同济大学线性代数课件__第五章 相似矩阵及二次型

1第五章相似矩阵及二第五章相似矩阵及二次型次型21 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性定义定义1：设：设 n 维向量维向量1122,nnxyxyxyxy记作记作1122nnx yx yx y1122 , nnx yx yx yx yx y 称称为向量为向量 x与与 y的内积，的内积，3内积有下列性质：内积有下列性质：(1) x, y = y, x ;(2) l lx, y = l l x, y ;(3) x + y, z = x, z + y, z ; (4) x, x 0, x 0; x, x = 0, x = 0.柯西柯西-施瓦茨施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式：不等式：2 , , , x yx xy y 22,0, , 2 , , 0 , , , xty xtytx xx y ty y tx yx xy y4定义定义2：称：称 为向量为向量 x 的长度，记作的长度，记作 , x x|x特别地，当特别地，当| 1x 时，称时，称 x为单位向量。为单位向量。向量长度有下列性质：向量长度有下列性质：(1) | x | 0, x 0; | x | = 0, x = 0;(2) |l lx | = |l l| | x| ;(3) | x + y | | x | + | y|; 5称称 , arccos,0,0|x yxyxy 为向量为向量 x与与 y的夹角。的夹角。若若 = 900 , 则称向量则称向量 x与与 y 正交，记作正交，记作 x y 。x y x, y = 0 , 11|x yxy , cos,0,0|x yxyxy 设设6定理定理1：若向量组：若向量组12,m 中不含零向量，且两两正交，中不含零向量，且两两正交，则向量组则向量组12,m 线性无关。线性无关。11220mmxxx1122,0mmjjjjxxxx设设0jx7例例1：设在向量空间：设在向量空间3R中，中，12111 ,211 求向量求向量3 ，使得，使得123, 两两正交。两两正交。8解：设解：设12111121A 解线性方程组解线性方程组0Ax 则解向量必与则解向量必与12, 都正交，都正交，101010A得得基础解系基础解系101 3 取取，则，则123, 两两正交。两两正交。9定义定义 3. 设设 n 维向量维向量 是向量空间是向量空间 V 的的 一个基，若一个基，若 两两正交，且都两两正交，且都是是 单位向量，则称单位向量，则称 是是V 的一个的一个 规范正交基规范正交基 (标准正交基标准正交基).12,re ee12,re ee12,re ee10施密特施密特 ( Schimidt ) 正交化过程正交化过程:12,ra aa使得使得与与12,rb bb等价。等价。求正交向量组求正交向量组12,rb bb设向量组设向量组线性无关，线性无关，12,ra aa11a1= b1a2a2 = b2a2 b1 = a1 b2 = a2- a2 21211222121111,| |,ab abb aaababbb b 12令令111222111121121112211;,;,;,rrrrrrrrrbab ababb bb ab abababbbb bb bbb 则则12,rb bb是正交向量组，并且向量组是正交向量组，并且向量组12,kb bb与与向量组向量组12,(1)ka aakr等价。等价。13基的规范正交化基的规范正交化设设12,ra aa是向量空间是向量空间 V 的一个基，求的一个基，求V 的一个的一个规范规范正交基。正交基。首先，利用施密特正交化过程把首先，利用施密特正交化过程把正交化正交化为正交向量组为正交向量组12,rb bb然后，再把然后，再把12,rb bb单位化，即单位化，即121212,|rrrbbbeeebbb则则12,re ee是是V 的一个规范正交基。的一个规范正交基。12,ra aa14例例2: 设设1231142 ,3,1110aaa 试用施密特正试用施密特正交化交化过程把这组向量规范正交化。过程把这组向量规范正交化。15解：先正交化，令解：先正交化，令111222111132333121122(1,2, 1) ; ,45( 1,3,1)(1,2, 1)( 1,1,1) ; ,63 , ,2(1,0,1) . , ,bab ababb bb ab ababbb bb b 161112223331(1,2, 1) ,|61( 1,1,1) ,|31(1,0,1) .|2bebbebbeb 再单位化，令再单位化，令则则123,e e e即为所求。即为所求。17定义定义4 若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 满足满足A AE 则称则称 A 为为正交矩阵正交矩阵, 且且121111212212221212(,)(,)1,0,nnnnnnnnnijijijAA Aijij 令令故故1AA 18特征值及二次型问题是线性代数的重要问题。特征值及二次型问题是线性代数的重要问题。1PAP 12nl ll ll l 12diag(,)nl lll ll 其中其中19设设 A是是 n 阶方阵阶方阵, P为为 n 阶可逆阵阶可逆阵此过程的逆推在最后一步要求矩阵此过程的逆推在最后一步要求矩阵 P是可逆的。