2022年北师大版中考数学一轮复习：压轴题 专项练习题（含答案）

2022年北师大版中考数学一轮复习：压轴题专项练习题1 .如图，在平面直角坐标系中，菱形A8CO的顶点。在第二象限，其余顶点都在第一象限,轴，AOLAD,AO=AD.过点A作4E_LC,垂足为E,DE=4CE.反比例函数y=K(x0)的图象经过点E,与边AB交于点尸，连接。E,OF,EF.若Smof=旦,2 .在4BC中，AB=AC,。是边BC上一动点，连接AQ,将40绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得/D4E+N8AC=180.(1)如图1,当NB4C=90时，连接BE,交4c于点F.若BE平分NABC,BD=2,求AF的长：(2)如图2,连接取BE的中点G,连接AG.猜想AG与CO存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3,在(2)的条件下，连接OG,CE.若N8AC=120,当8DCD,ZAEC=150时，请直接写出迎Z四的值.CE3 .有公共顶点A的正方形A8C。与正方形AEG/按如图1所示放置，点E,尸分别在边A8和4。上，连接BF,DE,M是BF的中点，连接4M交OE于点N.【观察猜想】(1)线段OE与AM之间的数量关系是，位置关系是;【探究证明】(2)将图1中的正方形AEG尸绕点A顺时针旋转45，点G恰好落在边A8上，如图2,其他条件不变，线段。E与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由.将线段EB绕点E顺时针旋转工a得线段EP.2(1)如图1,当a=120时，连接4P,请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；(2)如图2,当a=90时，过点B作BELEP于点F,连接AF,请写出线段AF,AB,A。之间的数量关系，并说明理由；(3)当a=120时，连接AP,若请直接写出APE与CCG面积的比值.2图1图25 .已知点0是线段48的中点，点P是直线/上的任意一点，分别过点A和点8作直线/的垂线，垂足分别为点C和点D我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”.(1)猜想验证如图1，当点P与点。重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”0C和0D的数量关系是.(2)探究证明如图2,当点尸是线段AB上的任意一点时，“足中距”0C和0。的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(3)拓展延伸如图3,当点P是线段8A延长线上的任意一点时，“足中距”0C和OO的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；若NCOO=60,请直接写出线段AC、BD、0C之间的数量关系.6 .如图，在矩形ABC。中，AB=3cm,AD=cm.动点尸从点A出发沿折线A8-BC向终点C运动，在边AB上以Icm/s的速度运动；在边BC上以c/m/s的速度运动，过点P作线段尸。与射线OC相交于点Q，且NPQE=60,连接PC,BD.设点尸的运动时间为x(s),OPQ与OBC重合部分图形的面积为y(cm2).(1)当点P与点4重合时，直接写出。的长：(2)当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长(用含x的代数式表示)；(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.ZABC=ZAED,2C7 .在等腰AOE中，AE=DE,ABC是直角三角形，NCA8=90,连接C。、BO,点尸是8。的中点，连接EE(1)当NEAO=45,点8在边AE上时，如图所示，求证：EF=-lc。；2(2)当NE4O=45,把ABC绕点4逆时针旋转，顶点8落在边AO上时，如图所示，当NE4O=60,点B在边4E上时，如图所示，猜想图、图中线段EF和CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明.8 .如图，已知ABC是等边三角形，P是ABC内部的一点，连接8P,CP.(1)如图1,以BC为直径的半圆。交A8于点Q,交AC于点R,当点尸在演上时,连接AP,在BC边的下方作/8CO=NBAP,CD=AP,连接。尸，求NC7)的度数；(2)如图2,E是8c边上一点，且EC=38E,当8P=CP时，连接EP并延长，交AC于点凡若夜AB=4BP,求证：4EF=3AB；(3)如图3,M是AC边上一点，当AM=2MC时，连接MP.若NCMP=150,AB=6a,MP=0i,ZXABC的面积为Si，BCP的面积为S2，求Si-S2的值(用含a的代数式表示).图1图2图39 .(1)已知ABC,ZXAOE如图摆放，点B,C,。