介质中的高斯定理实用教案

110E0LE dlE 1)1)介质中，极化电荷只是静电场的散度源，对其旋度介质中，极化电荷只是静电场的散度源，对其旋度没有影响。极化电荷激发的场没有影响。极化电荷激发的场E0E仍满足仍满足根据根据(gnj)(gnj)叠加原理，介质中的总场仍是无旋的。即叠加原理，介质中的总场仍是无旋的。即 故可引入标量电位故可引入标量电位自由电荷自由电荷(z yu din (z yu din h)h)：0E介质被极化介质被极化 极化电荷：极化电荷：,PE 0EPE介质空间中电场：介质空间中电场：0EEE介质空间外加电场介质空间外加电场 ，实际电场为，实际电场为 ，变化与介质性，变化与介质性质有关。质有关。0EE,第1页/共33页第一页，共34页。22)2)介质极化后，介质中的静电场是自由电荷与极化电荷共同介质极化后，介质中的静电场是自由电荷与极化电荷共同激发的，根据激发的，根据(gnj)(gnj)高斯定律，有：高斯定律，有：P0E0()EP定义定义(dngy)(dngy)一个新矢量：一个新矢量：0DEPDSVD dSDdV SVD dSdVQ 介质介质(jizh)(jizh)中的中的高斯定理高斯定理根据散度定理，有根据散度定理，有 结论：穿过任意封闭曲面的电通量，只与曲面中包围的自由 电荷有关，而与介质的极化状况无关。电位移矢量电位移矢量代入上式可得：代入上式可得： PP将将第2页/共33页第二页，共34页。30ED0LE dlSVD dSdVQ 介质中静电场的基本介质中静电场的基本(jbn)(jbn)方程为：方程为：积分积分(jfn)(jfn)形式形式微分形式微分形式介质介质(jizh)(jizh)中静电场仍为有源无旋场。中静电场仍为有源无旋场。, ,D E P 2 2的关系的关系 极化强度极化强度 与电场强度与电场强度 之间的关系由介质的性质决定。之间的关系由介质的性质决定。对于线性各向同性介质，对于线性各向同性介质， 和和 有简单的线性关系有简单的线性关系e 0P= EEPEP第3页/共33页第三页，共34页。40DEP 0r 称为介质称为介质(jizh)(jizh)的介电常数的介电常数0ePE 已知电极化率已知电极化率e e为正实数，因此，一切介质为正实数，因此，一切介质(jizh)(jizh)的介电常数均大于真空的介电常数。的介电常数均大于真空的介电常数。 实际中经常使用实际中经常使用(shyng)(shyng)介电常数的相对值，这种介电常数的相对值，这种相对值称为相对介电常数，以相对值称为相对介电常数，以r r表示，其定义为表示，其定义为e0r1可见，任何介质的相对介电常数总是可见，任何介质的相对介电常数总是大于大于1 1。下表给出了几。下表给出了几种介质的相对介电常数的近似值。种介质的相对介电常数的近似值。0(1)eE0rE E第4页/共33页第四页，共34页。5介介 质质介介 质质空空 气气1.0石石 英英3.3油油2.3云云 母母6.0纸纸1.34.0陶陶 瓷瓷5.36.5有机玻璃有机玻璃2.63.5纯纯 水水81石石 腊腊2.1树树 脂脂3.3聚乙烯聚乙烯2.3聚苯乙烯聚苯乙烯2.6 r r r rDE0()PE 0P 1r0DE在真空在真空(zhnkng)(zhnkng)中，中，第5页/共33页第五页，共34页。6计算计算(j sun)(j sun)技巧：技巧：a） 分析场分布的对称性，判断能否用高斯(o s)定律 求解。b）选择适当的闭合面作为高斯面，使 中的 D 可作为常数提出积分号外。SD dS 高斯定律适用于任何情况，但仅具有一定(ydng)对称性的场才有解析解。 3.高斯定律的应用高斯定律的应用第6页/共33页第六页，共34页。74. 4.介质介质(jizh)(jizh)中的电位方程中的电位方程在均匀、各向同性、线性媒质中（在均匀、各向同性、线性媒质中（ 为常数）为常数）D()E E ()E 2 介质介质(jizh)(jizh)中的中的泊松方程泊松方程媒媒质质(m(miizhzh)线性媒质线性媒质：媒质参数不随电场的值而变化，反之，称为非线性媒质参数不随电场的值而变化，反之，称为非线性媒质；媒质；均匀媒质均匀媒质：媒质参数不随空间坐标而变化，反之，称为非均匀媒质参数不随空间坐标而变化，反之，称为非均匀媒质；媒质；各向同性媒质各向同性媒质：媒质特性不随电场的方向改变：媒质特性不随电场的方向改变, ,反之，称为反之，称为各向异性媒质。各向异性媒质。E 0 在在的的区区域域，则则有有20介质中的拉普拉斯方程介质中的拉普拉斯方程第7页/共33页第七页，共34页。