当代数学哲学中的不可或缺性论证北京大学哲学系

“不可或缺性论证”与反实在论数学哲学叶峰* 【基金项目】本文得到教育部2004年社会科学重大课题攻关项目“当代科学哲学发展趋势研究”资助（项目编号04JED0004）。（北京大学哲学系）摘要 对抽象数学对象的实在性的“不可或缺性论证”，是最近几十年来数学哲学的争论焦点。现有的对“不可或缺性论证”的质疑的有一些重要缺陷。弥补这些缺陷以更有力地质疑不可或缺性论证引出了一种新的，反实在论的数学哲学观。 1. 引言二十世纪初的数学哲学研究，侧重于探讨数学基础问题。由此产生了逻辑主义、形式主义、与直觉主义等数学基础流派。进入二十世纪中期以后，数学基础问题不再困扰数学家们，哲学家们也开始转向关注关于经典数学的本体论与认识论问题。这包括探讨抽象数学对象是否在字面意义上存在，数学定理是否为关于抽象数学对象的客观真理，我们如何能够获得、确证经典数学的知识，以及数学为何可应用等等。这些问题，是传统本体论与认识论问题在数学领域的反映。由于数学对象与知识的特殊性，关于数学的本体论与认识论问题，一直是对各种传统与近、现代哲学思想与流派的挑战。数学对象与知识的特殊性在于：一方面，如果存在的话，数学对象应该是实质性地独立于物质世界的所谓抽象对象。比如，现代物理学认为，宇宙有可能在宏观上和微观上都是有限和离散的，而在经典数学中，无穷对象被认为是非常确定地存在的，与物理世界是否有限、离散无关。这导致了关于抽象、无穷数学对象的认识论难题。比如，经验论不能直接用于解释我们如何获得关于超出有限的经验世界的实无穷的知识；传统的理性主义解释，由于其独断论的倾向，当然也是可疑的；康德式的由先天认知形式决定的先天综合真理，原则上也只能涵盖我们的感官所可能涉及的范围，而不能达到经典数学中的实无穷。但是，另一方面，在科学与数学中，我们似乎确实是在谈论无穷的数学对象；数学家们所证明的、科学家们所应用的，似乎确实是关于数学对象的客观真理。这两方面表面上互相冲突的现象，构成了一个哲学上的谜。 这个难解的谜，是当代数学哲学的动力之一。对它的回应，包括两个对立的观点：数学实在论与唯名论（或称反实在论）。数学实在论者相信，抽象、无穷的数学对象客观地存在，而且数学定理是关于它们的客观真理。实在论的主要困难之一就是上面提及的认识论难点，即如何解释对数学对象的知识（Benacerraf 1973）。反之，对实在论的支持则来源于数学在现代科学中的广泛的应用，它由哲学家蒯因与普特南概括为所谓对于数学实在论的“不可或缺性论证”(indispensability argument, 参见Quine 1980; Putnam 1979)。数学唯名论或反实在论者则相反，认为抽象数学对象不存在，以此回避关于抽象数学对象的认识论难题。但是，数学反实在论者必须应对不可或缺性论证所带来的挑战，同时必须说明，假如数学不是关于抽象数学对象的客观真理，那么数学是什么，为什么数学可应用。不可或缺性论证是实在论与反实在论之争的焦点之一。本文将侧重于分析现有的对不可或缺性论证的批评的不足之处，探讨如何才能真正应对不可或缺性论证，并借此阐述一种新的反实在论的数学哲学。对本文所提出的反实在论数学哲学（从另一个角度出发）的更详细的正面论述，可参见Ye（2006）。在进入正文之前，这里必须指出，数学实在论与科学实在论是不同的两种观点。表面上它们都称为实在论，但数学实在论者是假设了一个独立于物质世界的、抽象的、客观的、无穷的数学世界（即使物质世界是有限的）。因此它们有实质性的区别。本文中的“实在论”都指数学实在论。2. 不可或缺性论证及对它的质疑最近些年，一些学者们对不可或缺性论证作了更准确、细致的表述。一般认为，不可或缺性论证包含这么几个前提（Colyvan 2004; Azzouni 1998）：（1）抽象数学对象的不可或缺性：用单称词项或变元指称抽象数学对象，或用量词概括抽象数学对象的判断，在科学理论中是必不可少的；（2）整体主义确证论：对科学理论的确证（confirmation）是整体性（holistic）的，即一个科学理论在经验上的正确性，不仅确证了它的关于物理对象(比如原子、电子等)的假设的真理性，也确证了它的关于抽象数学对象的假设的真理性；（3）本体论承诺准则：一个科学理论所断定为真正存在的事物，就是它的用一阶表达的论断中的变元的值，或量词所概括的事物；（4）自然主义原则：科学是本体论问题的最后裁判，没有超出科学之外的，断定某物“真正存在”的，“第一哲学”标准。