是可逆的。1PAP APP121212(,)(,)diag,nnnA ppppppl lll ll121122(,)(,)nnnAp ApAppppllllll,1,2,iiiAppinl l12(,)nset Pppp 20 2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量定义定义1: 设设 A 是是 n 阶方阵，若数阶方阵，若数 l l 和非零向量和非零向量 x， (0)Axx xl l则称则称 l l 是是 A 的一个的一个特征值，特征值，x 为为 A 的对应于特征值的对应于特征值 l l 的特征向量的特征向量。使得使得21Axxl l 0AE xl l或或 0EA xl l0AEl l0EAl l 由由()l l 而而0,x 既齐次线性方程组既齐次线性方程组 有非零解有非零解()l l 方程组方程组 的解空间称为对应于的解空间称为对应于 l l 的的特征子空间特征子空间.()l l 22注：注：（2）一个特征向量只能对应于一个特征值。）一个特征向量只能对应于一个特征值。（1）方阵的对应于同一个特征值的特征向量不唯一。）方阵的对应于同一个特征值的特征向量不唯一。（3）对应于同一个特征值的若干个特征向量的线性组）对应于同一个特征值的若干个特征向量的线性组 合仍是对应于这个特征值的特征向量。合仍是对应于这个特征值的特征向量。23111212122212nnnnnnaaaaaaAEaaal ll ll ll l 为矩阵为矩阵 A 的的特征多项式特征多项式，记作，记作 f (l l)定义定义2：111212122212,nnnnnnaaaaaaAaaa 设设则则称称2411122( ) |()()()det( )nnnnfAEaaaAllllllll 设设( )0fl l 在在 C 中的中的 n 个根为个根为12,nl l l ll l即即A的的 n 个特征值个特征值则则12112212det( )nnnnaaaAlllllll lll ll 25解：解：1、由矩阵、由矩阵 A 的特征方程，求出特征值的特征方程，求出特征值.例例6： 求矩阵求矩阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量.110430102A AEl l11011430(2)43102l ll llllll ll l 特征值为特征值为 l l = 2, 1 2210llll262、把每个特征值、把每个特征值 l l 代入线性方程组代入线性方程组 0,AE xl l求出基础解系。求出基础解系。当当 l l = 2时，解线性方程组时，解线性方程组 20AE x 3102410100AE 1000100001200 xx 得基础解系得基础解系:1001p 27解线性方程组解线性方程组当当 时，时，1l l 0AE x 210420101AE 1010120001323020 xxxx 得基础解系得基础解系2121p 28解：解：例例7： 求矩阵求矩阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量,211020413A AEl l 221102021413l ll ll ll ll l 特征值为特征值为 l l = - -1, 2并求可逆矩阵并求可逆矩阵P, 使使APP1 为对角阵为对角阵.29当当 l l = - -1时，解线性方程组时，解线性方程组 0AE x 111030414AE 101010000 13200 xxx 得基础解系得基础解系:1101p 30当当 l l = 2时，解线性方程组时，解线性方程组 20AE x 4112000411AE 411000000 12340 xxx得基础解系得基础解系:2011p 3104p 31 411010101321),(pppP 2211APP设设则则32性质性质：若：若l l 是是 A 的特征值的特征值, 即即 Ax = l lx (x0)，则，则(1) kl l 是是 kA 的特征值的特征值(k是常数是常数)，且，且 kAx = kl lx(2) l lm 是是 Am 的特征值的特征值(m是正整数是正整数)，且，且 Amx = l lmx(3) 若若 A可逆，则可逆，则l l- -1是是 A- -1的特征值的特征值, 且且 A- -1x = l l- -1x l l- -1| A| 是是 A* *的特征值，且的特征值，且 A* * x = l l- -1|A|x(4) j j (x)为为 x 的多项式，则的多项式，则 j j (l l)是是 j j (A)的特征值的特征值, 且且 j j (A) x = j j (l l) x(5) 矩阵矩阵 A和和 AT的特征值相同的特征值相同, 特征多项式相同。特征多项式相同。33例例3： (1) 设设 l l 为矩阵为矩阵 A的特征值，求的特征值，求 的特征值的特征值223AAE (2) 若若 3 阶阵阶阵 A有特征值有特征值 1, - -1, 2，求，求 。|32|AAE 223AAE有特征值有特征值223llll解解: (1)(2) 3阶阵阶阵 A有特征值有特征值 1, - -1, 2，故，故|2A ，A可逆可逆。