8SD dSq 343qa23443Drr34qrDa3()4rqrDeraa例例1 1：已知半径为：已知半径为a a，介电常数为，介电常数为 的介质球带电荷为的介质球带电荷为q q，球外为空气，分别在下列情况下求空间各点的电场和介球外为空气，分别在下列情况下求空间各点的电场和介质中的极化电荷分布：质中的极化电荷分布：1 1）电荷）电荷q q均匀分布在球体内；均匀分布在球体内；2 2）电荷）电荷q q集中在球心；集中在球心；3 3）电荷）电荷q q均匀分布在球面上。均匀分布在球面上。解：解：1 1）电荷）电荷q q均匀分布在球体内均匀分布在球体内(t ni)(t ni)时，电场分布为时，电场分布为33qra第8页/共33页第八页，共34页。913()4rqrEeraa220()4rqEerar1PP 221()rArArr 20231()()4Pdqrrr dra 1|Pr ar aP n 介质介质(jizh)(jizh)球内，极化电荷分布为球内，极化电荷分布为球坐标球坐标(zubio)(zubio)中，中，r=ar=a的球面的球面(qimin)(qimin)上，上，3()4rqrDeraa10()E 10()E 033()4qa 01()|rr aE e 02()4qa第9页/共33页第九页，共34页。1012()4rqEerar220()4rqEerar1PP 20221()()04dqrr drr 0r 处，处，r=0r=0处为电场的奇异点，该处应有处为电场的奇异点，该处应有(yn yu)(yn yu)一极化点一极化点电荷，设此极化点电荷为电荷，设此极化点电荷为qPqP，根据高斯定理，有，根据高斯定理，有 2 2）电荷）电荷q q集中在球心时，电场集中在球心时，电场(din (din chng)chng)分布为分布为10()E 1|Pr ar aP n 在在r=ar=a的球面的球面(qimin)(qimin)上，上，01()|rr aE e 020()4qa第10页/共33页第十页，共34页。1120244Pqrqqr0Pqq 10()Era220()4rqEerar1PP 1|0Pr ar aP n 取取S S为以介质球心为中心为以介质球心为中心(zhngxn)(zhngxn)，r(ra) r(ra) 为半径的球面，为半径的球面，介质介质(jizh)(jizh)球内，球内，在在r=ar=a的球面的球面(qimin)(qimin)上，上，10PSEdSqq 3 3）电荷）电荷q q均匀分布在球面上时，电场分布为均匀分布在球面上时，电场分布为10()0E 第11页/共33页第十一页，共34页。12其中其中 为一常数。为一常数。1)1)计算束缚电荷体密度和面密度；计算束缚电荷体密度和面密度；2)2)计算自由电荷体密度；计算自由电荷体密度；3)3)计算球内、外的电场和电位计算球内、外的电场和电位(din wi)(din wi)分布。分布。例例2:2:一个半径为一个半径为 、介电常数为、介电常数为 的均匀介质球内的极的均匀介质球内的极化强度为化强度为arerKP K222)(1rKrKrdrdrPPaKPePnarrarP|ra在的球面上，束缚电荷面密度为在的球面上，束缚电荷面密度为 解：解：1)1)介质介质(jizh)(jizh)球内的束缚电荷体密度球内的束缚电荷体密度为为第12页/共33页第十二页，共34页。13PED0PDPED00PD)1 (02000()PKDPr VaaKdrrrKdVq022004412)2)由于由于(yuy)(yuy)，所以，所以(suy)(suy)即即 总的自由电荷总的自由电荷(z yu din h)(z yu din h)量量 由此得到介质球内的自由电荷体密度为由此得到介质球内的自由电荷体密度为第13页/共33页第十三页，共34页。14)()(20001arrKePEr)()(4200202arraKerqeErr1122000000()()ln()()()aarraraKaKE dlE drE drdrdrrrKaKrar 2220000()()()rraKE drdrraKrar 3 3）介质球内、外的电场强度）介质球内、外的电场强度(qingd)(qingd)分别为分别为介质球内、外的电位介质球内、外的电位(din wi)(din wi)分别为分别为第14页/共33页第十四页，共34页。2媒 质 21媒 质 1分 界 面nD1D20hS1215三、静电场的边界条件三、静电场的边界条件介质介质(jizh)(jizh)特性突变特性突变场突变场突变(tbin)(tbin)边界条件：揭示介质两边边界条件：揭示介质两边(lingbin)(lingbin)电场之间电场之间的联系。的联系。1 1、 的边界条件的边界条件D如图，柱形面上、下底面积如图，柱形面上、下底面积S很小，故穿过截面很小，故穿过截面S的电通量的电通量密度可视为常数，假设柱形面密度可视为常数，假设柱形面的高的高h0，则其侧面积可以忽，则其侧面积可以忽略不计。略不计。 