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第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质考情分析圆锥曲线的定义、方程与性质是每年必考热点，多以选择、填空考查，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程求法，难度中档偏下.年份卷别考查角度及命题位置2017卷双曲线的性质及应用T5椭圆的综合应用T12卷双曲线离心率的范围T5抛物线的方程及应用T12卷椭圆的离心率求法T11已知双曲线的渐近线求参数T142016卷椭圆的离心率求法T5卷直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率求法T122015卷椭圆与抛物线的简单性质T5双曲线的几何性质T16卷双曲线的标准方程T15真题自检1(2017高考全国卷)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则APF的面积为()A.B.C. D.解析：法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x2时，代入双曲线C的方程，得41，解得y3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以APx轴，又PFx轴，所以APPF，所以SAPF|PF|AP|31.故选D.法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x2时，代入双曲线C的方程，得41，解得y3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以(1,0)，(0，3)，所以0，所以APPF，所以SAPF|PF|AP|31.故选D.答案：D2(2017高考全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A. B.C. D.解析：以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点O(0,0)，半径为a.由题意，圆心到直线bxay2ab0的距离为a，即a23b2.又e21，所以e，故选A.答案：A3(2016高考全国卷)设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PEx轴，则k()A. B1C. D2解析：y24x，F(1,0)又曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，P(1,2)将点P(1,2)的坐标代入y(k0)，得k2.故选D.答案：D4(2016高考全国卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A. B.C. D.解析：如图所示，由题意得A(a,0)，B(a,0)，F(c,0)设E(0，m)，由PFOE，得，则|MF|.又由OEMF，得，则|MF|.由得ac(ac)，即a3c，e.故选A.答案：A椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程方法结论1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：2a(2a0，b0)的渐近线方程为yx.注意离心率e与渐近线的斜率的关系3抛物线方程中p的几何意义为焦点到准线的距离题组突破1(2017河南八市联考)已知点M(3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y22x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|QF|的最小值是()A.B3C. D2解析：抛物线的准线方程为x，依据抛物线的定义，得|QM|QF|xQ3|，选C.答案：C2(2017合肥质检)若双曲线C1：1与C2：1(a0，b0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b()A2 B4C6 D8解析：由题意得，2b2a，C2的焦距2c4c2b4，故选B.答案：B3(2017广东五校联考)设椭圆E：1(ab0)的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E上在第二象限内的点，直线BO交E于点C.若直线BF平分线段AC，则E的离心率为_解析：设AC的中点为M，连接OM，AB，则OM为ABC的中位线，B，F，M在一条线上，于是OFMAFB，且，即，解得e.答案：4(2017高考全国卷)双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，则a_.解析：因为双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，所以a5.答案：5误区警示1注意易混椭圆与双曲线中a2、b2、c2的关系2已知双曲线的一条渐近线ymx(m0)，则要注意判断其焦点位置后，才能说明|m|，还是，从而再利用e 求离心率3对于形如yax2(a0)，求焦点坐标与准线时注意先化为标准方程直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系方法结论弦长问题设直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若直线AB的斜率存在(设为k)，则|AB|x1x2|或|AB|y1y2|(k0)，其中|x1x2|，|y1y2|；若直线AB的斜率不存在，则直接求出直线与圆锥曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长典例(1)(2017洛阳模拟)已知抛物线C：x24y的焦点为F，直线AB与抛物线C相交于A，B两点，若230，则弦AB中点到抛物线C的准线的距离为_解析：法一：依题意得，抛物线的焦点F(0,1)，准线方程是y1，因为2()()0，即20，所以F，A，B三点共线设直线AB：ykx1(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由，得x24(kx1)，即x24kx40，x1x24；又20，因此2x1x20.由解得x2，弦AB的中点到抛物线C的准线的距离为(y11)(y21)(y1y2)1(xx)11.法二：依题意得，抛物线的焦点F(0,1)，准线方程是y1，因为2()()0，即20，所以F，A，B三点共线不妨设直线AB的倾斜角为，0，|FA|m，点A的纵坐标为y1，则有|FB|2m.分别由点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A1，B1，作AMBB1于M，则有|AA1|AF|m，|BB1|FB|2m，|BM|BB1|AA1|m，sin ，|AF|y112|AF|sin ，|AF|，同理|BF|y21，|AF|BF|，因此弦AB的中点到抛物线C的准线的距离等于(y11)(y21)(y1y2)1(|AF|BF|).答案：(2)(2017合肥质检)已知点F为椭圆E：1(ab0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线1与椭圆E有且仅有一个交点M.求椭圆E的方程；设直线1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若|PM|2|PA|PB|，求实数的取值范围解析：由题意，得a2c，bc，则椭圆E为1.由，得x22x43c20.直线1与椭圆E有且仅有一个交点M，44(43c2)0c21，椭圆E的方程为1.由得M(1，)，直线1与y轴交于P(0，2)，|PM|2，当直线l与x轴垂直时，|PA|PB|(2)(2)1，|PM|2|PA|PB|，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(34k2)x216kx40，依题意得：x1x2，且48(4k21)0，|PA|PB|(1k2)x1x2(1k2)1，(1)，k2，1.综上所述，的取值范围是，1)类题通法直线与圆锥曲线的位置关系问题充分体现了方程思想，化归思想及数形结合思想，着重考查运算及推理能力，其解决的方法一般是：(1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在进行讨论，或将直线方程设成xmyb的形式；(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化为一元二次方程，利用判别式或根与系数的关系得到交点横坐标或纵坐标的关系；(3)涉及弦的问题，一般要用到弦长公式|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.演练冲关已知抛物线x22py上点P处的切线方程为xy10.(1)求抛物线的方程；(2)设A(x1，y1)和B(x2，y2)为抛物线上的两个动点，其中y1y2且y1y24，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C，求ABC面积的最大值解析：(1)设点P(x0，)，由x22py得y，y，切线的斜率为1，1且x010，解得p2，抛物线的方程为x24y.(2)设线段AB的中点M(x3，y3)，则x3，y3，kAB(x1x2)，直线l的方程为y2(xx3)，即2xx3(4y)0，l过定点(0,4)x22xx32x80，得4x4(2x8)02x32，|AB|x1x2|，C(0,4)到AB的距离d|CM|，SABC|AB|d 8，当且仅当x4162x，即x32时取等号，SABC的最大值为8.圆锥曲线与其他知识的交汇圆锥曲线与方程是解析几何的核心部分，是高考重点考查的内容，且所占分值较大，近年高考中，圆锥曲线与圆、平面向量、解三角形、不等式等知识交汇命题，成为命题的热点和难点典例(2017武汉调研)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且与反向，则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析：设实轴长为2a，虚轴长为2b，令AOF，则由题意知tan ，在AOB中，AOB1802，tanAOBtan 2，|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，设|OA|md，|AB|m，|OB|md，OABF，(md)2m2(md)2，整理，得dm，tan 2，解得2或(舍去)，b2a，ca，e.答案：C类题通法平面向量与圆锥曲线的交汇问题多考查平面向量的应用，通过运算沟通数与形的转化，从而使问题解决演练冲关(2017贵阳模拟)双曲线1(a0，b0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是()A(1，) B(，)C(1，) D(，)解析：依题意，注意到题中的双曲线1的渐近线方程为yx，且“右”区域是由不等式组所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1，即，因此题中的双曲线的离心率e(，)，选B.答案：B- 10 -
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