由这些前提就可以得出，科学的成功，确证了抽象数学对象“真正地存在”。目前，反实在论者对它的种种质疑，主要是对前三个前提的质疑。质疑前提（1）的反实在论者有两类。一类认为，可以发展出一种新的、不指称抽象数学对象的、唯名论的数学，从而使得科学理论不必承诺那些不存在的抽象数学对象。Field（1980），Hellman（1989），Chihara（1990）属于这一类。另一类认为，数学判断不像它表面上所显示的那样，是关于一些时空之外的抽象数学对象的判断，相反，数学判断有隐藏着的真正涵义，而这些真正涵义其实不指称，也不用量词概括抽象数学对象。因此，他们也拒绝前提（1），但是他们不试图发明新数学，而只是想重新解释经典数学中的陈述，使得它们不承诺抽象数学对象。这一类中典型的有Yablo（2002）的比喻主义。拒绝前提（2）的反实在论者通常承认经典数学是对科学来说最好的数学，而不认为有可能发展出某种能够替代经典数学的唯名论数学。他们也依旧从字面意义上理解数学命题，承认数学判断确实指称抽象数学对象。但是，他们认为科学家们对数学判断的态度不是信其为真，而只是接受或使用它们，科学理论在经验上的成功，只确证了理论中的关于可观察或不可观察的物理对象的假设，而不确证其中的关于抽象数学对象的假设。这种观点也可分为两类：其中一类明确认为数学判断在字面意义上是假的，抽象数学对象是虚构的，而不真正地存在，如Hoffman（2004）。他们对数学对象的观点，接近于范弗拉森的构造经验论对不可观察的物理对象的观点。另一类则仅仅拒绝整体主义确证观，强调数学的自主性，但对于数学对象究竟是否真正存在，不作正面的、明确的回答，如Maddy（1997, 2005）。这种观点被称为数学自然主义。拒绝前提（3）的反实在论者，则试图对数学中的“存在”作出新的阐释。比如，有的提出，“存在”可以是一个谓词，或者可以有两种不同形式的存在量词，而只有其中的一种形式才真正蕴涵本体论承诺，而数学中的“存在”不必如此（Azzouni 1998）。这种策略与拒绝确证论上整体主义的策略的区别是，它试图进一步分析或质疑“抽象实体存在”的涵义和所谓“本体论承诺”这个概念本身，而不仅仅是质疑科学应用能够确证抽象实体的存在性。3. 当前对不可或缺性论证的质疑的缺陷3.1抽象数学对象的不可或缺性Field（1980）发展了一种几何化的数学，以时空中的点或区域为对象，重新表述一些经典数学的命题。比如，将时空中的一些离散的点的序列当作自然数序列，将时空中的线当作实数连续统，将时空区域当作实数集合等等。因此，一些经典数学的命题就被表述为关于时空中的点与区域的命题。他认为，时空中的点与区域是具体对象，因此这样的唯名论数学不假设抽象对象存在。如果这样的数学足以为科学提供数学基础，它说明了抽象数学对象不是不可或缺的。至于经典数学的实际应用，Field建议，可以通过将它们转化为唯名论数学的应用，来说明为什么表面上是在谈论不存在的抽象对象的经典数学是可用的。实在论的辩护者Burgess与Rosen（1997）对Field的批评强调，Field的唯名论数学，繁琐而且只能涵盖很有限的数学，不可能得到科学界的承认。除非某种唯名论数学被科学共同体接受，被认为是依科学标准（而非所谓的哲学标准）是更好的理论，否则它就不能说明，抽象对象在科学中是可消除的。他们认为，用唯名论数学代替经典数学的想法，是将一些哲学原理，即唯名论原则，置于科学之上，看得高于科学家们的判断。这是不可接受的，因为历史证明，从哲学的偏见出发来批评、拒绝科学，结果总是哲学失败。这里我想指出，Field的方案的另一些更根本性的缺陷，迄今为止似乎都被他的批评者们忽略，即唯名论者不能假设无穷，甚至潜无穷的实在性。Field（1980）的唯名论数学假设了有无穷多的时空中的点，因此它假设了实无穷。