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2019版数学精品资料（北师大版）6距离的计算学习目标1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念.2.掌握点到直线的距离、点到平面的距离的计算.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲知识点一点到直线的距离1点到直线的距离因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一平面内点到直线的距离问题如图，设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点作AAl，垂足为A，则点A到直线l的距离d等于线段AA的长度，而向量在s上的投影的大小|s0|等于线段PA的长度，所以根据勾股定理有点A到直线l的距离d.2点到直线的距离的算法框图空间一点A到直线l的距离的算法框图，如图知识点二点到平面的距离1求点到平面的距离如图，设是过点P垂直于向量n的平面，A是平面外一定点作AA，垂足为A，则点A到平面的距离d等于线段AA的长度而向量在n上的投影的大小|n0|等于线段AA的长度，所以点A到平面的距离d|n0|.2点到平面的距离的算法框图空间一点A到平面的距离的算法框图，如图所示知识点三直线到与它平行的平面的距离如果一条直线平行于平面，那么直线上的各点向平面所作的垂线段均相等，即直线上各点到平面的距离均相等一条直线上的任一点到与该直线平行的平面的距离，叫作直线与平面的距离知识点四两个平行平面的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫作两个平面的公垂线公垂线夹在两个平行平面之间的部分，叫作两个平面的公垂线段两个平行平面的公垂线段的长度，叫作两个平行平面的距离1点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距离()2直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离()3两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离()4平面外一点P到平面的距离在平面内任一点与点P的距离中最短()类型一向量法求两点间的距离例1如图所示，已知在矩形ABCD中，AB4，AD3，沿对角线AC折叠，使平面ABC与平面ADC垂直，求线段BD的长考点向量法求空间距离题点向量法求两点间的距离解过点D和B分别作DEAC于E，BFAC于F.则由已知条件可知AC5，所以DE，BF.由已知得AECF，所以EF52.因为，所以|2()2222222.因为平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，DE?平面ADC，DEAC，所以DE平面ABC，所以DEFB，即，所以|2222，所以|，故线段BD的长是.反思与感悟(1)若题目适合建立空间直角坐标系，常建系运用空间两点距离公式求解(2)若不具备建系条件时，常用基向量表示并结合|a|2a2求解跟踪训练1(1)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在上且，N为B1B的中点，则|等于()A.B.C.D.(2)已知线段AB，BD在平面内，ABD120，线段AC，如果ABa，BDb，ACc，则线段CD的长为()A.B.C.D.考点向量法求空间距离题点向量法求两点间的距离答案(1)D(2)A解析(1)设a，b，c，abc，|.(2)设a，b，c，因为cab，所以|.类型二求点到直线的距离例2在棱长为2的正方体A1B1C1D1ABCD中，E，F分别是棱C1C和D1A1的中点，求点A到直线EF的距离考点向量法求空间距离题点向量法求点到直线的距离解以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)所以直线EF的方向向量(1，2,1)；取直线EF上一点F(1,0,2)，则点A(2,0,0)到直线EF上一点F(1,0,2)的向量(1,0,2)因为在上的投影为，所以点A到直线EF的距离d.引申探究本例条件不变，求点B到直线EF的距离解B(2,2,0)，(1，2,2)，因为在上的投影为.所以B到直线EF的距离d.反思与感悟利用公式d求点到直线的距离的步骤：直线的方向向量所求点到直线上一点的向量及其在直线的方向向量上的投影代入公式跟踪训练2(1)点P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1内一点，且满足，则点P到棱AB的距离为()A.B.C.D.(2)如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1的距离的最小值为_考点向量法求空间距离题点向量法求点到直线的距离答案(1)A(2)解析(1)因为在上的投影为，所以点P到AB的距离d.(2)D(0,0,0)，C1(0，a，a)，A(a,0,0)，D1(0,0，a)，设(0，a，a)(01)，(a,0，a)，(a，a，a)，在上的投影为a(1)故点M到的距离daa.类型三求点到平面的距离例3已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG2，求点B到平面EFG的距离考点向量法求空间距离题点向量法求点到平面的距离解以C为坐标原点，CB，CG所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.由题意可知G(0,0,2)，E(4，2,0)，F(2，4,0)，B(4,0,0)，(4，2，2)，(2，4，2)，(0，2,0)设平面EFG的一个法向量为n(x，y，z)由得令y1，则n(1,1，3)，故点B到平面EFG的距离为d.