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中考数学复习资料（第19题）尺规作图一、选择题（每小题x分，共y分）1（2011长春）如图，直线l1/l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC若54，则1的大小为（ C ）（）36 （）54 （）72 （）732（2011益阳市）如图2，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 （ B ）A矩形B菱形C正方形D等腰梯形ACD图2B图33. （2011浙江绍兴，8，4分）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接.若的周长为10，则的周长为（ ） A.7 B.14 C.17 D.20（第8题图）【答案】C二、填空题（每小题x分，共y分）(第11题)BAMO42011南京市如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cosAOB的值等于_ 5（2011天津）如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形() 该正方形的边长为_。(结果保留根号)() 现要求只能用两条裁剪线请你设计一种裁剪的方法在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程：_。如图作出BN= (BM=4，MN=1，MNB=90)： 画出两条裁剪线AK，BE (AK=BE=BEAK)： 平移ABE和ADK 此时，得到的四边形BEFG即为所求三、解答题：（共x分）6、（2011江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标考点：一次函数综合题；线段垂直平分线的性质；作图应用与设计作图；轴对称-最短路线问题。专题：综合题。分析：（1）连接AB，作出线段AB的垂直平分线，与x轴的交点即为所求的点；（2）找到点A关于x轴的对称点，连接对称点与点B与x轴交点即为所求作的点解答：解：（1）存在满足条件的点C；作出图形，如图所示（2）作点A关于x轴对称的点A（2，2），连接AB，与x轴的交点即为所求的点P设AB所在直线的解析式为：y=kx+b，把（2，2）和（7，3）代入得：，解得：，y=x4，当y=0时，x=4，所以交点P为（4，0）点评：本题是一道典型的一次函数综合题，题目中还涉及到了线段的垂直平分线的性质及轴对称的问题7、（2011綦江县）为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹考点：作图应用与设计作图。分析：根据垂直平分线的性质得出，两垂直平分线的交点即是所求答案解答：解：已知A村、B村、C村，求作新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等；点评：此题主要考查了垂直平分线的性质，做出垂直平分线的性质得出是解决问题的关键8（2011湖北省宜昌市）如图1，RtABC两直角边的边长为AC1，BC2（1）如图2，O与RtABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y请你在图2中作出并标明O的圆心O；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）P是这个RtABC上和其内部的动点,以P为圆心的P与RtABC的两条边相切设P的面积为s，你认为能否确定s的最大值？若能，请你求出s的最大值;若不能,请你说明不能确定s的最大值的理由(1)共2分.（标出了圆心，没有作图痕迹的评1分）看见垂足为Y（X）的一条垂线(或者ABC的平分线)即评1分，(2)当P与RtABC的边AB和BC相切时，由角平分线的性质，动点P是ABC的平分线BM上的点.如图1，在ABC的平分线BM上任意确定点P1(不为ABC的顶点)，OXBOsinABM, P1ZBP1sinABM当BP1BO时，P1ZOX,即P与B的距离越大，P的面积越大这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点. （3分.此处没有证明和结论不影响后续评分）如图2，BPA90，过点P作PEAB，垂足为E，则E在边AB上.以P为圆心、PC为半径作圆，则P与边CB相切于C，与边AB相切于E，即这时的P是符合题意的圆.（4分.此处没有证明和结论不影响后续评分）这时P的面积就是S的最大值.AA，BCAAEP90,RtABCRtAPE， （5分）.AC1，BC2，AB.设PCx，则PAACPC1x, PCPE， x （6分）如图3，同理可得：当P与RtABC的边AB和AC相切时，设PCy，则，y=. （7分）如图4，同理可得：当P与RtABC的边BC和AC相切时，设PFz，则， z=. （8分）由，可知：2，213，当分子、分母都为正数时，若分子相同，则分母越小，这个分数越大，(或者:x=2-4, y=5, y-x=0, yx. z-y=0)2， （9分，没有过程直接得出酌情扣1分）zyx. P的面积S的最大值为. （10分） A C B9（2011重庆市）为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求意象喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）10（2011重庆市潼南县）（6分）画ABC,使其两边为已知线段a、b，夹角为.（要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不写作法）.已知：求作：11. 已知：线段a、b 、角 -1分 求作：ABC使边BC=a，AC= b，C= -2分画图（保留作图痕迹图略） -6分12（2011佛山）如图，一张纸上有线段；（1）请用尺规作图，作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）若不用尺规作图，你还有其它作法吗？请说明作法（不作图）；21世纪教育网13（2011宿迁市）（本题满分12分）如图，在RtABC中，B90，AB1，BC，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E（1）求AE的长度；（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想EAG的大小，并说明理由（第12题）解：（1）在RtABC中，由AB1，BC得 AC BCCD，AEADAEACAD （2）EAG36，理由如下： FAFEAB1，AEFAE是黄金三角形F36，AEF72AEAG，FAFEFAEFEAAGEAEGFEAEAGF3614（2011江苏扬州，10分）已知，如图，在RtABC中，C=90，BAC的角平分线AD交BC边于D。