Field在他的最近的相关文章（Field 1998）中，更明确提到了时空是无穷的这一假设。但是，从物理学的角度说，宇宙在宏观上是有限的，而微观时空结构也有可能是离散的。如果宇宙是有限和离散的，那么它意味着宇宙间总共只有有限多的具体事物。假设无穷，哪怕是潜无穷，就是假设了抽象事物的实在性。微观时空结构是否离散，当然在物理学中还只是一个未定的假说，但要点是，一种数学哲学应该独立于一个今天还未确定的物理学假设。经典数学不仅仅被应用在物理学中，它还被应用在经济学等其它领域中，其中所应用的对象显然是有限和离散的，与时空结构是否为连续无关。而且，即使有一天所有物理学家都接受了时空结构是有限、离散的这一假设，可以想象，科学家还是会同样地应用经典数学于物理学或经济学中。更进一步说，所有今天的科学理论，包括牛顿物理、相对论物理、与量子物理等，都仅仅在有限的范围、有限的精度内是准确的。普朗克尺度（10-33cm）以下的空间结构，已经超出我们今天所能认识的范围。所以，实际上今天所有的经典数学的应用，包括在物理学中的应用，都是对有限事物的应用，与经典数学在对象明显为有限、离散的经济学中的应用，没有实质性的差别。如果一种数学哲学理论，在解释经典数学是什么，为什么可应用时，需要依赖时空的无穷性这样的物理学假设，那么这种哲学一定错过了关于数学的一些本质性的东西。这实际上是Field的方案的更根本性的问题。3.2 整体主义确证论问题上世纪九十年代开始，一些学者开始将注意力转向质疑不可或缺性论证中的整体主义确证论假设，部分原因可能是由于意识到Field式的策略的局限性，因此，他们将注意力转向询问，以经典数学为基础的自然科学的成功，是否真正确证了经典数学的真理性。Maddy（1997）提出，科学家本身对科学中的假设持有不同的态度，从仅仅接受为方便的假设到完全信其为真。Maddy以原子论为例子。到十九世纪末，原子论已经被大多数化学家们接受为能够解释化学现象的最好的理论，但是科学家们对原子是否真的存在还有疑虑，一直到二十世纪初，根据爱因斯坦对布朗运动的计算所作的实验成功后，科学家们才消除了怀疑。这说明，科学确证需要更直接的证据，而不仅仅是包含某假设的理论在整体上是可被接受的，因为一个假设，有可能被当作是仅仅带来方便的假设。然后，Maddy认为，科学理论中的数学的角色恰是属于仅仅带来方便的假设，而不是被直接确证为真的假设。对于这一断言的证据，Maddy提到，数学对象与科学理论中提到的，像质点、理想气体那样的理想化的事物一样，是用来表达理论的方便的设置。以使用连续模型来模拟时空结构为例，它带来方便，但是科学家们并不认为它确证了时空结构是连续的（参见Maddy 2005）。Leng（2002）进一步提出，数学的作用是用来做模型。这也许是科学家们心中的常识。当一个数学模型被成功地用来模拟某一类自然现象时，被经验确证的是“这个模型可以模拟这一类现象”这种论断，而不是我们的关于模型本身的论断。反之，假如一个数学模型的应用失败了，它否定的也是这样的“可应用性”论断，而这个模型本身还可能在其它地方得到应用。因此，数学的应用不确证或否证数学本身。批评者（Burgess & Rosen 1997；Rosen & Burgess 2005）则认为，数学本身就是科学的一部分，数学家们对数学的确证与物理学家们对物理学的确证有着同等的地位。他们强调，数学家们是认真地相信他们证明的定理的。反之，当科学家们对一种数学理论有疑虑时，他们是将问题转给数学家们，让数学家们决定什么数学理论是正确的。比如，早期量子力学中的使用的狄拉克函数是有问题的，而后数学家们发展了更正确的广义函数理论。科学家们确实不认为连续的时空模型是同构于物理时空的，但是这并不排除他们相信，关于抽象的连续时空模型的数学判断是字面意义上为真的。Burgess与Rosen其实是假设了大多数数学家是从字面意义上理解数学判断，而且持有或至少隐含地预设了数学实在论的观点，然后强调哲学家应该尊重数学家的观点。这里我想指出，Maddy、Leng等人对整体主义确证的质疑确实还有不足之处。首先，Maddy考虑更多的是集合论中的那些不那么自明的公理，因此数学判断的真理性，显得与关于原子存在的判断的真理性一样，可以有疑问。