32AAE 有特征值有特征值 - -1，- -3，3|32| 9AAE 34例：设例：设111222111A 求求：(1) A的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。(2) 求可逆矩阵求可逆矩阵 P，使得，使得 为对角阵。为对角阵。1PAP 35解解： (1) 21112221112AEl llllll lllll 0,2l l得得36 111222111 000000111 A1230 xxx得基础解系得基础解系12110 ,110pp 0l l 0Ax 当当时，解时，解37 000210111111202113 0002101011323020 xxxx 得基础解系得基础解系3121p 2l l (2)0AE x当当时，解时，解2AE38取取 123Pppp 111012101 002 1PAP 问题：问题：矩阵矩阵 P是否唯一？矩阵是否唯一？矩阵 是否唯一？是否唯一？3912,mppp依次是与之对应的特征向量。依次是与之对应的特征向量。方阵方阵 A 的的属于不同特征值的特征向量属于不同特征值的特征向量线性无关。线性无关。定理定理2：设：设 是方阵是方阵 A的的 m 个特征值，个特征值，12,ml l l ll l若若 各不相等，则各不相等，则 12,ml l l ll l12,mppp线性无关。线性无关。40. 02211 mmpxpxpx则则 ,02211 mmpxpxpxA, 0222111 mmmpxpxpxl ll ll l证明：证明：设常数设常数 使得使得12,mx xx类推之，有类推之，有. 0222111 mmkmkkpxpxpxl ll ll l 1, 2 , 1 mk41把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得 11221112211111,mmmmmmmpxpxpxl ll ll ll ll ll l0 等号左边的等号左边的Vandermonde矩阵当矩阵当 各不相同时是可逆的各不相同时是可逆的 il l42等号两边同时右乘它的逆矩阵，有等号两边同时右乘它的逆矩阵，有 1122,0,mmx px pxp 即即 01,2,.jjx pjm又因为又因为 为特征向量，为特征向量，0,jp jp所以所以0jx 12,mppp线性无关。线性无关。433 相似矩阵相似矩阵定义定义: 设设 A, B 都是都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵阶矩阵，若存在可逆矩阵 P，使得，使得1PAPB 则称则称 A 相似于矩阵相似于矩阵 B ，或称矩阵，或称矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 相似。相似。运算运算 称为对称为对 A 作相似变换，作相似变换，1PAP可逆矩阵可逆矩阵 P 称为相似变换矩阵。称为相似变换矩阵。44注：注：矩阵相似关系是一种等价关系矩阵相似关系是一种等价关系（1）反身性：）反身性： A 与与 A 相似。相似。（2）对称性：若）对称性：若 A 与与 B 相似，则相似，则 B 与与 A 相似。相似。（3）传递性：若）传递性：若 A 与与 B 相似，相似，B 与与 C 相似，相似， 则则 A 与与 C 相似相似45定理定理3: 相似矩阵有相同的特征多项式、特征值相似矩阵有相同的特征多项式、特征值.111| | |()| |PAPBBEPAPEPAE PAEllllllll 46（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。注注：（1）与单位矩阵相似的与单位矩阵相似的n 阶矩阵只有单位阵本身，阶矩阵只有单位阵本身， 与数量矩阵与数量矩阵kE 相似的相似的n阶方阵只有数量阵阶方阵只有数量阵kE。推论：若矩阵推论：若矩阵 A与对角阵与对角阵 相似，相似，12nl ll ll l 则则 是是 A 的的 n个特征值。个特征值。12,nl lll ll47矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化）（利用相似变换把方阵对角化）定理定理4： n 阶矩阵阶矩阵 A 与对角阵相似（与对角阵相似（A可对角化）可对角化）A有有n个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。481PAP ,1,2,iiiAppinl l121122(,)(,)nnnAp ApAppppllllll121212(,)(,)nnnA ppppppl ll ll lAPP12(,)nset Pppp 49(2) 可逆矩阵可逆矩阵 P由由 A的的 n个线性无关的特征向量做为个线性无关的特征向量做为 列向量构成。列向量构成。(但逆命题不成立但逆命题不成立)推论：若推论：若 n 阶方阵阶方阵 A有有 n个互不相同的特征值个互不相同的特征值,则则 A可对角化。（与对角阵相似）可对角化。（与对角阵相似）注注：(1) 若若 A与与 相似相似, 则则 的主对角元素即为的主对角元素即为 A的特征值，的特征值，50例例1:1: 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？