【苏教版】高中数学同步辅导与检测：必修5 第1章1.3正弦定理、余弦定理的应用

.第1章 解三角形1.3 正弦定理、余弦定理的应用A级基础巩固一、选择题1在某测量中，设点A在点B的南偏东3427，则点B在点A的()A北偏西3427 B北偏东5533C北偏西5533 D南偏西5533答案：A2.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B的距离，绘出下列数据，其中不能唯一确定A，B两点间的距离的是()A角A，B和边bB角A，B和边aC边a，b和角CD边a，b和角A解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的结果不一定唯一，故选D.答案：D3一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A. n mile B34 n mileC. n mile D34 n mile解析：如图所示，在PMN中，所以MN34.所以v( n mile/h)答案：A4某人向正东方向走x km后，他向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为()A. B2 C2或 D3解析：依题意可得，32x223xcos 30()2.解得x2或x.答案：C5江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距()A10 m B100 mC20 m D30 m解析：设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，可知BAD45，CAD60，BDC30，AD30.分别在RtADB，RtADC中，求得DB30，DC30.在DBC中，由余弦定理得BC2DB2DC22DBDCcos 30，解得BC30.答案：D6有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30，则坡底要延长的长度(单位：m)是()A5 B10 C10 D10解析：如图所示，设将坡底加长到B时，倾斜角为30，在ABB中，利用正弦定理可求得BB的长度在ABB中，B30，BAB753045，AB10 m，由正弦定理，得BB10 (m)所以斜坡的倾斜角变为30时，坡底延伸10 m.答案：C二、填空题7某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40 m后，望见塔在正北，若路途测得塔的最大仰角为30，则塔高为_m.解析：设塔高为AB，某人由C前进到D，依题意可得CD40 m，ACD906030，作AECD于点E，则AEB30，则ADCDsin 3020，AEADsin 6010，所以ABAEtan 301010 m.答案：108一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30角，树干底部与树尖着地处相距5 m，则树干原来的高度为_解析：如图所示，ABACtan 605，BC10，所以ABBC(510)m.答案：(105)m三、解答题9.如图所示，一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，求此时船与灯塔的距离解：如题图所示，由正弦定理得，所以BC30 km.所以此时船与灯塔的距离为30 km.10如下图所示，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45，在它的南偏东60的B处测得塔顶的仰角为30，AB的距离是84 m，求塔高解：设塔高CDx m，则ADx m，DBx m.在ABD中，利用余弦定理得8422x2cos(9060)，解得x12(负值舍去)，故塔高为12 m.B级能力提升一、选择题11如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10 B北偏西10C南偏东10 D南偏西10解析：如题图所示，结合题意得ACB180604080.因为ACBC，所以ABC50，605010.答案：B12若水平面上，点B在点A南偏东30方向上，则在点A处测得点B的方位角是()A60 B120 C150 D210解析：根据方位角的意义，可得点B的方位角是18030150.答案：C13当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东30角的方向沿直线前往B处营救，则sin 的值为()A. B. C. D.解析：连接BC.在ABC中，AC10，AB20，BAC120，由余弦定理，得BC2AC2AB22ABACcos120700，所以BC10，再由正弦定理，得，所以sin .答案：A二、填空题14(2014课标全国卷)如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，测山高MN_m.解析：根据图示，AC100 m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得AM100 m.在AMN中，sin 60，所以MN100150(m)答案：15015甲船在岛B的正南A处，AB10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是_小时解析：设行驶x h后甲到点C，乙到点D，两船相距y km，则DBC18060120.所以y2(104x)2(6x)22(104x)6xcos 12028x220x10028100.所以当x时，y2有最小值，即两船相距最近答案：三、解答题16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B60，ac10.(1)求sin；(2)若D为ABC外接圆中弦AC所对劣弧上的一点且2ADDC，求四边形ABCD的面积解：(1)由正弦定理得，因为ac10，所以sin Asin C .因为B60，所以C120A，所以sin Asin(120A)sin Asin 120cos Acos 120sin A，于是得sin.(2)因为A，B，C，D共圆，B60，所以D120.在ADC中，由余弦定理可得cos D，解之得AD2，所以SACDADCDsin 1202，在ABC中，由余弦定理得cos B.解之得ac24.所以SADCacsin 606，所以S四边形ABCDSABCSACD8.