假如我们考虑最简单的数学命题，比如“2+2=4”，或者“存在大于2而且小于4的自然数”，那么显然，科学家们对它们的信念程度要远远超过对原子存在的信念程度。因此，如果说科学实践还没有确证“存在大于2而且小于4的自然数”，因而还没有确证自然数存在，那么它必定是由于其它的原因，比如，由于这个语句不应该按字面意义理解（或者即使按字面意义理解它也不是在断言某种抽象事物客观存在），而不是由于这个判断是像十九世纪时的“原子存在” 这个判断那样，还缺乏更直接的、更充分的证据。Leng的“数学是用来做模型”这种描述是正确的，但是也还不够。将连续时空模型用于模拟物理时空，确实不能确证连续时空模型是绝对精确地同构于物理时空的。但是，在直观上，连续时空模型确实是真实地，虽然是近似地同构于物理时空的。这也是用连续时空模型模拟物理时空之所以成功的原因。如果它们甚至都不近似地同构，用连续时空模型来模拟真实的物理时空，显然不可能成功。然后，我们可以问，假如抽象数学对象完全不存在的话，那么究竟什么东西是真实地，虽然是近似地同构于物理时空？本体论上绝对的“无”或“虚空”不会同构于任何存在的事物，哪怕是近似地同构。而这正是不可或缺性论证的部分直观基础，即一些数学对象至少在某种意义上是存在的，而且是真实地、虽然是近似地同构于物理对象的，而且，我们关于这些数学对象的定理本身，必须是精确地为真（而非近似地真或甚至为假），否则，使用这些定理来作推理和计算，也就不能使我们的理论得到成功。不少具有反实在论倾向的学者，常以各种方式持有数学只是有用的工具，而不表达关于外部事物的真理的观点。称“数学是用来做模型的”，也是这样一种工具论。但是，工具本身应该是真实存在的事物，而且工具本身应该遵循一些真实的自然规律，作为工具的工作原理。比如，电脑是一种工具，但电脑是真实地存在着的具体事物，而且电脑的工作原理有着科学的、字面意义上真的解释。如果数学也是一种工具，而数学对象不存在，那么数学工具主义者就应该解释，究竟什么真实存在的东西在数学应用中被用来作为工具，这些工具的真实的工作原理又是什么。到目前为止，这些学者还没有尝试回答这些问题，因此，数学工具主义的论断还有缺陷。3.3 本体论承诺原则与蒯因的自然主义Azzouni（1998）提出，可以区分“存在原则”与“本体论承诺原则”。存在原则断言，只有某些事物才能真正存在，比如，只有时空中的具体事物才能存在；本体论承诺原则则说明，如何识别一个理论承诺了什么东西存在。蒯因认为只有后者才有意义，而且他提出了“一个理论的本体论承诺就是它的一阶变元的值，或一阶量词所概括的范围”这一原则。然而，事实上，在日常语言中，更一般的做法是使用“虚构的”与“真实的”这样的谓词，而一个语境的真正的本体论承诺，是这个被断定为真实而非虚构的东西。如果我们接受了“只有存在于时空中的东西才是真正存在的”这样一个存在原则，我们可以将“真实的”解释为“存在于时空中的”，而采纳“一个理论的本体论承诺，就是这个理论断定为真实而非虚构的东西”这样一个本体论承诺原则。这样，科学理论完全符合我们的存在原则与本体论承诺原则，虽然科学理论的语句中的变元可以以虚构的事物为值。谈论存在原则，表面上可能与蒯因的自然主义原则相悖。Azzouni也认为，存在原则是哲学上不确定的。Azzouni考察了两种可能的独立确定存在原则的方法并拒绝了它们。其中第二种方法是依赖本体论直觉来判断存在原则。Azzouni拒绝它的理由是，这种直觉常常就是偏见，而且本体论中的争论，包括数学实在论与反实在论的争论，本身就是互相冲突的直觉的结果。比如，物理学家与数学家对抽象数学对象的客观性，就可能有互相冲突的直觉。物理学家可能更倾向于认为，数学只是一种语言，一种形式化方式，并不表达关于客观实在的真理；而数学家们可能更愿意相信数学实在论。我们认为，Azzouni的分析是部分地合理的，但由它并不能得出最终的关于存在原则的不确定性的结论，而且，探讨存在原则并不与自然主义原则相背离，并不是追求超越科学的形而上学。要认识到这一点，很重要的是，要认识到蒯因的自然主义的两个严重问题。首先，蒯因声称他拒绝笛卡尔的第一哲学，但是，蒯因实际上依旧是将心灵视为脱离自然、与自然对立的东西。