（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；（2）若（1）中的O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积。（结果保留根号和）【答案】（1）如图，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆。 判断结果：BC是O的切线。连结OD。 AD平分BAC DAC=DABOA=OD ODA=DABDAC=ODA ODAC ODB=CC=90 ODB=90 即：ODBCOD是O的半径 BC是O的切线。(2) 如图，连结DE。 设O的半径为r，则OB=6-r，在RtODB中，ODB=90， 0B2=OD2+BD2 即：(6-r)2= r2+()2 r=2 OB=4 OBD=30，DOB=60ODB的面积为，扇形ODE的面积为阴影部分的面积为。15(2011山西省) (本题9分)如图，ABC是直角三角形，ACB=90 （1）实践与操作 利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法) 作ABC的外接圆，圆心为O；以线段AC为一边，在AC的右侧作等边ACD； 连接BD，交O于点F，连接AE， 评分说明：第小题2分，第小题2分，第小题1分如图 若考生作两条边或三条边的垂直平分线不扣分(2)综合与运用 在你所作的图中，若AB=4，BC=2，则： AD与O的位置关系是_(2分)（相切）线段AE的长为_(2分)（或）16（2011山东滨州，9分）根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：A与B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论。（1）如图ABC中，C=90，A=24（第15题图）作图：猜想：验证：（2）如图ABC中，C=84，A=24.（第15题图）作图：猜想：验证：【答案】(1)作图：痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作ACD=A(或BCD=B)两类方法均可，在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求2分猜想：A+B=90，4分验证：如在ABC中，A=30，B=60时，有A+B=90，此时就能找到一条把ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。5分（2）答：作图：痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作ACD=A或在线段CA上截取CD=CB三种方法均可。在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求6分猜想：B=3A8分验证：如在ABC中，A=32，B=96，有B=3A，此时就能找到一条把ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。9分17.（2011山东威海，8分）我们学习过：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫旋转中心（1）如图，ABCDEF，DEF能否由ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由图（2）如图，ABCMNK，MNK能否由ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由 （保留必要的作图痕迹）图 图【答案】 解：（1）能，点就是所求作的旋转中心 图 图（1）能，点就是所求作的旋转中心18. （2011浙江杭州，6分）四条线段a，b，c，d如图，a：b：c：d1：2：3：4(1)选择其中的三条线段为边作一个三角形(尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法)；(2)任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率【答案】(1)只能取b,c,d三条线段，作图略(2) 四条线段中任取三条共有四种等可性结果：（a，b，c），（a，b，d），（a，c，d），（b，c，d），其中能组成三角形的只有（b，c，d），所以以它们为边能作出三角形的概率是19.（2011四川重庆，6分）为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示请在答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M、位置(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)【答案】20（2011甘肃兰州，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C。（1）请完成如下操作：以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD。（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：写出点的坐标：C 、D ；D的半径= （结果保留根号）；若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为 （结果保留）；若E（7，0），试判断直线EC与D的位置关系并说明你的理由。ABCO【答案】（1）ABCOxyDE（2） C（6，2），D（2，0） 相切。理由：CD=，CE=，DE=5CD2+CE2=25=DE2DCE=90即CECDCE与D相切。21（ 2011重庆江津， 10分）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁,以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,且点A的坐标是(2,2),点B的坐标是(7,3).(1)一辆汽车由西向行驶,在行驶过程中是否存在一点C,使C点到A、B两校的距离相等,如果有?请用尺规作图找出该点,保留作图痕迹,不求该点坐标.(2)若在公路边建一游乐场P,使游乐场到两校距离之各最小,通过作图在图中找出建游乐场的位置,并求出它的坐标.A(2, 2).B(7, 3)yOx第23题图【答案】(1)存在满足条件的点C: 作出图形，如图所示，作图略； （2）作出点A关于x轴的对称点A/(2,-2), 连接A/B，与x轴的交点即为所求的点P. 