2015年全国高中数学联赛模拟试题06

2015全国高中数学联赛模拟试题06一试一、 填空题（每小题8分，共64分）1.函数的值域是 .2. 已知成等比数列，成等差数列，则该等差数列的公差为 3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 .4.设椭圆与双曲线相切，则 .5.设是复数，则的最小值等于 .6.设，是实数，若方程的三个非负实根构成公差为1的等差数列，则的最大值是 .7.设是的内心，动点的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 .8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是 .二、 简答题（本大题共3小题，共56分）9已知整数列满足，前项依次成等差数列，从第项起依次成等比数列 (1) 求数列的通项公式； (2) 求出所有的正整数，使得10. 已知函数及满足下列条件：（1）成等差数列；（2）为方程的一个根，（3）为方程的两个不相等的实根；（4）求及的度数11.过抛物线的焦点做直线与抛物线交于（1）求证：不是直角三角形；（2）当斜率为时，抛物线上是否存在点使得为直角三角形，若存在，求出所有的点；若不存在，说明理由2015全国高中数学联赛模拟试题06加试一（本题满分40分）如图，在中，是的外接圆，过点作的切线交延长线于点，过点作的两条垂线分别与的中垂线交于点.求证：三点共线二、（本题满分40分）已知无穷正数数列满足：（1）存在，使得；（2）对任意正整数均有，求证：三、（本题满分50分）设满足：，集合，如果，求证：（其中表示不超过的最大整数） 四、（本题满分50分）求所有的自然数，使得存在的一个置换满足：集合和均为的完全剩余系2015全国高中数学联赛模拟试题06一、 填空题（每小题8分，共64分）1.函数的值域是 .解：.提示：因，设（），则（其中，为锐角），所以当时，当时，故.2. 已知成等比数列，成等差数列，则该等差数列的公差为 解：或 因为成等比数列，所以，所以，设，则又因为成等差数列，所以即于是即，或故或0 3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 .解：正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成，所以任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角的两倍.，则.4.设椭圆与双曲线相切，则 .解：由椭圆方程知，设其参数方程为（为参数）代入双曲线方程，得.因两曲线相切，故.5.设是复数，则的最小值等于 .解：在复平面上，设，则当为的费马点时，取得最小值，最小值为.6.设，是实数，若方程的三个非负实根构成公差为1的等差数列，则的最大值是 .解：设三个根为，则，右边展开与左边比较得，消去得且，故，设得或.所以在递增，在递减，所以7.设是的内心，动点的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 .解：如图，根据向量加法的几何意义，知点在图中的三个平形四边形及其内部运动，所以动点的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于等于面积的2倍，即8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是 .解：从正方体的八个顶点中随机选取三点，共有个三角形，其中直角三角形有个，所求“构成直角三角形”的概率是.三、 简答题（本大题共3小题，共56分）9已知整数列满足，前项依次成等差数列，从第项起依次成等比数列 (1) 求数列的通项公式； (2) 求出所有的正整数，使得解：(1) 设数列前6项的公差为d，则a5=1+2d，a6=1+3d，d为整数.又a5，a6，a7成等比数列，所以(3d1)2=4(2d1)， 即 9d214d+5=0，得d =1. 4分当n6时，an =n4，由此a5=1，a6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2， 所以，当n5时，an =2n-5. 故 an = 8分(2) 由（1）知，数列为：3，2，1，0，1，2，4，8，16，当m=1时等式成立，即 321=6=(3)(2)(1)； 当m=3时等式成立，即 1+0+1=0； 当m=2、4时等式不成立； 12分当m5时，amam+1am+2 =23m-12， am +am+1+am+2=2m-5(231)=72m-5， 72m-523m-12，所以 am +am+1+am+2amam+1am+2 .故所求 m= 1，或m=3 16分10. 已知函数及满足下列条件：（1）成等差数列；（2）为方程的一个根，（3）为方程的两个不相等的实根；（4）求及的度数11.过抛物线的焦点做直线与抛物线交于（1）求证：不是直角三角形；（2）当斜率为时，抛物线上是否存在点使得为直角三角形，若存在，求出所有的点；若不存在，说明理由2015全国高中数学联赛模拟试题06加试一（本题满分40分）如图，在中，是的外接圆，过点作的切线交延长线于点，过点作的两条垂线分别与的中垂线交于点.求证：三点共线 二、（本题满分40分）已知无穷正数数列满足：（1）存在，使得；（2）对任意正整数均有，求证：三、（本题满分50分）设满足：，集合，如果，求证：（其中表示不超过的最大整数） 四、（本题满分50分）求所有的自然数，使得存在的一个置换满足：集合和均为的完全剩余系