反思与感悟利用向量求点到平面的距离的一般步骤(1)求出该平面的一个法向量；(2)求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离跟踪训练3已知点A(1,1，1)，平面经过原点O，且垂直于向量n(1，1,1)，求点A到平面的距离考点向量法求空间距离题点向量法求点到平面的距离解(1,1，1)，n(1，1,1)，点A到平面的距离为d.1两平行平面，分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量为n(1,0,1)，则两平面间的距离是()A.B.C.D3考点向量法求空间距离题点向量法求两平面间距离答案B解析两平面的一个单位法向量为n，故两平面间的距离为d|n|.2在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是()A.aB.aC.aD.a考点向量法求空间距离题点向量法求点到平面的距离答案A解析如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A1(a,0，a)，A(a,0,0)，M，B(a，a,0)，.设n(x，y，z)为平面MBD的一个法向量，则令y1，得n(1,1,2)又(a,0，a)，故点A1到平面MBD的距离为da.3设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(5，4,8)，则点D到平面ABC的距离为_考点向量法求空间距离题点向量法求点到平面的距离答案解析设平面ABC的一个法向量为n(x，y，z)即令z2，则n(3,2，2)又(7，7,7)，点D到平面ABC的距离为d.4在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n(2，2,1)已知点P(1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d_.考点向量法求空间距离题点向量法求点到平面的距离答案2解析d2.5.如图，已知矩形ABCD与ABEF全等，平面DAB与平面ABE的夹角为直角，M为AB中点，FM与BD所成角为，且cos.则AB与BC的边长之比为_考点向量法求空间距离题点向量法求两线间的距离答案2解析设ABa，BCb，以A为坐标原点，AF，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则相关各点坐标为F(b,0,0)，M，B(0，a,0)，D(0,0，b)所以，(0，a，b)，所以|，|，|cos，|，整理，得45260，解得2或(舍去)所以.1由直线到平面的距离的定义可知，直线与平面的距离，实质上就是直线上一点到平面的距离，可转化为点到平面的距离来求2两个平行平面的公垂线段就是在一个平面内取一点向另一个平面作垂线段，所以两个平行平面间的距离可转化为一个平面内的一点到另一个平面的距离，即可转化为点到平面的距离求解一、选择题1若A(3cos，3sin，1)，B(2cos，2sin，1)，则|的取值范围是()A0,5B1,5C(1,5) D1,25考点向量法求空间距离题点向量法求两点间的距离答案B解析|，因为1cos()1，所以1|5.2在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为2，则异面直线AC与A1D的距离为()A.B.C.D1考点向量法求空间距离题点向量法求两线间的距离答案A解析以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，连接B1C，AB1，因为A1D平面AB1C，所以异面直线AC与A1D的距离为A1到平面AB1C的距离D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，A1(2,0,2)，(2,2,0)，(0,2,2)，(0,0,2)设n(x，y，z)为平面AB1C的法向量，由n0，n0，得xyz，可取n(1,1，1)，故A1到平面ACB1的距离为.3若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为()A.B.1C.D.考点向量法求空间距离题点向量法求点到平面的距离答案D解析以D为坐标原点，为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系Dxyz，C(0,1,0)，C1(0,1)，A(1,0,0)，(0,0，)，(1,1，)，易知平面ABCD，可取为平面ABCD的法向量，故A1C1到平面ABCD的距离为.4已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()A.B.C.D.考点向量法求空间距离题点向量法求点到直线距离答案B解析以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，则(0,2,0)，(0,1,2)，设ABE，则cos，sin.故A到直线BE的距离d|sin2.5若正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A.aB.aC.aD.a考点向量法求空间距离题点向量法求平面间的距离答案D解析由正方体的性质易得平面AB1D1平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离显然A1C平面AB1D1，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则平面AB1D1的一个法向量为n(1，1,1)又A(a,0,0)，B(a，a,0)，(0，a,0)，则两平面间的距离为da.6如图，直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1.