122(1) 224242A 212(2) 533102A 51解解: : 722 l ll l122(1)224242AEl ll ll ll l 得得2, 7l l52得基础解系得基础解系12221 ,0 .01pp 当当 l l = 2 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为 20AE x 1222244244AE 122000000 123220 xxx53得基础解系得基础解系3122p 13231020 xxxx 当当 l l = 7 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为 70AE x 8227254245AE 101 2011000 54123,ppp线性无关线性无关即即 A有有3个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，所以所以 A可以对角化。可以对角化。55212(2)533102AEl llllll l 310l l 1l l 56得基础解系得基础解系11 ,1 所以所以 A不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.当当 l l = 1 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为 0AE x 312523101AE 101011000 132300 xxxx 57定理：设定理：设 A为为 n 阶矩阵，阶矩阵，l l为为A的特征多项式的特征多项式 |A- -l lE| = 0 的的k重根，则重根，则 A相似于对角阵的充要条件是相似于对角阵的充要条件是 R(A- -l lE) = n- -k581. 由特征值、特征向量求矩阵由特征值、特征向量求矩阵例例3：已知方阵：已知方阵 的特征值是的特征值是A1230,1,3,llllll相应的特征向量是相应的特征向量是1231111 ,0 ,2 ,111 求矩阵求矩阵 A59解：因为解：因为 A有有 3 个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以 A可以对角化。可以对角化。即存在可矩阵即存在可矩阵P , 使得使得1PAP 其中其中111102 ,111P 01,3 1111333110,22111636P 601AP P 11133311101110210221113111636 110121011 612. 求方阵的幂求方阵的幂例例4：设：设 求求45,23A 100.A解：解：4523AEl ll ll l (2)(1)0llll121,2.llll A可以对角化。可以对角化。齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当 时，时，11l l 0AE x12xx 令令 得基础解系得基础解系:21x 111p 62齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当 时，时，22l l 20AE x1252xx 得基础解系得基础解系:252p 令令12(,)Ppp 1512 得得1251311P 112PAP 631001001APP 10015102513120211 1001001525( 1)013121102 100100101101252552132252 64例例2 设设,()m nn mARBRnm, 证明证明n mnmEBAEABllllll 111110( )0000rrrr rrm rrn mn rrErank ArPAQIPABPPAQQ BPI Q BPCCI C 证明：设证明：设65 1111111110mmrn mmrn mrmrrrrrmr rm rrrEABEPI CPEI CccccccccEClllllll ll ll ll lllll 66 11111100rrrn mrn r rn rnnn mrrrn rr mn mnmmQ BAQQ BPPAQQ BPICCICEBAEQCI QECEBAEABEABllllllllllllllllllll 同同理理：674 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化 实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化。以对角化。即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 P, 使得使得1PAP 找到正交矩阵找到正交矩阵 Q，使得，使得1Q AQQ AQ 68定理定理5：实对称矩阵的特征值为实数：实对称矩阵的特征值为实数. .证：设证：设 是是 的任一特征值，的任一特征值，l lA是对应于是对应于 的特征向量，的特征向量，l l 则则All 12(,)0nxxx 用用 表示表示 的共轭复数，的共轭复数， 表示表示 的共轭复向量。的共轭复向量。l ll l 69考虑考虑1212(,)nnxxx xxx 1122nnxxxxxx222120nxxx因因Allll =AAA 故故 = ,Al l 及及700llllllll即即 为实数。