在同一条直线上，ZBAC=ZDAE=90,ZABC=ZADE=45.连接BE,过点A作垂足为点F,直线AF交BE于点G.求证：BG=EG.(2)已知ABC,AOE如图摆放，NBAC=/)AE=90，/AC8=NAE=30.连接BE,CD,过点A作AF_LBE,垂足为点尺直线交C于点G.求效的值.CG图图10 .已知ABC和OEC都为等腰三角形，AB=AC,DE=DC,ZBAC=ZEDC=n0.(1)当=60时，如图1,当点。在4c上时，请直接写出BE与4。的数量关系：；如图2,当点。不在AC上时，判断线段BE与4。的数量关系，并说明理由；(2)当=90时,如图3,探究线段BE与A。的数量关系，并说明理由：BE/AC,AB=3a,AO=1时，请直接写出OC的长.图1图2图311 .如图1，对角线互相垂宜的四边形叫做垂美四边形.(1)概念理解：如图2,在四边形ABCC中，AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；(2)性质探究：如图1,垂美四边形ABCO的对角线AC,BD交于点、O.猜想：A+CD1与有什么关系？并证明你的猜想.(3)解决问题:如图3,分别以RtAACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形A8DE,连结CE,BG,GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.12 .如图1,在正方形48c。中，点E是边8c上一点，且点不与点8、C重合，点户是84的延长线上一点，且AF=CE.(1)求证：OCEg/XDAF；(2)如图2,连接EF,交AO于点K,过点。作。_LEr，垂足为，延长DH交BF于点G,连接“B,HC.求证：HD=HB-,若DK,HC=如,求HE的长.13 .综合与实践数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣.折一折：将正方形纸片ABC。折叠，使边AB、4Q都落在对角线AC上，展开得折痕4E、AF,连接E尸，如图1.(1) ZEAF=,写出图中两个等腰三角形：(不需要添加字母)；转一转：将图1中的NEA尸绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q,连接PQ,如图2.(2)线段BP、PQ,。之间的数量关系为；(3)连接正方形对角线若图2中的NB4Q的边4P、4Q分别交对角线BO于点M、点N,如图3,则SQ=；BM剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线B。剪开，如图4.(4)求证：BM2+DN2=MN2.图1图2图3图414 .实践与探究操作一：如图，已知正方形纸片ABC。，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M,折痕为AE,再将纸片沿过点A的直线折叠，使AO与AM重合，折痕为A凡则/以尸=度.操作二：如图，将正方形纸片沿跖继续折叠，点C的对应点为点N.我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同.当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕4E上，则N4EF=度.在图中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：(1)设AM与NP的交点为点P.求证：4ANP沿4FNE；(2)若AB=M，则线段AP的长为.解：相等.在ABC和CSC中，分别作AEL/2,DFLh，垂足分别为E,F.：NAEF=NDFC=90，：.AE/DF.四边形AEFO是平行四边形，：.AE=DF.又Saabc=28CAE,S&dbc=LbCDF.22,SaabcS&dbc【类比探究】如图，在正方形ABCD的右侧作等腰0CE=DE,AO=4,连接AE,求ADE的面积.解：过点E作E凡LCD于点八连接AF.请将余下的求解步骤补充完整.【拓展应用】如图，在正方形A8CQ的右侧作正方形CEFG,点B,C,E在同一宜线上，AO=4,连接8C,BF,DF,直接写出8。尸的面积.图图图16 .如图，在A5C中，AO_LBC于点),BC=14,AO=8,80=6,点E是4。上一动点(不与点A,。重合)，在AOC内作矩形EFG”,点尸在。上，点G,”在AC上,设。E=x,连接BE.(1)当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长;S.(2)设ABE的面积为S1，矩形EFG”的面积为S2，令丫=，求y关于x的函数解$2析式(不要求写出自变量x的取值范围)；(3)如图，点P(a,h)是(2)中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线/分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M,N两点，求OMN面积的最小值，并说明理由.17 .