在底面ABC中，ACB90，ACBC1，则点B1到平面A1BC的距离为()A.B.C.D1考点向量法求空间距离题点向量法求点到平面的距离答案A解析以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，A1(1,0，)，B1(0,1，)，C1(0,0，)，(1,1，)，(1,0，)，(1,1,0)设平面A1BC的一个法向量为n(x，y，z)，则令x，得y0，z1，n(，0,1)故点B1到平面A1BC的距离为d.7已知三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为a，侧棱垂直于底面，D是侧棱CC1的中点，若点C到平面AB1D的距离为1，则a的值为()A.B2C.D2考点向量法求空间距离题点向量法求点到平面的距离答案D解析以B为坐标原点，BC，BB1所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.由题设可知A，C(0，a,0)，B1(0,0，a)，D，于是有，.设n(x，y，z)为平面AB1D的一个法向量，则则令y1，可得n(，1,2)所以点C到平面AB1D的距离为da.令a1，解得a2.故当a2时，点C到平面AB1D的距离为1.二、填空题8已知平面的一个法向量为n(2，2,1)，点A(1,3,0)在内，则P(2,1,4)到的距离为_考点向量法求空间距离题点向量法求点到平面的距离答案解析因为(1,2，4)，又平面的一个法向量为n(2，2,1)，所以点P到的距离为|.9在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，高AA1为4，则点A1到平面AB1D1的距离是_考点向量法求空间距离题点向量法求点到平面的距离答案解析如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，A1(0,0,4)，B1(2,0,4)，D1(0,2,4)设平面AB1D1的一个法向量为n(x，y，z)，(2,0,4)，(0,2,4)，则令z1，得n(2，2,1)，点A1到平面AB1D1的距离为d.10已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则平面A1BD与平面B1CD1间的距离为_考点向量法求空间距离题点向量法求平面的距离答案解析以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(0,1，1)，(1,0，1)，(1,0,0)设平面A1BD的一个法向量为n(x，y，z)，则令z1，得y1，x1，n(1,1,1)点D1到平面A1BD的距离为d.平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.三、解答题11在如图所示的空间直角坐标系中，长方体ABCDABCD的棱ABAD1，BB2，M，N分别为AD，DC的中点，求直线AC与直线MN的距离考点向量法求空间距离题点向量法求两直线间的距离解依据长方体的性质可知ACMN，故两直线间的距离为点M到直线AC的距离由题意得(1,1,0)，.所以点M到直线AC的距离d.12如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB4，BC2，CC13，BE1.(1)求BF的长；(2)求点C到平面AEC1F的距离考点向量法求空间距离题点向量法求点到平面的距离解(1)以D为坐标原点，DA，DC，DF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)设点F(0,0，z)截面AEC1F为平行四边形，(2,0，z)(2,0,2)，z2，F(0,0,2)，(2，4,2)，|2.即BF的长为2.(2)设平面AEC1F的一个法向量为n1(x，y,1)，由得即n1.又(0,0,3)，点C到平面AEC1F的距离为d.13如图，在四棱锥SABCD中，ADBC且ADCD，平面CSD平面ABCD，CSDS，CS2AD2，E为BS的中点，CE，AS.求点A到平面BCS的距离考点向量法求空间距离题点向量法求点到平面的距离解如图，以S(O)为坐标原点，OD，OC所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系Sxyz.设A(xA，yA，zA)，因为平面CSD平面ABCD，ADCD，故AD平面CSD，即点A在xSz平面上，因此yA0，zA|1.又x12|23，xA0，解得xA.从而A(，0,1)因为ADBC，故BC平面CSD，即平面BCS与平面ySz重合，从而点A到平面BCS的距离为xA.四、探究与拓展14空间直角坐标系中(O为坐标原点)，在坐标平面xOy上到点A(3,2,5)，B(3,5,1)距离相等的点有()A1个B2个C不存在D无数个考点向量法求空间距离题点向量法求两点间的距离答案D解析过AB的中点且以(0,3，4)为法向量的平面上的点到A，B的距离相等15已知在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，ACBC2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1AC1.(1)求证：AC1平面A1BC；(2)求点C1到平面A1AB的距离考点向量法求空间距离题点向量法求点到平面的距离(1)证明如图，取AB的中点E，连接DE，则DEBC，因为BCAC，所以DEAC，且A1D平面ABC，以D为坐标原点，射线DE，DC，DA1分别为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则A(0，1,0)，C(0,1,0)，B(2,1,0)，设A1(0,0，t)，C1(0,2，t)，其中t0，则(0,3，t)，(2，1，t)，(2,0,0)，因为0，所以AC1CB，又因为BA1AC1，且BCBA1B，BC，BA1?平面A1BC，所以AC1平面A1BC.(2)解由(1)知AC1平面A1BC，所以3t20，t0，得t.设平面A1AB的法向量为n(x，y，z)，(0,1，)，(2,2,0)，所以设z1，则n(，1)所以点C1到平面A1AB的距离d.
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