2010年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析

2021年市高考数学试卷理科参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每题5分，总分值40分15分2021卷理1集合P=xZ|0x3，M=xZ|x29，那么PM=A1，2B0，1，2Cx|0x3Dx|0x3【考点】交集及其运算菁优网所有【专题】集合【分析】由题意集合P=xZ|0x3，M=xZ|x29，分别解出集合P，M，从而求出PM【解答】解：集合P=xZ|0x3，P=0，1，2，M=xZ|x29，M=2，1，0，1，2，PM=0，1，2，应选B【点评】此题考察简单的集合的运算，集合在高考的考察是以根底题为主，题目比拟容易，复习中我们应从根底出发25分2021在等比数列an中，a1=1，公比q1假设am=a1a2a3a4a5，那么m=A9B10C11D12【考点】等比数列的性质菁优网所有【专题】等差数列与等比数列【分析】把a1和q代入am=a1a2a3a4a5，求得am=a1q10，根据等比数列通项公式可得m【解答】解：am=a1a2a3a4a5=a1qq2q3q4=a1q10，因此有m=11【点评】此题主要考察了等比数列的性质属根底题35分2021一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧左视图分别如图所，那么该几何体的俯视图为ABCD【考点】简单空间图形的三视图菁优网所有【专题】立体几何【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形【解答】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项应选：C【点评】此题考察几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等的含义45分20218名学生和2位教师站成一排合影，2位教师不相邻的排法种数为AA88A92BA88C92CA88A72DA88C72【考点】排列、组合的实际应用菁优网所有【专题】排列组合【分析】此题要求两个教师不相邻，用插空法来解决问题，将所有学生先排列，有A88种排法，再将两位教师插入9个空中，共有A92种排法，根据分步计数原理得到结果【解答】解：用插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有A88种排法，然后将两位教师插入9个空中，共有A92种排法，一共有A88A92种排法应选A【点评】此题考察排列组合的实际应用，考察分步计数原理，是一个典型的排列组合问题，对于不相邻的问题，一般采用插空法来解55分2021极坐标方程1=00表示的图形是A两个圆B两条直线C一个圆和一条射线D一条直线和一条射线【考点】简单曲线的极坐标方程菁优网所有【专题】坐标系和参数方程【分析】由题中条件：“1=0得到两个因式分别等于零，结合极坐标的意义即可得到【解答】解：方程1=0=1或=，=1是半径为1的圆，=是一条射线应选C【点评】此题考察点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进展极坐标和直角坐标的互化65分2021假设，是非零向量，“是“函数为一次函数的A充分而不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系菁优网所有【专题】简易逻辑【分析】先判别必要性是否成立，根据一次函数的定义，得到，那么成立，再判断充分性是否成立，由，不能推出函数为一次函数，因为时，函数是常数，而不是一次函数【解答】解：，如，那么有，如果同时有，那么函数fx恒为0，不是一次函数，因此不充分，而如果fx为一次函数，那么，因此可得，故该条件必要故答案为B【点评】此题考察必要条件、充分条件与充要条件的判别，同时考察平面向量的数量积的相关运算75分2021设不等式组表示的平面区域为D，假设指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点，那么a的取值X围是A1，3B2，3C1，2D3，+【考点】二元一次不等式组与平面区域；指数函数的图像与性质菁优网所有【专题】不等式的解法及应用【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式组与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用指数函数y=ax的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题【解答】解：作出区域D的图象，联系指数函数y=ax的图象，由得到点C2，9，当图象经过区域的边界点C2，9时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点应选：A【点评】这是一道略微灵活的线性规划问题，此题主要考察了用平面区域二元一次不等式组、指数函数的图象与性质，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题85分2021如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，假设EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=zx，y，z大于零，那么四面体PEFQ的体积A与x，y，z都有关B与x有关，与y，z无关C与y有关，与x，z无关D与z有关，与x，y无关【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网所有【专题】立体几何【分析】四面体PEFQ的体积，找出三角形EFQ面积是不变量，P到平面的距离是变化的，从而确定选