为实数。l l又又 是实对称矩阵，是实对称矩阵，AAA.TAA 于是于是()()()()0AAl ll l ll ll ll 且且71定理定理6：实对称矩阵的对应于不同特征值的：实对称矩阵的对应于不同特征值的 特征向量正交。特征向量正交。12,pp是依次与之对应的特征向量，是依次与之对应的特征向量，证：设证：设 是对称矩阵是对称矩阵 的两个特征值，且的两个特征值，且12,llllA12,llll 111222,AppAppllll72112112121212122212()()()()p pppAppp A ppApppp pllllllll 12120.Tp pllll121212,0,0Tp pppllllA为实对称矩阵，为实对称矩阵，TAA即即 正交。正交。12,pp73定理定理7：设设 A 为为 n 阶实对称矩阵，阶实对称矩阵，则必存在则必存在 n 阶正交矩阵阶正交矩阵 P 使得使得1PAP 其中其中 是以是以 A 的的 n个特征值为对角元素的个特征值为对角元素的对角阵。对角阵。74()knR AEl l推论推论: 设设 A 为为 n 阶实对称矩阵，阶实对称矩阵，l l 为为 A 的特征方的特征方 程的程的 k 重根，则重根，则()R AEnkl l即即75例例1：设：设问问 x =？，矩阵？，矩阵 A可以对角化？可以对角化？00111100Ax 解解：011110AExl ll ll ll l 2(1) (1)l ll l 0 761l l 是特征方程是特征方程| |A - - l lE| |= 0的二重根。的二重根。于是于是( (Al lE )x = 0 的基础解系应有二个解向量，即的基础解系应有二个解向量，即R( (Al lE ) = 110110110001101000AExx 1x 77例例1：设：设求正交矩阵求正交矩阵 P ，使得，使得 为对角阵。为对角阵。1PAP 解解：32422423AEl ll ll ll l 218l ll l 0 1231,8.llllll 324202423A 78当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为121llll 0AE x 424212424AE 212000000 得基础解系得基础解系112 ,0p 202 .1p 123220 xxx79先正交化：先正交化：1112,0bp 1222111014,41222,55105bpbpbbb 再单位化：再单位化：1112,50 2412355 80当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为38l l 80AE x 5248282425AE 101011 2000 132312xxxx 得基础解系得基础解系311 2 ,1p 单位化得单位化得3211,32 81123(,)P 得正交矩阵得正交矩阵14235352213535520335 有有1118PAP 82例例2：设：设220212 ,020A 解：解：l ll ll ll l 20212022EA 214 l ll ll l0 1234,1,2.llllll 求正交矩阵求正交矩阵 P ，使得，使得 为对角阵。为对角阵。1PAP 83当当 时，由时，由14l l 40,AE x2204232024AE 102012000 122 .1p 即即13232020 xxxx 得基础解系得基础解系把把 单位化，得单位化，得1p1212 ,31 84当当 时，由时，由21l l 0,AE x120202021AE 120021000 221.2p 即即12322020 xxxx 得基础解系得基础解系把把 单位化，得单位化，得2p2211,32 85当当 时，由时，由22l l 20,AE x4202232022AE 201210000 312 .2p 即即13122020 xxxx 得基础解系得基础解系把把 单位化，得单位化，得3p3112 .32 86 1232211,212 ,3122P 得正交矩阵得正交矩阵1400010.002PAP 有有875 二次型及其标准形二次型及其标准形1. 二次型、二次型的矩阵、二次型的秩二次型、二次型的矩阵、二次型的秩称为二次型。称为二次型。22212111222121213131123231,1(,)222 22 nnnnnnnnnnf x xxa xa xa xa x xa x xa x xa x xaxx含有含有 个变量个变量 的二次齐次多项式的二次齐次多项式12,nx xxn定义定义1：88例如：例如：22( , )45f x yxxyy22( , , )2f x y zxyxzyz1234122324(,)f x xxxx xx xx x是二次型。是二次型。22( , )5f x yxy22( , )22f x yxyx不是二次型。不是二次型。89只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型2222211nnykykykf 称为二次型的标准形（或法式）。称为二次型的标准形（或法式）。例如：例如： 222123123,245fx xxxxx 222123123,44fx xxxxx 为二次型的标准形。为二次型的标准形。