北京市各区二模试题汇编--导数及其应用-打印

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资源描述
2012年北京市各区二模试题汇编-导数及其应用一填空选择(2012年东城二模理科)(8)定义:,已知数列满足:,若对任意正整数,都有成立,则的值为(A) (B) (C) (D) (2012年海淀二模文理科)8、点是曲线上的一个动点,曲线在点处的切线与轴、轴分别交于两点,点是坐标原点. 给出三个命题:;的面积为定值;曲线上存在两点,使得为等腰直角三角形其中真命题的个数是 (A) (B) (C) (D)(2012年丰台二模文科)5函数(A) 是偶函数,且在上是减函数(B) 是偶函数,且在上是增函数(C) 是奇函数,且在上是减函数(D) 是奇函数,且在上是增函数(2012年丰台二模理科)3由曲线与y=x,x=4以及x轴所围成的封闭图形的面积是(A) (B) (C) (D) (2012年房山二模文科)8已知是定义在上的偶函数,当时,且,则不等式的解集是( ) (A) (B) (C) (D) 二解答题(2012年东城二模文科)(18)(本小题共13分)已知函数.()若,求在处的切线方程;()若在上是增函数,求实数的取值范围(18)(共13分)解:()由, 1分 所以. 3分 又, 所以所求切线方程为即. 5分()由已知,得. 因为函数在上是增函数, 所以恒成立,即不等式 恒成立.9分整理得.令 11分的变化情况如下表:+极小值 由此得的取值范围是. 13分(2012年东城二模理科)(19)(本小题共13分)已知函数()()试讨论在区间上的单调性;()当时,曲线上总存在相异两点,使得曲线在点,处的切线互相平行,求证:. (19)(共13分)()解:由已知,. 2分 由,得,. 4分因为,所以,且所以在区间上,;在区间上,.故在上单调递减,在上单调递增 6分()证明:由题意可得,当时,(,且).即 ,所以,. 8分因为,且,所以恒成立,所以,又,所以,整理得. 11分令,因为,所以在上单调递减,所以在上的最大值为, 所以. 13分(2012年西城二模理科)19(本小题满分14分)已知函数,其中()当时,求曲线在原点处的切线方程;()求的单调区间;()若在上存在最大值和最小值,求的取值范围19.(本小题满分14分)()解:当时, 2分由 , 得曲线在原点处的切线方程是3分 ()解: 4分 当时,所以在单调递增,在单调递减 5分当, 当时,令,得,与的情况如下:故的单调减区间是,;单调增区间是 7分 当时,与的情况如下: 所以的单调增区间是;单调减区间是, 9分()解:由()得, 时不合题意 10分 当时,由()得,在单调递增,在单调递减,所以在上存在最大值 设为的零点,易知,且从而时,;时,若在上存在最小值,必有,解得 所以时,若在上存在最大值和最小值,的取值范围是12分 当时,由()得,在单调递减,在单调递增,所以在上存在最小值若在上存在最大值,必有,解得,或所以时,若在上存在最大值和最小值,的取值范围是 综上,的取值范围是 14分(2012年海淀二模文科)18、(本小题满分13分)已知函数(,).()求函数的单调区间;()当时,若对任意,有成立,求实数的最小值.18、(本小题满分13分)解:.令,解得或. 2分()当时,随着的变化如下表极小值极大值函数的单调递增区间是,函数的单调递减区间是,.4分 当时,随着的变化如下表极小值极大值函数的单调递增区间是,函数的单调递减区间是,.6分()当时,由()得是上的增函数,是上的减函数.又当时,. 8分所以 在上的最小值为,最大值为.10分所以 对任意,.所以 对任意,使恒成立的实数的最小值为.13分(2012年海淀二模理科)(19)(本小题满分14分)已知函数.()求的单调区间;()若,求证:函数只有一个零点,且;()当时,记函数的零点为,若对任意且都有成立,求实数的最大值.(本题可参考数据:)(19)(本小题满分14分)()解:的定义域为. 1分令,或. 当时,函数与随的变化情况如下表:00极小值极大值所以,函数的单调递增区间是,单调递减区间是和.3分当时,. 所以,函数的单调递减区间是. 4分当时,函数与随的变化情况如下表:000极小值极大值所以,函数的单调递增区间是,单调递减区间是和.5分()证明:当时,由()知,的极小值为,极大值为.因为,且在上是减函数,所以至多有一个零点. 7分 又因为,所以 函数只有一个零点,且.9分()解:因为,所以 对任意且由()可知:,且. 10分因为 函数在上是增函数,在上是减函数,所以 ,. 11分所以 .当时,=0. 所以 . 13分所以 的最小值为.所以 使得恒成立的的最大值为.14分(2012年朝阳二模理科)18. (本小题满分14分) 已知函数 ()若曲线在点处的切线与直线垂直,求实数的值; ()讨论函数的单调性; ()当时,记函数的最小值为,求证:18. (本小题满分14分) 解:(I)的定义域为. . 根据题意,有,所以,解得或. 3分(II). (1)当时,因为,由得,解得;由得,解得. 所以函数在上单调递增,在上单调递减. (2)当时,因为,由得 ,解得;由得,解得. 所以函数在上单调递减,在上单调递增. 9分(III)由()知,当时,函数的最小值为, 且. , 令,得.来源:学科网ZXXK 当变化时,的变化情况如下表:0极大值 是在上的唯一极值点,且是极大值点,从而也是的最大值点. 所以. 所以,当时,成立. 14分(2012年丰台二模文科)20.(本小题共13分)已知函数f(x)=lnx,两函数图象的交点在x轴上,且在该点处切线相同()求a,b的值;()求证:当x1时,f(x) 0可得x 2或x 1,由f (x) 0可得1 x 2 函数f ( x ) 的单调递增区间为 (0 ,1) 和 (2,+ ),单调递减区间为 (1 , 2 ) 9分 () 由()可知函数f (x)在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,在(2,+)单调递增且当x =1或x =2时,f (x) = 0 10分 f (x) 的极大值为 11分 f (x)的极小值为 12分 由题意可知 则 14分 (2012年昌平二模理科)18(本小题满分13分)已知函数R .()当时,求的单调区间;()若在上的最小值为,求的值.18(本小题满分13分)解:()f (x)的定义域为x |1分.3分 令,即, 的增区间为(0,1), 4分令,即, 的减区间为 5分 ()当时, 在上恒成立, 在恒为增函数. 6分,得 7分 当 时,令,得.当时, 在上为减函数;当时, 在上为增函数;,得(舍) 10分当时,在上恒成立,此时在恒为减函数.,得 12分综上可知 13分(2012年怀柔二模理科)18(本小题满分13分)已知,其中是自然常数,()讨论时,的单调性、极值;()求证:在()的条件下,;()是否存在实数,使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由18(本小题满分13分)解:(),当时,此时单调递减,当时,此时单调递增 的极小值为-4分()的极小值为1,即在上的最小值为1, ,5分令, 当时,在上单调递增 在(1)的条件下,-8分()假设存在实数,使()有最小值3, 当时,在上单调递减,(舍去),所以,此时无最小值. 当时,在上单调递减,在上单调递增,满足条件. 当时,在上单调递减,(舍去),所以,此时无最小值. 综上,存在实数,使得当时有最小值3.-13分(2012年房山二模理科)18已知函数,其中为常数.()若,求曲线在点处的切线方程;(II)求函数的单调区间.18解:(I)当时,当时,所以曲线在点处的切线方程,即 4分(II)的定义域为,则 5分7分(1)当时,则或,则故的增区间为,减区间为 10分(2)当时,则,则或故的增区间为,减区间为 13分28
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