下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务.小明：如图1,(1)分别在射线0A,。8上截取0C=0。，OE=OF(点、C,E不重合)；(2)分别作线段CE,。尸的垂直平分线/”3交点为P,垂足分别为点G,H；(3)作射线0P,射线OP即为/AO8的平分线.简述理由如下：由作图知，NPGO=NPHO=90,OG=OH,OP=OP,所以RtZPGO丝RtZXPHO,则NPOG=NPOH,即射线OP是/A08的平分线.小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2,(1)分别在射线04,08上截取OC=OO,OE=OFC,E不重合)；(2)连接OE,CF,交点为P；(3)作射线0P.射线。P即为NA08的平分线.任务:图1图2图3(1)小明得出RtZPG。附RtZP/70的依据是(填序号).SSSSASAASASAHL(2)小军作图得到的射线OP是NA0B的平分线吗？请判断并说明理由.(3)如图3,已知NAOB=60,点E,尸分别在射线04,08上，且。=0尸=.点C,。分别为射线。8上的动点，且0C=0),连接OE,CF,交点为P,当NCPE=30时，直接写出线段OC的长.18 .如图，在四边形ABCC中，AB/CD,ABCD,NA8C=90,点E、/分别在线段BC、AO上，且EFC),AB=AF,CD=DF.(1)求证：CFLFB；(2)求证：以A3为直径的圆与BC相切；(3)若EF=2,ZDFE=120,求4OE的面积.19 .已知四边形ABC。是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线的上方作等腰直角三角形AEF,ZAF=90,设备用图(1)如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点、P,A/交C3于点Q,连接C凡当?=工时，求线段CF的长；3在PQE中，设边QE上的高为/?,请用含机的代数式表示力，并求的最大值；(2)设过8C的中点且垂直于8c的直线被等腰直角三角形4E/截得的线段长为y,请直接写出y与机的关系式.20 .【推理】如图1,在正方形ABC。中，点E是CD上一动点，将正方形沿着8E折叠，点C落在点F处，连结BE,CF,延长CF交AO于点G.(1)求证：BCE/XCDG.【运用】(2)如图2,在【推理】条件下，延长BF交40于点若理=&,CE=9,求线段HF5OE的长.【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CR延长CRBb交直线4）于G,，两点，若坦=%坦=名，求迈的值（用含上的代数式表示）.BCHF5EC图1图2备用图21 .如图，在4BC中，AB=AC,ZBAC=a,M为BC的中点，点。在MC上，以点A为中心，将线段AO顺时针旋转a得到线段AE,连接BE,DE.（1）比较NB4E与NCAO的大小；用等式表示线段BE,BM,MO之间的数量关系，并证明：（2）过点M作A8的垂线，交。E于点N,用等式表示线段NE与NO的数量关系，并证明.22 .如图1,在ABC中，ZACB=90,AC=BC,点。是A8边上一点（含端点4、B）,过点B作BE垂直于射线CD,垂足为E,点F在射线CC上，且EF=BE,连接A尸、BF.(1)求证：/ABFs4CBE；(2)如图2,连接AE,点P、M.N分别为线段4C、AE.EF的中点，连接PM、MN、PN.求NPMN的度数及圆的值；PM(3)在(2)的条件下，若BC=&,直接写出PMN面积的最大值.23 .某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究:(1)如图1,在正方形A8CO中，点E,尸分别是A8,A3上的两点，连接OE,CF,DEA.CF,则理的值为；CF(2)如图2,在矩形ABC3中，AD=1,CD=4,点E是A上的一点，连接CE,BD,且CEBD,则的值为；BD【类比探究】(3)如图3,在四边形ABCD中，/4=NB=90,点E为A8上一点，连接OE,过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G,交AD的延长线于点F,求证：DEAB=CFAD；【拓展延伸】(4)如图4,在中，NBA=90,AD=9,tanZADB=1-,将ABO沿8。3翻折，点A落在点C处得C8),点E,产分别在边A8,AD连接。E,CF,DELCF.求些的值；CF连接BF,若AE=1,直接写出8尸的长度.24 .在平面宜角坐标系中，。为原点，OAB是等腰宜角三角形，ZOBA=90,BO=BA,顶点4(4,0),点8在第一象限，矩形OCDE的顶点E(-看，0),点C在)，轴的正半轴上，点。在第二象限，射线。C经过点8.