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第31讲 解三角形题型的解法【知识要点】一、直角三角形中各元素间的关系：在中，（1）三边之间的关系：(勾股定理）（2）锐角之间的关系：；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义），.二、斜三角形中各元素间的关系：在中，为其内角，分别表示的对边.（1）三角形内角和：.（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等（为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.； ； . 三、三角形的面积公式：（1）（分别表示的高）；（2）四、解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.解三角形如果出现多解，要利用三角形内角和定理或三角形边角不等关系来检验.五、三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点.（1）角的变换因为在中，所以；.（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.六、求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义.七、解应用题中的几个角的概念（1）仰角、俯角的概念：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角.如图：（2）方向角：相对于某正方向的水平角.如南偏西等.（3）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角.【方法讲评】题型一求三角形的角和边使用情景解三角形解题步骤一般利用正弦定理、余弦定理和三角恒等变形来解答.【例1】在中，已知，求【点评】（1）利用正弦定理和余弦定理时，注意使用的数学情景，知道两边和其中一边的对角一般利用正弦定理解答；（2）已知两边和其中一边的对角，一般要讨论，利用三角形内角和定理或三角形边角不等关系定理检验. 【反馈检测1】在中，角，的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若，求，的值题型二求三角形的面积使用情景解三角形解题步骤利用公式解答.【例2】 在中，角的对边分别为，且.（1）求角的值；（2）若角，边上的中线，求的面积.【点评】求三角形的面积一般利用公式解答，注意灵活选用公式.【反馈检测2】在中，内角对边的边长分别是，已知，（）若的面积等于，求；（）若，求的面积题型三判断三角形的形状使用情景解三角形解题步骤一般利用正弦定理或余弦定理边化角或角化边.【例3】在中，若，则的形状是（ ）A直角三角形 B等腰或直角三角形 C不能确定 D等腰三角形 【点评】（1）判断三角形的形状，一般利用正弦定理或余弦定理边化角或角化边.（2）得到或，不要漏了.【反馈检测3】已知分别是 中角的对边.（1）求的值；（2）圆为的外接圆（在内部）, 的面积为,判断的形状, 并说明理由.题型四解三角形的应用使用情景解三角形的应用解题步骤先画图，把条件标记到图形中，然后转化成解三角形的数学问题来解.【例4】已知甲船正在大海上航行，当它位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里C处的乙船，乙船当即决定匀速前往救援，并且与甲船同时到达.（供参考使用：）.(1)试问乙船航行速度的大小；(2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示，如北偏东度).【解析】依题意画出的方位图，如下【点评】（1）解三角形的应用题，一般先画图，把条件标记到图形中，然后转化成解三角形的数学问题来解.（2）解三角形的一般规律：必须知道三个几何元素，至少一个为边，对于不知道的边或角可以放到其它三角形中去解.【反馈检测4】在海岸处，发现北偏西75的方向，与距离2海里的处有一艘走私船，在处北偏东45方向，与距离(1)海里的处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船此时，走私船正以10海里/小时的速度从向北偏西30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？题型五取值范围或最值问题使用情景求变量的取值范围或最值.解题步骤一般先建立三角函数模型，再利用三角函数的图像和性质求函数的取值范围或最值.【例5】在锐角中，内角A，B，C的对边，已知，.（1）若的面积等于，求；（2）求的取值范围. 【点评】本题第2问，利用正弦定理建立三角函数模型后，要注意角的范围，不能简单地根据“锐角”，把角A的范围定为,锐角三角形指的是每一个内角都是锐角，所以要考虑,才能得到角A的准确范围.【反馈检测5】在中，三个内角A,B,C的对边分别为，其中，且(1)求证：是直角三角形；(2)设圆过三点，点位于劣弧上，用的三角函数表示三角形的面积，并求面积最大值.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第31讲：解三角形问题的处理参考答案【反馈检测1答案】（1）；（2），.【反馈检测2答案】（1），; （2）【反馈检测2详细解析】（）由余弦定理及已知条件得，又因为的面积等于，所以，得联立方程组解得，（）由题意得，即，当时，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，所以的面积【反馈检测3答案】（1）；（2）等边三角形. 【反馈检测4答案】缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船【反馈检测4详细解析】由已知条件得，.在中，解得，为水平线，设经过时间小时后，缉私船追上走私船，则在中，缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船【反馈检测5答案】（1）证明略；（2）时， 最大值等于.【反馈检测5详细解析】(1)证明：由正弦定理得，整理为，即sin2Asin2B 2A2B或2A2B,即AB或AB，AB舍去.由AB可知c，ABC是直角三角形 11
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