项【解答】解：从图中可以分析出，EFQ的面积永远不变，为面A1B1CD面积的，而当P点变化时，它到面A1B1CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化应选D【点评】此题考察棱锥的体积，在变化中寻找不变量，是中档题二、填空题共6小题，每题5分，总分值30分95分2021在复平面内，复数对应的点的坐标为1，1【考点】复数的代数表示法及其几何意义菁优网所有【专题】数系的扩大和复数【分析】首先进展复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进展复数的乘法运算，得到最简形式即复数的代数形式，写出复数对应的点的坐标【解答】解：，复数在复平面上对应的点的坐标是1，1故答案为：1，1【点评】此题考察复数的代数形式的乘除运算，考察复数在复平面上对应的点的坐标，要写点的坐标，需要把复数写成代数形式的标准形式，实部做横标，虚部做纵标，得到点的坐标105分2021在ABC中，假设b=1，c=，C=，那么a=1【考点】三角形中的几何计算菁优网所有【专题】解三角形【分析】先根据b，c，c，由正弦定理可得sinB，进而求得B，再根据正弦定理求得a【解答】解：在ABC中由正弦定理得，sinB=，bc，故B=，那么A=由正弦定理得a=1故答案为：1【点评】此题考察了应用正弦定理求解三角形问题属根底题115分2021从某小学随机抽取100名同学，将他们身高单位：厘米数据绘制成频率分布直方图如图由图中数据可知a=0.03假设要从身高在120，130，130，140，140，150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，那么从身高在140，150内的学生中选取的人数应为3【考点】频率分布直方图菁优网所有【专题】概率与统计【分析】欲求a，可根据直方图中各个矩形的面积之和为1，列得一元一次方程，解出a，欲求选取的人数，可先由直方图找出三个区域内的学生总数，及其中身高在140，150内的学生人数，再根据分层抽样的特点，代入其公式求解【解答】解：直方图中各个矩形的面积之和为1，100.005+0.035+a+0.02+0.01=1，解得a=0.03由直方图可知三个区域内的学生总数为100100.03+0.02+0.01=60人其中身高在140，150内的学生人数为10人，所以身高在140，150X围内抽取的学生人数为10=3人故答案为：0.03，3【点评】此题考察频率分布直方图的相关知识直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1同时也考察了分层抽样的特点，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的，都等于125分2021如图，O的弦ED，CB的延长线交于点A假设BDAE，AB=4，BC=2，AD=3，那么DE=5；CE=【考点】圆內接多边形的性质与判定菁优网所有【专题】立体几何【分析】首先根据题中圆的切线条件再依据割线定理求得一个线段AE的长，再根据勾股定理的线段的关系可求得CE的长度即可【解答】解：首先由割线定理不难知道ABAC=ADAE，于是AE=8，DE=5，又BDAE，故BE为直径，因此C=90，由勾股定理可知CE2=AE2AC2=28，故CE=故填：5；【点评】此题考察与圆有关的比例线段、平面几何的切割线定理，属容易题135分2021双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点一样，那么双曲线的焦点坐标为4，0，4，0；渐近线方程为y=x【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质菁优网所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先根据椭圆的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，再由离心率求出a的值，最后根据b=得到b的值，可得到渐近线的方程【解答】解：椭圆的焦点为4，04，0，故双曲线中的c=4，且满足=2，故a=2，b=，所以双曲线的渐近线方程为y=x故答案为：4，0，4，0；y=x【点评】此题主要考察圆锥曲线的根本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进展了综合性考察145分2021如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动设顶点Px，y的轨迹方程是y=fx，那么fx的最小正周期为4；y=fx在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为+1【考点】函数的图象与图象变化菁优网所有【专题】函数的性质及应用【分析】正方形PABC沿x轴滚动包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动【解答】解：从某一个顶点比方A落在x轴上的时候开场计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴上开场运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90，然后以C为圆心，再旋转90，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：故其与x轴所围成的图形面积为故答案为：4，+1【点评】此题考察的知识点是函数图象的变化，其中根据画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对此题进展分析是解答此题的关键三、解答题共6小题，总分值80分1513分2021函数fx=2cos2x+sin2x4cosx求的值；求fx的最大值和最小值【考点】三角函数的最值；二倍角的余弦菁优网所有【专题】三角函数的求值【分析】把x=代入到fx中，利用特殊角的三角函数值求出即可；利用同角三角函数间的根本关系把sin2x变为1cos2x，然后利用二倍角的余弦函数公式把cos2x变为2cos2x1，得到fx是关于cosx的二次函数，利用配方法把fx变成二次函数的顶点式，根据cosx的值域，利用二次函数求最值的方法求出fx的最大值和最小值即可【解答】解：=；fx=22cos2x1+1cos2x4cosx=3cos2x4cosx1=，因为cosx1，1，所以当cosx=1时，fx取最大值6；当时，取最小值【点评】考察学生灵活运用同角三角函数间的根本关系及二倍角的余弦函数公式化间求值，此题以三角函数为平台，考察二次函数求最值的方法1614分2021如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB=，CE=EF=1求证：AF平面BDE；求证：CF平面BDE；求二面角ABED的大小【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定菁优网所有【专题】空间位置关系与距离【分析】设AC与BD交于点G，那么在平面BDE中，可以先证明四边形AGEF为平行四边形EGAF，就可证：AF平面BDE；先以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz把对应各点坐标求出来，可以推出=0和=0，就可以得到CF平面BDE先利用找到=，1，是平面BDE的一个法向量，再利用平面ABE的法向量=0和=0，求出平面ABE的法向量，就可以求出二面角ABED的大小【解答】解：证明：I设AC与BD交于点G，因为EFAG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形所以AFEG因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDEII因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，所以CE平面ABCD如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz那么C0，0，0，A，0，D，0，0，E0，0，1，F，1所以=，1，=0，1，=，0，1所以=01+1=0，=1+0+1=0所以CFBE，CFDE，所以CF平面BDEIII由II知，=，1，是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量=x，y，z，那么=0，=0即所以x=0，且z=y令y=1，那么z=所以n=，从而cos，=因为二面角ABED为锐角，所以二面角ABED为【点评】此题综合考察直线和平面垂直的判定和性质和线面平行的推导以及二面角的求法在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找直线平行的直线当然也可以用面面平行来推导线面平行1713分2021某同学参加3门课程的考试假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，qpq，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123pad求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；求数学期望E【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式菁优网所有【专题】概率与统计【分析】I由题意知事件该生至少有一门课程取得优异成绩与事件“=0是对立的，要求该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率，需要先知道该生没有一门课程优秀，根据对立事件的概率求出结果II由题意可知，需要先求出分布列中的概率a和b的值，根据互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率，得到这两个值，求出概率之后，问题就变为求期望【解答】解：事件A表示“该生第i门课程取得优异成绩，i=1，2，3由题意可知I由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩与事件“=0是对立的，该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是1P=0=1II由题意可知，P=0=，P=3=整理得p=a=P=1=d=P=2=1P=0P=1P=3=E=0P=0+1P=1+2P=2+3P=3=【点评】此题课程互斥事件的概率，相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量的分布列和期望，是一道综合题，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题1813分2021函数fx=ln1+xx+x2k0当k=2时，求曲线y=fx在点1，f1处的切线方程；求fx的单调区间【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性菁优网所有【专题】导数的概念及应用【分析】I根据导数的几何意义求出函数fx在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；II先求出导函数fx，讨论k=0，0k1，k=1，k1四种情形，在函数的定义域内解不等式fx0和fx0即可【解答】解：I当K=2时，由于所以曲线y=fx在点1，f1处的切线方程为即3x2y+2ln23=0IIfx=1+kxx1当k=0时，因此在区间1