在蒯因的图景中，心灵似乎与某个实在的世界相对立，试图把握实在，确定什么对象在实在中存在。语言被看成心灵与实在之间的媒介物，是心灵指向实在的工具。语言本身似乎既不是心灵中的，也不是外部实在中的。心灵为一阶语言的变元与量词设置指称，成为被心灵相信为存在的事物。“自然主义”在这里仅仅意味着，笛卡尔式的内省不是心灵认识实在的主要手段，相反，用语言表达的科学理论，以及对理论的经验验证，是更好的手段。然后，由于我们使用的语言中包含一些不指称或概括时空中的物质对象的变元和量词，因此，蒯因认为心灵也设置抽象对象，作为这些变元和量词的指称。然而，在科学的图景中，心灵是大脑神经元的功能，是自然事物的一部分。语言本身也是自然现象，而且仅仅最近才在进化历史中出现。具体的语词（tokens）作为声波或视觉形象模式，与石头、树木等自然事物并没有实质性的差异。语义关系或指称关系，首先是由大脑神经元实现的大脑中的内在表征，与它们所表示的外部具体事物之间的某种特殊的自然关系，其次是作为声波或视觉形象模式的语词，通过大脑，与其它外部具体事物之间的某种特殊的自然关系。而如果一个作为神经元状态的内在表征，不直接表示外部具体事物，那么它们一定是通过与其它能够直接表示外部具体事物的内在表征，来与外部事物相关联，它们的功能，在于它们对大脑中其它内在表征的影响。比如，与数词“3”在记忆中相连的内在表征，不直接表示外部事物，但是，它可以与量词“棵”以及名词“树”，所对应的内在表征相结合，构成直接表示外部事物的“3棵树”。由此，与数词“3” 相连的内在表征，也间接地与外部具体事物相关联。断言与数词“3”也直接表示了某个抽象实体，并无助于解释与描述大脑中的“3”的实际功能，它如何在大脑中工作，如何影响其它神经元，以及它们一起最终如何控制眼睛、手的肌肉以与外部具体事物相联系等等。蒯因的自然主义的第二个问题是，它声称科学家们是在提出与确证本体论论断，因此本体论问题应该由科学回答。事实上，科学家们并不作本体论上的论断。作为基因遗传的结果，大脑直接地控制眼睛、手等等去注视或触及空间中的事物，也直接将观察过的事件按时间顺序保留在记忆中。从这个意义上说，大脑直接预设了时空作为存在物的容器。而且，时空是被存在物充满的，物理上的真空还是本体论上的存在物，与形而上学上的虚无是不同的。当科学家们提出水是由原子组成时，他们不是在形而上的虚空中设置一些实体，他们只是在描述他们预设存在的宇宙的部分，即水的微小部分不是由连续的物质构成，而是由物理真空以及其中的微小粒子构成。科学家们并不是在存在与形而上的虚无之间作选择，而断言了存在。相反，他们在从事科学研究之前就已经接受了一个本体论预设，即这个宇宙与它的部分存在，然后他们是在描述预设为存在着的东西。对抽象事物存在的信念恰来源于蒯因图景中的这两个问题。将心灵对立于自然，才使得心灵似乎是面对着两种不同类型的实体，物质的实体与抽象的实体；将语言视为超自然的心灵与实在之间的媒介，才使得我们去问一些词项是否指称实在中的抽象事物，才有了蒯因的本体论承诺原则。同时，忽视科学家们在从事科学研究之前就预设了整个宇宙的存在，而将科学论断视为本体论论断，才使得蒯因将抽象实体与电子、原子等物理粒子相比拟，从而认为科学可以确证本体论论断，因此也可以确证抽象事物存在。澄清了这两个问题，意味着抽象实体的实在性，至多是一种附加在科学家们的本体论预设之上的哲学信念。因此，我们可以在科学家们与数学家们可以共同接受的，更基本的自然主义前提下，即在关于宇宙存在的预设以及关于心灵的自然主义图景的前提下，来考察抽象实体的实在论这个附加的哲学信念是否有必要。如果我们能够在这样的自然主义前提下，完全地解释人类的数学认知活动与数学的可应用性，能够说明人类对于数学实在论的直觉，有可能包含了一些由于语言、思维习惯等而导致的幻觉，能够说明实在论的信念其实对解释大脑中数学内在表征的功能并不相干，而且又能够说明对于数学实在论的直觉的合理之处，以及它们实际上并不蕴涵数学实在论的结论，那么，这就有可能提出一种能够让科学家与数学家都接受的对反实在论的辩护。这不是依赖本体论直觉来确定存在原则，或追求超越科学的形而上学。