SD dSq12()DDn设分界面上存在的自由面电荷密度为设分界面上存在的自由面电荷密度为 ，由，由高斯定理高斯定理12SD dSD n SDn S S 第15页/共33页第十五页，共34页。1612nnDD12()DDn说明：说明：1) 1) 为分界面上为分界面上自由电荷面密度自由电荷面密度，不包括自，不包括自由极化电荷。由极化电荷。2 2）若媒质为理想媒质，则）若媒质为理想媒质，则0120nnDD结论：结论：若边界面上不存在自由电荷，则若边界面上不存在自由电荷，则 法向连续。法向连续。D第16页/共33页第十六页，共34页。172 2、 的边界条件的边界条件E由于静电场是保守场，将这一结论应用于穿越媒质分界面由于静电场是保守场，将这一结论应用于穿越媒质分界面的矩形闭合的矩形闭合(b h)(b h)路径路径abcdaabcda，如图所示。，如图所示。当当h0h0时时bcbc和和dada对积分对积分(jfn)(jfn)的贡献可忽略不计，因的贡献可忽略不计，因此有此有120lE dlE tlEtl 0lE dl12()0tEEsnt1媒 质 1分 界 面2媒 质 2E1atE2aln12s0hdbctns第17页/共33页第十七页，共34页。1812()0tEE12ttEE上式表明：分界面上电场上式表明：分界面上电场(din chng)(din chng)强度的切向分量总是强度的切向分量总是连续的。连续的。snt12() ()0snEE)()()(bacacbcba12()0snEE12bscnaEE因回路因回路(hul)(hul)是任取的，对于不同的是任取的，对于不同的s s取向，上式总是取向，上式总是成立的，故有成立的，故有12()0nEE1122sinsinEE第18页/共33页第十八页，共34页。19 3 3、 折射折射(zhsh)(zhsh)定律定律 212En1E212D1D12()0DDn12()0EEn11221122coscossinsinDDEE1122tantan在理想媒质分界面上，在理想媒质分界面上， 。设设分界面两侧的电场与法线分界面两侧的电场与法线 的夹角的夹角分别为分别为1 1和和2 2，则有：，则有：0n在两种在两种不同介质不同介质的的分界面分界面上，电场强度上，电场强度 和电位移矢和电位移矢量量 一定会改变方向，只有当一定会改变方向，只有当1 1或或2 2等于零时，分界等于零时，分界面上的电场方向才不改变，像平行板、同轴线和同心面上的电场方向才不改变，像平行板、同轴线和同心球中的电场就是这种情况。球中的电场就是这种情况。DE折射(zhsh)定律第19页/共33页第十九页，共34页。204 4、电位、电位(din wi)(din wi)的边界条件的边界条件设 P1 与 P2 位于分界面两侧， 0d 1200lim0ddE dl12因此电位连续121n11n12n22n2,DEDEnn 1212nn得电位的法向导数不连续由 ，其中2n1nDD第20页/共33页第二十页，共34页。215 5、导体表面、导体表面(biomin)(biomin)上的边值关系上的边值关系常数s|snnEdSndSQSS2n1n1t2t DDEE，121212 , nn 由边界由边界(binji)(binji)面上的边界面上的边界(binji)(binji)条件得条件得nt 0DE，在分解在分解(fnji)(fnji)面介质一侧，有面介质一侧，有0E 导体中,（2 2）导体表面上任一点的）导体表面上任一点的 D Dn n等于该点的等于该点的 。说明说明 （1 1）导体表面是等位面，）导体表面是等位面， 线与导体表面垂直；线与导体表面垂直；E第21页/共33页第二十一页，共34页。22应用应用(yngyng)(yngyng)高斯定理求解边值问题高斯定理求解边值问题步骤：步骤：1)1)根据电荷分布，判断电场根据电荷分布，判断电场(din (din chng)chng)方向；方向；2)2)判断电场方向判断电场方向(fngxing)(fngxing)与边界面关系（垂直或相与边界面关系（垂直或相切）；切）；3)3)应用边界条件，判断是应用边界条件，判断是 连续连续还是还是 连续连续。DE4)4)应用高斯公式求解，一般用应用高斯公式求解，一般用 求解求解SD dSq第22页/共33页第二十二页，共34页。23分析：电场方向分析：电场方向(fngxing)(fngxing)沿径向沿径向，在介质，在介质1 1和介质和介质2 2的分界面上，电的分界面上，电场平行于介质分界面，由边界条件场平行于介质分界面，由边界条件可知可知: :SD dSq2122()rDDq解：解：1)1)由高斯由高斯(o (o s)s)定律定律例例3 3：球形电容器内导体半径为：球形电容器内导体半径为a a，外球壳半径为外球壳半径为b b。