，0上，fx0；在区间0，+上，fx0；所以fx的单调递增区间为1，0，单调递减区间为0，+；当0k1时，得；因此，在区间1，0和上，fx0；在区间上，fx0；即函数fx的单调递增区间为1，0和，单调递减区间为0，；当k=1时，fx的递增区间为1，+当k1时，由，得；因此，在区间和0，+上，fx0，在区间上，fx0；即函数fx的单调递增区间为和0，+，单调递减区间为【点评】此题主要考察了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的单调性等根底知识，考察运算求解能力、推理论证能力，考察数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论的数学思想，属于根底题1914分2021在平面直角坐标系xOy中，点B与点A1，1关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于求动点P的轨迹方程；设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，说明理由【考点】轨迹方程；三角形中的几何计算；点到直线的距离公式菁优网所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与X围问题【分析】设点P的坐标为x，y，先分别求出直线AP与BP的斜率，再利用直线AP与BP的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点P的轨迹方程；对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得：根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点P的纵坐标的方程，解之即得【解答】解：因为点B与A1，1关于原点O对称，所以点B得坐标为1，1设点P的坐标为x，y化简得x2+3y2=4x1故动点P轨迹方程为x2+3y2=4x1解：假设存在点P使得PAB与PMN的面积相等，设点P的坐标为x0，y0那么因为sinAPB=sinMPN，所以所以=即3x02=|x021|，解得因为x02+3y02=4，所以故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为【点评】此题主要考察了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题2013分2021集合Sn=X|X=x1，x2，xn，xi0，1，i=1，2，nn2对于A=a1，a2，an，B=b1，b2，bn，Sn，定义A与B的差为AB=|a1b1|，|a2b2|，|anbn|；A与B之间的距离为证明：A，B，CSn，有ABSn，且dAC，BC=dA，B；证明：A，B，CSn，dA，B，dA，C，dB，C三个数中至少有一个是偶数设PSn，P中有mm2个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为证明：【考点】进展简单的合情推理菁优网所有【专题】压轴题；推理和证明【分析】因为每个数位上都是0或者1，取差的绝对值仍然是0或者1，符合Sn的要求然后是减去C的数位，不管减去的是0还是1，每一个a和每一个b都是同时减去的，因此不影响他们原先的差先比拟A和B有几个不同因为距离就是不同的有几个，然后比拟A和C有几个不同，这两者重复的就是某一位上A和B不同，A和C不同，那么这一位上B和C就一样去掉两次因为在前两次比拟中各计算了一次，剩下的就是B和C的不同数目，很容易得到这样的关系式：h=k+l2i，从而三者不可能同为奇数首先理解P中会出现Cm2个距离，所以平均距离就是距离总和再除以Cm2，而距离的总和仍然可以分解到每个数位上，第一位一共产生了多少个不同，第二位一共产生了多少个不同，如此下去，直到第n位然后思考，第一位一共m个数，只有0和1会产生一个单位距离，因此只要分开0和1的数目即可，等算出来，一切就水到渠成了此外，这个问题需要注意一下数学语言的书写标准【解答】解：1设A=a1，a2，an，B=b1，b2，bn，C=c1，c2，cnSn因ai，bi0，1，故|aibi|0，1，i=1，2，na1b10，1，即AB=|a1b1|，|a2b2|，|anbn|Sn又ai，bi，ci0，1，i=1，2，n当ci=0时，有|aici|bici|=|aibi|；当ci=1时，有|aici|bici|=|1ai1bi=|aibi|故2设A=a1，a2，an，B=b1，b2，bn，C=c1，c2，cnSn记dA，B=k，dA，C=l，dB，C=h记O=0，0，0Sn，由第一问可知：dA，B=dAA，BA，d=O，BA=kdA，C=dAA，CA=dO，CA=ldB，C=dBA，CA=h即|biai|中1的个数为k，|ciai|中1的个数为l，i=1，2，n设t是使|biai|=|ciai|=1成立的i的个数，那么有h=k+l2t，由此可知，k，l，h不可能全为奇数，即dA，B，dA，C，dB，C三个数中至少有一个是偶数3显然P中会产生Cm2个距离，也就是说，其中表示P中每两个元素距离的总和分别考察第i个位置，不妨设P中第i个位置一共出现了ti个1，那么自然有mti个0，因此在这个位置上所产生的距离总和为，i=1，2，n，那么n个位置的总和即【点评】此题是综合考察集合、数列与推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于Sn的，其实Sn中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1，第二个定义叫距离，距离定义在两者之间，如果直观理解就是看两个数组有多少位不同，因为只有0和1才能产生一个单位的距离，因此这个大题最核心的就是处理数组上的每一位数，然后将处理的结果综合起来，就能看到整体的性质了14