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专题05解析几何核心考点一直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线中的重要问题,也是高考考查的热点,研究此类一般要用到方程思想,常见类型为交点个数、切线、弦长、对称等问题.【经典示例】在直角坐标系xOy中,直线l：yt(t0)交y轴于点M,交抛物线C：y22px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点？说明理由答题模板解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步,联立方程,得关于x或y的一元二次方程；第二步,写出根与系数的关系,并求出0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步,根据题目要求列出关于x1x2,x1x2(或y1y2,y1y2)的关系式,求得结果；第四步,反思回顾,查看有无忽略特殊情况. 【满分答案】(1)由已知得M(0,t),P,又N为M关于点P的对称点,故N,ON的方程为yx,代入y22px整理得px22t2x0,解得x10,x2,因此H.所以N为OH的中点,即2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点,理由如下：直线MH的方程为ytx,即x(yt)代入y22px得y24ty4t20,解得y1y22t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点【解题技巧】1.将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2bxc0(或ay2byc0)若a0,可考虑一元二次方程的判别式,有0直线与圆锥曲线相交；0直线与圆锥曲线相切；0.y1y2,y1y2.|AB|.将代入上式得|AB|,|m|1,SAOB|AB|11,当且仅当|m|,即m时,等号成立(SAOB)max1.核心考点二圆锥曲线中的定点、定值问题以直线与圆锥曲线为载体,结合其他条件探究直线或曲线过定点,或与动点有关的定值问题,一般常出现在解答题第二问中,难度多为中等.【经典示例】已知椭圆1(a0,b0)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P,与椭圆分别交于点M、N,各点均不重合且满足1,2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若123,试证明：直线l过定点并求此定点答题模板证明直线过定点的步骤：第一步,设出直线方程为(或)；.第二步,证明 (或)；.第三步,确定直线过点 (或).【满分答案】(1)设椭圆的焦距为2c,由题意知b1,且(2a)2(2b)22(2c)2,又a2b2c2,a23.椭圆的方程为y21.(2)证明由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),设l方程为xt(ym),由1知(x1,y1m)1(x0x1,y1),y1my11,由题意y10,11.同理由2知21.123,y1y2m(y1y2)0,联立得(t23)y22mt2yt2m230,由题意知4m2t44(t23)(t2m23)0,且有y1y2,y1y2,代入得t2m232m2t20,(mt)21,由题意mt0,x1x24k,x1x24m,所以AB中点M的坐标为(2k,2k2m)由3,得(x0,1y0)3(2k,2k2m1),所以由x4y0得k2m,由0,k20,得f.所以当m时,f(m)取到最大值,此时k.所以ABP面积的最大值为.【解题技巧】1.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围2.处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法：一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解模拟训练3已知椭圆M：1(a0)的一个焦点为F(1,0),左、右顶点分别为A,B.经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点(1)当直线l的倾斜角为45时,求线段CD的长；(2)记ABD与ABC的面积分别为S1和S2,求|S1S2|的最大值消去y,得7x28x80,设C(x1,y1),D(x2,y2),288,x1x2,x1x2,所以|CD|x1x2|.(2)当直线l的斜率不存在时,直线方程为x1,此时ABD与ABC面积相等,|S1S2|0；当直线l的斜率存在时,设直线方程为yk(x1)(k0),联立方程,得消去y,得(34k2)x28k2x4k2120,0,且x1x2,x1x2,此时|S1S2|2|y2|y1|2|y2y1|2|k(x21)k(x11)|2|k(x2x1)2k|,因为k0,上式当且仅当k时等号成立,所以|S1S2|的最大值为.核心考点四轨迹问题轨迹问题一般出现在解答题的第一问,难度中等或中等以下,求解轨迹问题关键是建立关于x,y的等式,求解过程中要注意变形的等价性,同时需注意轨迹的完备性.【经典示例】如图所示,抛物线C1：x24y,C2：x22py(p0)点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O)当x01时,切线MA的斜率为.(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O)答题模板“相关点法”的基本步骤利用向量求空间角的步骤第一步,设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)；第二步,求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式；第三步,代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程第四步,反思回顾查看关键点、易错点和答题规范【满分答案】(1)因为抛物线C1：x24y上任意一点(x,y)的切线斜率为y,且切线MA的斜率为,所以点A的坐标为(1,),故切线MA的方程为y(x1).因为点M(1,y0)在切线MA及抛物线C2上,所以y0(2),y0.由得p2.(2)设N(x,y),A(x1,),B(x2,),x1x2.由N为线段AB的中点,知x,y.所以切线MA,MB的方程分别为y(xx1),y(xx2).由得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为x0,y0.因为点M(x0,y0)在C2上,即x4y0,所以x1x2.由得x2y,x0.当x1x2时,A,B重合于原点O,AB的中点N为点O,坐标满足x2y.因此AB的中点N的轨迹方程是x2y.【解题技巧】1.直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤,但最后的证明可以省略,如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性2.应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式,由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线,再设出标准方程,用待定系数法求解模拟训练4如图,已知圆E：(x)2y216,点F(,0),P是圆E上任意一点,线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q.(1)求动点Q的轨迹的方程；(2)设直线l与(1)中轨迹相交于A,B两点,直线OA,l,OB的斜率分别为k1,k,k2(其中k0),OAB的面积为S,以OA,OB为直径的圆的面积分别为S1,S2,若k1,k,k2恰好构成等比数列,求的取值范围【解析】(1)连接QF,根据题意,|QP|QF|,则|QE|QF|QE|QP|4|EF|2,故动点Q的轨迹是以E,F为焦点,长轴长为4的椭圆设其方程为1(ab0),可知a2,c,则b1,点Q的轨迹的方程为y21.k1,k,k2构成等比数列,k2k1k2,整理得km(x1x2)m20,m20,解得k2.k0,k.此时16(2m2)0,解得m(,)又由A,O,B三点不共线得m0,从而m(,0)(0,)故S|AB|d|x1x2|m|.又yy1,则S1S2(xyxy)(xx2) (x1x2)22x1x2为定值,当且仅当m1时等号成立综上,)12
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