902211111222121122211222212 nnnnnnnnnnnfaaxaxaxaxxaxxxxxaaaxxxxx ijjiaa 取取2ijijijijjiija x xa x xa x x则则则二次型可以表示为则二次型可以表示为,1nijiji ja x x 9111112211()nna xa xxxa21122222()nna xxxaa x 1122()nnnnnna xa xxa x9211112212112222112221(,)nnnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xax xxx 1111121212222122(,) nnnnnnnnxaaaaaaxaaxxxxa 9312 nxxxx 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 令令T fx Ax 则则其中其中 A 为对称矩阵。为对称矩阵。二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示941123231201(,)20 21032xxxxxx 22123131223 (,)34f x xxxxx xx x例如：二次型例如：二次型95 任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵；任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型因此二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系因此二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系1 1T fx AxA 96则对称矩阵则对称矩阵 A 称为二次型称为二次型 f 的矩阵，的矩阵，二次型二次型 f 称为对称矩阵称为对称矩阵 A 的二次型，的二次型，对称矩阵对称矩阵 A 的秩称为二次型的秩称为二次型 f 的秩。的秩。T fx Ax 设二次型设二次型定义定义2：97例例1：求二次型：求二次型 f 的矩阵的矩阵22212412233427224fxxxx xx xx x 1100121001020027A 解：解：98231310101A 例例2：求对称矩阵：求对称矩阵 A 所对应的二次型所对应的二次型2221231213262fxxxx xx x 解：解：99( )2 0 3r AAc 例例3：已知二次型：已知二次型 f 的秩为的秩为2，求参数，求参数c。22212312132355266fxxcxx xx xx x 51315333Ac 解：解：1002. 非退化线性变换（可逆线性变换）非退化线性变换（可逆线性变换） nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111线性变换线性变换（2）101系数矩阵系数矩阵 nnnnnncccccccccC2122221112111122,nnxyxyxyxy则线性变换可写成：则线性变换可写成：x = Cy102若若 C 是可逆矩阵，则称线性变换是可逆矩阵，则称线性变换 x = Cy 是非退化线性变换，是非退化线性变换，若若 C 是正交矩阵，则称线性变换是正交矩阵，则称线性变换 x = Cy 是正交变换。是正交变换。二次型的主要问题是：二次型的主要问题是： 求可逆的线性变换求可逆的线性变换 x = Cy 把二次型把二次型 f 变为标准形变为标准形.2221122nnxCyfx Axk yk yk y 1033. 矩阵的合同矩阵的合同若有非退化线性变换若有非退化线性变换 x = Cy ， ()()()xCyfx AxCyA CyyC AC y 则有则有 )2( )1(仍是对称矩阵仍是对称矩阵C AC ()( )R C ACR A 104合同的性质：合同的性质：(1) 反身性：反身性： A 与与 A合同。合同。(2) 对称性：若对称性：若 A 与与 B 合同，则合同，则 B 与与 A合同。合同。(3) 传递性：若传递性：若 A 与与 B 合同，合同，B 与与 C合同，合同， 则则 A 与与 C 合同。合同。矩阵的合同：设矩阵的合同：设 A, B 都是都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵阶矩阵，若存在可逆矩阵C， 使得使得 , 则称矩阵则称矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 合同合同.C ACB 矩阵的合同关系是一种等价关系。矩阵的合同关系是一种等价关系。105将此结论用于二次型化标准形将此结论用于二次型化标准形, 即利用正交变换即利用正交变换 x = P y对于任意实对称矩阵对于任意实对称矩阵 A，总存在正交矩阵，总存在正交矩阵 P使得，使得，1PAPP AP ()()xPyfx AxPyA Py 1()()yP AP yyPAP y1066 化二次型为标准形化二次型为标准形2222211nnykykyk yyT ()yC AC y112212nnn(,)kykyy yyky fx Ax xCy 非退化线性变换非退化线性变换1071. 