设A/B所在的直线的解析式为： y=kx+b, 把A/(2,-2), B(7,3)分别代入得： 解得： 所以： y=x-4 当y=0时，x=4,所以交点P为（4，0）22（2011珠海）（本题满分6分）如图，在RtABC中，C90（1）求作：ABC的一条中位线，与AB交于D点，与BC交于E点（保留作图痕迹，不写作法）CBA（2）若AC6，AB10，连结CD，则DE_ ，CD_ 【答案】（1）作出BC的垂直平分线 3分 答：线段DE即为所求 4分（2）3，5 6分23. (2011重庆綦江，6分)为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置.要求: 写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹解：已知： 求作：【答案】：解：已知：A、B、C三点不在同一直线上.求作：一点P，使PAPBPC. (或经过A、B、C三点的外接圆圆心P)正确作出任意两条线段的垂直平分线，并标出交点P24 (2011江苏南京，9分)如图，P为ABC内一点，连接PA、PB、PC，在PAB、PBC和PAC中，如果存在一个三角形与ABC相似，那么就称P为ABC的自相似点如图，已知RtABC中，ACB=90，ACBA，CD是AB上的中线，过点B作BECD，垂足为E，试说明E是ABC的自相似点在ABC中，ABC如图，利用尺规作出ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；若ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数BBBCCCAAADPE(第27题)【答案】解：在Rt ABC中，ACB90，CD是AB上的中线，CD=BDBCEABCBECD，BEC90，BECACBBCEABCE是ABC的自相似点 作图略 作法如下：（i）在ABC内，作CBDA；（ii）在ACB内，作BCEABC；BD交CE于点P则P为ABC的自相似点连接PB、PCP为ABC的内心，P为ABC的自相似点，BCPABCPBCA，BCPABC=2PBC =2A，ACB2BCP=4AA+ABC+ACB180A+2A+4A180该三角形三个内角的度数分别为、25（2011江苏无锡，6分）(本题满分6分)如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60。正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合。现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动。 (1)请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图； (2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S。BA(M)DCNPQ【答案】解：(1)如右图所示(3分) (2)S = 212 + ()2 + 1 + 12 = + 2(6分)BA(M)DCNPQ26. （2011湖北宜昌，10分）如图1,RtABC两直角边的边长为AC = 1，BC =2. (1) 如图2, O 与RtABC的边AB 相切于点X，与边CB相切于点Y.请你在图2 中作出并标明O 的圆心0；(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明) (2) P 是这个RtABC上和其内部的动点，以P 为圆心的P 与RtABC 的两条边相切.设P 的面积为S，你认为能否确定S 的最大值？ 若能，请你求出S 的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由. （第23题图1） （第23题图2）【答案】解：(1)共2分.（标出了圆心，没有作图痕迹的评1分）看见垂足为Y（X）的一条垂线(或者ABC的平分线)即评1分， (2)当P与RtABC的边AB和BC相切时，由角平分线的性质，动点P是ABC的平分线BM上的点，如图1，在ABC的平分线BM上任意确定点P1(不为ABC的顶点)，OXBOsinABM，P1ZBP1sinABM当BP1BO时，P1ZOX,即P与B的距离越大，P的面积越大这时，BM与AC的交点P是符合题意的BP长度最大的点.（3分.此处没有证明和结论不影响后续评分）如图2，BPA90，过点P作PEAB，垂足为E，则E在边AB上.以P为圆心、PC为半径作圆，则P与边CB相切于C，与边AB相切于E，即这时的P是符合题意的圆.（4分.此处没有证明和结论不影响后续评分）这时P的面积就是S的最大值.AA，BCAAEP90,RtABCRtAPE，（5分） =.AC1，BC2，AB.设PCx，则PAACPC1x,PCPE， =，x（6分） 如图3，同理可得：当P与RtABC的边AB和AC相切时，设PCy，则 =，y=（7分） 如图4，同理可得：当P与RtABC的边BC和AC相切时，设PFz，则=，z=（8分）由，可知：2，213，当分子、分母都为正数时，若分子相同，则分母越小，这个分数越大，(或者:x24, y=，y-x=0,yx. z-y=0，2，（9分，没有过程直接得出酌情扣1分）zyx.P的面积S的最大值为.（10分） EACBPZXMACBP1OACB (第23题答图1) (第23题答图1) ACBP (第23题答图3) (第23题答图4)27、（2011毕节地区）已知梯形ABCD中，ADBC，AB=AD（如图所示），BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE（1）在下图中，用尺规作BAD的平分线AE（保留作图痕迹不写作法），并证明四边形ABED是菱形（2）若ABC=60，EC=2BE求证：EDDC考点：梯形；菱形的判定与性质；作图基本作图。专题：作图题；证明题。分析：（1）根据尺规作图：角的平分线的基本做法，可得到BAD的平分线AE；利用菱形的判定定理，即可证得；（2）根据直角三角形的性质定理，可得EDC是直角三角形，即可得EDDC；解答：证明：（1）梯形ABCD中，ADBC，四边形ABED是平行四边形，又AB=AD，四边形ABED是菱形；（2）四边形ABED是菱形，ABC=60，DEC=60，AB=ED，又EC=2BE，EC=2DE，DEC是直角三角形，EDDC点评：本题考查了尺规作图及菱形、直角三角形的性质及判定，综合性较强，锻炼了学生的动手、动脑的能力
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