其其间充满介电常数为间充满介电常数为 和和 的两种均匀媒质。设内导体带的两种均匀媒质。设内导体带电荷为电荷为q q，外球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。外球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。1)1)两球壳间的电场和电位分布；两球壳间的电场和电位分布；2)2)极化电荷分布；极化电荷分布；3)3)导体表面上的自由电荷面密度。导体表面上的自由电荷面密度。12ab12q12ttEEE111ED222EDEEE21第23页/共33页第二十三页，共34页。242122()rEEq212()2 ()rqEearbr 12()()2 ()q brarbbr 21212 ()brqdrr ( )brrE dl1110()PE 2220()PE 2 2）介质）介质(jizh)(jizh)中的极化强度中的极化强度 20212()2 ()rqer 10212()2 ()rqer 第24页/共33页第二十四页，共34页。2511PP 22PP 介质介质(jizh)(jizh)内的体极化电荷密度为内的体极化电荷密度为 11|rPar aeP 22|rPar aeP 11|rPbr beP 22|rPbr beP 介质介质(jizh)(jizh)内表面上的面极化电荷密度为内表面上的面极化电荷密度为介质外表面上介质外表面上(min shn)(min shn)的面极化电荷密度为的面极化电荷密度为10212()2 ()qa 20212()2 ()qa 10212()2 ()qb 20212()2 ()qb 2102212()11()02 ()qdrr drr 2202212()11()02 ()qdrr drr 第25页/共33页第二十五页，共34页。2611|rar aeE22|rar aeE11|rbr beE 22|rbr beE 3)3)内导体表面内导体表面(biomin)(biomin)上自由电荷面密度为上自由电荷面密度为外导体外导体(dot)(dot)的内表面上自由电荷面密度为的内表面上自由电荷面密度为 1212()PnPP 在两种介质的分界在两种介质的分界(fn (fn ji)ji)面上面上 12()0ePP 12122 ()qa 22122 ()qa 12122 ()qb 22122 ()qb 第26页/共33页第二十六页，共34页。27例例4 4：同轴线内导体半径为：同轴线内导体半径为a a，外导体半径为外导体半径为b b。内外导内外导体间充满介电常数分别为体间充满介电常数分别为 和和 的两种理想介质，分界的两种理想介质，分界面半径为面半径为c c。已知外导体接地，内导体电压为已知外导体接地，内导体电压为U U。求求:(1):(1)导体间的导体间的 和和 分布；分布； (2) (2)同轴线单位长度的电容同轴线单位长度的电容12ED分析：电场方向垂直于边界，由边分析：电场方向垂直于边界，由边界条件可知，在媒质两边界条件可知，在媒质两边 连续连续D解：设内导体单位长度带电量为解：设内导体单位长度带电量为l由高斯定律，可以由高斯定律，可以(ky)(ky)求得两边媒质中求得两边媒质中，2lrDer1122/EDED12cbacUE drEdr abc1 2 第27页/共33页第二十七页，共34页。2812cbacUE drEdr12lnln22llcbac12212lnlnlUcbac 1221(lnln)UDcbrac 第28页/共33页第二十八页，共34页。29QCU（2 2）同轴线单位长度带电量为）同轴线单位长度带电量为 ，故单位长度电容，故单位长度电容为为l221121()(lnln)()(lnln)UarccbracEUcrbcbrac12212lnlnlUcbac 12212lnlncbac 第29页/共33页第二十九页，共34页。30练习练习(linx)(linx)：证明：证明：0p 第30页/共33页第三十页，共34页。31ab12q第31页/共33页第三十一页，共34页。32ab12q第32页/共33页第三十二页，共34页。感谢您的观看(gunkn)！第33页/共33页第三十三页，共34页。NoImage内容(nirng)总结1。1)介质中，极化电荷只是静电场的散度源，对其旋度没有影响。根据叠加原理，介质中的总场仍是无旋的。结论：穿过任意封闭曲面的电通量，只与曲面中包围的自由。下表给出了几种介质的相对介电常数的近似值。各向同性媒质：媒质特性不随电场的方向(fngxing)改变,反之，称为各向异性媒质。由于静电场是保守场，将这一结论应用于穿越媒质分界面的矩形闭合路径abcda，如图所示。上式表明：分界面上电场强度的切向分量总是连续的。第32页/共33页第三十四页，共34页。