正交相似变换法正交相似变换法主轴定理：主轴定理： 任给二次型任给二次型T,1,nijiji jfa x xx Ax 总有正交变换总有正交变换,xPy 使之化为标准形使之化为标准形2222211nnyyyfl ll ll l 全部特征值全部特征值. .是二次型是二次型 f 的矩阵的矩阵 A 的的其中其中12n,l lll ll108例例14 求一个正交变换求一个正交变换,xPy 把二次型把二次型121323222fx xx xx x化为标准形。化为标准形。解：二次型的矩阵解：二次型的矩阵011101110A 10921111|11111101120(1) 110(1) (2)011AElllllllllllllllll lllllllll 特征值为特征值为 l l = - -1, 2110当当 l l = 1 时，解方程时，解方程()0AE x123111111111000111000-0AExxx得基础解系得基础解系12111001pp ，111正交化正交化1112221111,11,22ppp 单位化单位化1211111,12602 112当当 l l = 2 2 时，解方程时，解方程(2)0AE x1323211101021210110112000 xxAExx 得基础解系得基础解系3111p 单位化单位化311131 11312221231112631111,12632210632PPAPP APfyyy 1142. 拉格朗日配方法拉格朗日配方法用二个例题来介绍拉格朗日用二个例题来介绍拉格朗日 ( Lagrange ) 配方法。配方法。例例15 把二次型把二次型22212312132325226fxxxx xx xx x化为标准形，并求合同变换矩阵。化为标准形，并求合同变换矩阵。115解：注意到解：注意到 f 中含有中含有 x1 的平方项，把含的平方项，把含 x1 的项合并配方，的项合并配方，22222123232323232221232233()2256()44fxxxxxx xxxx xxxxxx xx11231122223333111,010001uxxxxuuxxuuxxu 令令116222221223312344(2)fuuu uuuuu再类似地考虑含再类似地考虑含 u2 的项的项, 11112232233331002,012001yuuyyuuuyyuuy 令令于是标准形为于是标准形为2212fyy，合同变换矩阵为，合同变换矩阵为111100111010012012001001001C117例例16 把二次型把二次型121323226fx xx xx x化为标准形，并求合同变换矩阵。化为标准形，并求合同变换矩阵。118解：注意到解：注意到 f 中不含中不含 x1 的平方项，但含有的平方项，但含有 x1 x2 项，项，令令11211212223333110,110001xuuxuxuuxuxuxu 则则221213232248fuuu uu u再利用前例的作法再利用前例的作法2221332232()228fuuuuu u1131122223333101,010001vuuuvvuuvvuuv 令令119再令再令则则222222132231233222822(2)6fvvvv vvvvv11112232233331002,012001yvvyyvvvyyvvy 因此因此222123226fyyy，合同变换矩阵为，合同变换矩阵为110101100113110010012111001001001001C1207 正定二次型正定二次型定理定理9: 设二次型设二次型T,fx Ax 秩为秩为 r ，可逆变换，可逆变换,xCy xPz分别把二次型变为标准形分别把二次型变为标准形2221122(0)rnifk yk yk yk 2221122(0)rrifyyyl ll ll ll l 则则12,rk kk与与12,rl lll ll中值为正的个数相等。中值为正的个数相等。并把其中值为正的个数称为二次型的并把其中值为正的个数称为二次型的正惯性指数，正惯性指数，其中值为负的个数称为二次型的其中值为负的个数称为二次型的负惯性指数。负惯性指数。121定义定义10: 设二次型设二次型T( ),f xx Ax 若对任意若对任意0 x都有都有( )0f x ，则称，则称 f 为正定为正定二次型，并二次型，并称称 A 为正定矩阵；为正定矩阵；若对任意若对任意0 x都有都有( )0f x ，则称，则称 f 为负定为负定二次型二次型并并称称 A 为负定矩阵为负定矩阵 ，也记作也记作 A 0 .122定理定理10: 二次型二次型T( )f xx Ax 为正定为正定二次型的充要条件是二次型的充要条件是 f 标准形的标准形的 n 个系数全是正的，即其正惯性指数是个系数全是正的，即其正惯性指数是 n 。2221122( )()0nnxCyf xf Cyyyyllllll 推论推论: 对称对称矩阵矩阵 A 为正定的为正定的充要条件是充要条件是 A 的特征值的特征值全是全是 正的。正的。123定理定理11: 对称对称矩阵矩阵 A 为正定的为正定的充要条件是：充要条件是： A 的各阶主子的各阶主子 式式全是正的；全是正的； 对称对称矩阵矩阵 A 为负定的为负定的充要条件是：充要条件是： A 的奇数阶主的奇数阶主 子式子式是负的，偶是负的，偶奇数阶主子式奇数阶主子式是正的。是正的。