它是试图在科学常识的基础上消除人类幻觉，在科学内部消除互相冲突的直觉带来的困惑，是探讨更基本的自然主义前提是否就足以科学地解释人类的数学认知活动，是自然主义对自身的澄清。4一种反实在论数学哲学由前面的分析，要应对不可或缺性论证，反实在论者一方面不能假设无穷、乃至潜无穷的实在性，另一方面必须解释在数学应用中，究竟什么是真实存在的作为工具的事物，以及这些工具的真实的工作原理是什么。彻底的（不同于蒯因式的）自然主义，恰好能够为做到这两点提供一个框架。这种反实在论数学哲学包括如下几个要点：首先，在数学应用中，真正存在的、被用作工具的，不是抽象数学对象，而是我们想象抽象数学对象时在大脑中创造的内在表征（inner representation）。换句话说，我们的一些内在表征直接地表示具体的外部事物，但是，我们的另一些内在表征不直接地表示具体的外部事物，这包括我们想象事物时在大脑中创造的内在表征。这两种内在表征有着同样的内在结构。我们的大脑以同样的方式处理这两类内在表征。我们甚至可以对它们产生同样的意向性态度，即意图使它们都表示外部事物，虽然对后一类内在表征来说这种意图不能实现。想象事物，或谈论虚构的事物，就是我们的心灵，以同样的方式处理第二类内在表征。在这个意义上，数学对象是虚构的。称某物为虚构的，只是一种方便的表达方式，因为并不存在此物。关于虚构事物的判断的内容，在于这第二类内在表征的内在结构以及它们在大脑中的功能。另一方面，虚构事物可以与真实事物客观地相似，它意味着，可以将这第二类内在表征，以某种方式翻译为关于真实事物的真实判断，而这是有客观基础的。这种第二类内在表征不直接表示固定的一个或一类外部事物，但它们实际上以间接的，但更灵活、更一般性的（即更抽象的）方式，与外部事物相联系。比如，我们关于自然数“9”的内在表征，不直接表示一个特定的外部事物，但是，它与“9粒苹果”，“9尺长”，“数9次”等真实的事物、事物的数量属性、或外部事件等等相联系。这种第二类内在表征，是我们的大脑为了概括、表示外部事物的一些一般性特征而创造的。将经典数学应用于外部世界，就好比用虚构的故事来模拟真实的事物。如前面已经提到的，数学的作用是在于构造模型。但真正做模型的是大脑中的数学内在表征。数学的可应用性，是基于大脑中的数学内在表征与外部真实事物之间的一些关系，包括虚构的数学对象（比如黎曼空间）与外部真实事物（如物理时空）之间的如上所说的相似性。数学应用的过程包括从具体外部事物，到大脑中直接表示外部事物的判断，到大脑中的能够概括、抽象地表示这些判断的数学内在表征，到大脑（借助于纸、笔、计算机）对这些数学内在表征的处理，再到将处理结果翻译为大脑中直接表示外部事物的判断，最后再到相应的外部事物。要以科学的、实在论的方式解释数学的可应用性，就是要说明这个应用过程如何保持了关于具体外部事物的判断的真理性。这种解释所论及的，都是具体的事物，包括大脑中的事物及外部事物。相反，大脑中的数学内在表征是否直接表示某种抽象数学对象，与这种解释无关。探求这种解释可以包括两个步骤。首先，对于不假设无穷或潜无穷的有穷数学，我们想象数学对象时大脑中所接受的判断，可以较直接地翻译为关于外部事物的判断。比如，想象自然数时接受的判断“2+3=5”，可以直接地翻译为“2颗苹果加3颗苹果是5颗苹果”等等。这里，纯数学提供一些推理模式，表达为关于虚构事物的推理与计算。在应用时，它们被具体化为关于具体的外部事物的健全的推理，即具有字面意义上的真前提的有效的推理。其次，想象无穷数学结构时大脑中所接受的判断，当然不能作这样直接的翻译，因为外部事物总是有穷、离散的。比如，将数学模型中的连续性条件，直接翻译为关于有穷、离散的外部事物的判断，将得到字面意义上是假的判断。但是，一些技术性的研究表明，有穷主义数学已经有相当的强度，比如，作为经典量子力学基础的希尔伯特空间上的无界线性算子理论，可以在有穷主义数学的框架下发展起来（Ye 2000）。由于将无穷数学应用于有限事物时，无穷是用来近似地逼近有限事物，用来构造关于极其复杂的有限事物的简化的模型，我们很自然地猜测，无穷数学的应用，原则上都可以还原为有穷主义数学的应用（Ye 2000, 2006）。