.1 B2C2 D.2(1)D(2)C(1)因为F是双曲线C：x21的右焦点，所以F(2,0)因为PFx轴，所以可设P的坐标为(2，yP)因为P是C上一点，所以41，解得yP3，所以P(2，3)，|PF|3.又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，所以SAPF|PF|131.故选D.(2)由PF2F1F2可得P，不妨设P，又由2得Q，则0，整理得b42a2c2，(a2c2)22a2c2，整理得c44a2c2a40，即e44e210，又椭圆离心率0e1，解得e22，故选C.方法指津1求椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的方法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得(2)用法：可得或的值利用渐近线方程设所求双曲线的方程变式训练2 (1)(2016全国卷)已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A. B.C. D2(2)(名师押题)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆交于A，B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为() 【导学号：04024110】A. B2C.2 D.(1)A(2)D(1)法一：如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|.又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|.由双曲线的定义得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以离心率e.法二：如图，因为MF1x轴，所以|MF1|.在RtMF1F2中，由sinMF2F1得tanMF2F1.所以，即，即，整理得c2aca20，两边同除以a2得e2e10.解得e(负值舍去)(2)设|F1F2|2c，|AF1|m，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，|AB|AF1|m，|BF1|m.由椭圆的定义可知F1AB的周长为4a，4a2mm，m2(2)a.|AF2|2am(22)a.|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，4(2)2a24(1)2a24c2，e296，e.9
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