这种原则上的可还原性，如果成立的话，就说明了经典数学的可应用性。它意味着，经典数学的可应用性，不在于它本身是字面意义上的（关于抽象数学对象的）真理，而在于当它们被应用时，无穷在原则上可消除，经典数学的应用，原则上可转化为有穷数学的应用，而后者的可应用性可如上得到解释。换句话说，科学家们聪明地想象无穷，在大脑中创造相关的内在表征，来简化地表达关于有限的外部事物的极其复杂的信息。要从逻辑上最严格地说明为何如此能够得到关于有限的外部具体事物的真理，就要说明原则上无穷可被消除，大脑中对相关的判断的推理，可以首先转化为有穷数学中的推理，然后再转化为关于有限外部事物的逻辑上健全的推理。另外，我们对数学对象的想象是受客观性条件制约的。这包括几个方面：（1）客观存在的具体事物客观规律性；（2）想象的目的，比如，用于模拟客观存在的具体事物；（3）由大脑的先天结构决定的对我们的想象能力的限制。这好比一个作家在构思一个故事时，会说故事中的人物有自己的生命，这是指构思故事以表现真实人物的目的，以及真实存在着的人物客观规律性，使得作家只能以一种方式去虚构故事。同样，我们只能以遵循经典逻辑与算术规律的方式，来直接地想象稳定的、有自身同一性的个体，比如，我们不能直接地想象量子论层次上的、非经典的、不确定的微观实体。因此，我们的想象也必须遵循经典逻辑与基本的算术原理。我们的想象能力也限制了我们对无穷的想象，即我们只能依据对有穷世界的经验，去想象如何超出任一有穷范围，不预设一个边界。数学的客观性及逻辑与算术等的先天性与必然性，可以通过考察由大脑的先天结构决定的我们的想象能力的界限来解释。这是我要提出的一种反实在论数学哲学。它包含了对不可或缺性论证的所有四个前提的拒斥。消除数学应用中的无穷，意味着证明抽象对象不是绝对不可或缺的；拒绝蒯因式的自然主义图景而接受更彻底的自然科学的自然主义图景，也意味着拒绝蒯因的本体论承诺原则与绝蒯因式的整体主义确证论。最后还要解释一下如何回应前面提到的，唯名论数学是比经典数学更差的理论这一看法。这是误解了数学哲学的目的。消除无穷以解释无穷数学的可应用性，不是要用有穷主义数学代替经典数学。恰恰相反，人类的聪明才智就在于能够想象出一些虚构的事物，来概括或简化地描述极其复杂的，但有限的外部世界。而且，人类创造与应用这些虚构事物，是依赖于复杂的、难以分析的、直觉的思维过程。科学家们直觉地猜测到，一个连续的模型可以很有效、很简单地模拟由有限、离散的运动粒子构成的流体。哲学家与逻辑学家的任务，是对科学家的聪明才智，作逻辑上的分析，而不是用这种分析去替代科学家的创造性想象的应用。直观上，这种分析应该意味着消除无穷，将连续模型的应用，还原为更烦琐的，但是对有限事物作的有限的计算，因此它自然地导向对无穷的反实在论解释。这种分析当然不可避免地是极其复杂与烦琐的。因这种烦琐与复杂性去反对唯名论数学哲学，是一种误解。 参考文献Azzouni, J. (1998) “On On What There IS”, Pacific Philosophical Quarterly 79, 1-18.Benacerraf, P. (1973) “Mathematical truth”, Journal of Philosophy 70, 661-679.Burgess, J. P. and G. Rosen (1997) A Subject with No Object, Oxford: Clarendon Press.Chihara, C. (1990) Constructibility and Mathematical Existence, Oxford : Clarendon Press.Colyvan, M. (2004) “Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics”, in Stanford Encyclopedia of Philosophy. E. N. Zalta (ed.), http:/plato.stanford.edu/entries/mathphil-indis/Field, H. (1980) Science without Numbers, Basil Blackwell, Oxford.Field, H. (1998) Which Undecidable Mathematical Sentences Have Determinate Truth Values? in H. G. Dales and G. Oliveri (ed.), Truth in Mathematics, Oxford University Press.Hellman, G. (1989): Mathematics without Numbers, Oxford: Oxford University Press.Hoffman, S. (2004) “Kitcher, Ideal Agents, and Fictionalism”, Philosophia Mathematica (3) 12, 3-17.Leng, M. (2002) “Whats Wrong with Indispensability?”, Synthese 131, 395-417.Maddy, P. (1997) Naturalism in Mathematics, Oxford: Clarendon Press.Maddy, P. (2005) “Three Forms of naturalism”, in S. Shapiro (ed.) The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford University Press, 2005.Putnam, H. (1979) Philosophy of Logic, in Mathematics Matter and Method: Philosophical Papers Vol. 1, 2nd edition, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 323-357.Quine, W.V. (1980) From a Logical Point of View, 2nd edition, Cambridge, MA: Harvard University Press.Rosen, G. and J. P. Burgess (2005) “Nominalism Reconsidered”, in S. Shapiro (ed.) The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford University Press, 2005.Yablo, S. (2002): Abstract Objects: A Case Study, Nos 36, 220-240.Ye, F. (2000) Strict Constructivism and the Philosophy of Mathematics, Ph.D. dissertation, Princeton University, Princeton, NJ.Ye, F. (2006) “What Anti-Realism in Philosophy of Mathematics Must Offer?”, to appear.Abstract The Indispensability Argument for realism in mathematics is one of the major controversies in contemporary philosophy of mathematics. I discuss problems in current objections to the argument, propose ideas for a more cogent objection, and present an anti-realistic account for mathematics based on those ideas.8