(I)如图，求点B的坐标；(II)将矩形O8E沿x轴向右平移，得到矩形OCDE,点O,C,D,E的对应点分别为O，C,。，E.设。O=t,矩形OCDE与OAB重叠部分的面积为S.如图，当点E在x轴正半轴上，且矩形OCDE与0A8重叠部分为四边形时，E与OB相交于点尸，试用含有r的式子表示S,并直接写出f的取值范围；当时，求S的取值范围(直接写出结果即可)22fyfy图25 .如图1,在ABC中，AB=AC,N是8c边上的一点，。为AN的中点，过点A作BC的平行线交CO的延长线于T,且AT=BN,连接BT.(1)求证：BN=CN；(2)在图1中AN上取一点O,使AO=OC,作N关于边AC的对称点M,连接MT、M。、OC、OT、CM得图2.求证：7OMs/aoc；设力W与AC相交于点P,连接尸。，求证：PD/CM,PD=1.CM.26 .问题提出如图（1）,在ABC和OEC中，ZACB=ZDCE=90a,BC=AC,EC=DC,点、E在ABC内部，直线40与BE交于点F.线段AF,BF,CF之间存在怎样的数量关系？问题探究(1)先将问题特殊化如图(2),当点,F重合时，宜接写出一个等式，表示4F,BF,CF之间的数量关系；(2)再探究一般情形如图(1),当点尸不重合时，证明(1)中的结论仍然成立.问题拓展如图(3),在ABC和OEC中，ZACB=ZDCE=90,BC=kAC,EC=kDC(k是常数)，点E在ABC内部，直线AO与BE交于点F.直接写出一个等式，表示线段AF,BF,C尸之间的数量关系.(1)(2)(3)27 .【证明体验】(1)如图1,40为ABC的角平分线，NAOC=60,点E在48上，AE=AC.求证:OE平分N4OB.【思考探究】(2)如图2,在(1)的条件下，F为48上一点，连结FC交AO于点G.若FB=FC,DG=2,CD=3,求BD的长.【拓展延伸】(3)如图3,在四边形A8CD中，对角线AC平分N84O,NBCA=2/OCA,点E在AC上，NEDC=NABC.若8c=5,CD=2辰,AO=2AE,求AC的长.图1图2图328 .已知，在ABC中，ZBAC=90,AB=AC.(1)如图1,已知点。在8C边上，ND4E=90,AD=AE,连结CE.试探究BD与CE的关系；(2)如图2,已知点。在8c下方，ND4E=90,AD=AE,连结CE.若BOJL4O,AB=2jI5，CE=2,AD交BC于点F,求4F的长；(3)如图3,已知点。在BC下方，连结A。、BD、CD.若NCBD=30,ZBAD15,AB2=6,AD2=4+V3求sin/BCO的值.29 .在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-真，0),点B在直线/：上，过点8作A8的垂线，过原点。作直线/的垂线，两垂线相交于点C.(1)如图，点8,C分别在第三、二象限内，8c与AO相交于点.若BA=8。，求证：CD=CO.若/C8O=45,求四边形ABOC的面积.(2)是否存在点B,使得以A,B,C为顶点的三角形与BC。相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由.30 .如图，QAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(3,4),B(6,0),动点P、。同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点8时点P、。同时停止运动.过点。作MN08分别交40、AB于点M.N,连接PM、PN.设运动时间为(秒).(1)求点M的坐标(用含，的式子表示)；(2)求四边形MNBP面积的最大值或最小值；(3)是否存在这样的直线/,总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线/的解析式；如果不存在，请说明理由：(4)连接4尸，当NOAP=NBPN时,求点N到。A的距离.参考答案1.解：延长E4交x轴于点G,过点尸作FHLv轴于点H,如图,.,.AGJ_x轴.yAOIAD,：.ZDAE+ZOAG=90Q.：AEA.CD,：.ZDAE+ZD=90.：.ZD=ZOAG.在/小和AOG中，fZDEA=ZAG0=90ZD=Z0AGAD=OA；.4：丝ZXAOG(A4S).：.DE=AG,AE=OG.四边形ABC。是菱形，DE=4CE,:.AD=CD=DE.4设E=4a,则4Z)=OA=5a.,.OG=A=iyAD2_)E2=3a.：.EG=AE+AG=la.:E(3a,7a).:反比例函数y=K(x0)的图象经过点E,x./=21/.VAGIGW,FH1.GH,AFAG,.四边形AG”尸为矩形.：.HF=AG=4a.点尸在反比例函数y=K(x0)的图象上，X.r=21a2_214aNa，(21a,4a)-4:.OH=四，FH=4a.4:.GH=OH-0G=4aSaOEFSOEG+SEGHF-SaOFH，S/EOF=i，8yXQGXEG*EG+FH)GH*HXHF=-y-|x21a2-yx(7a+4a)Xja-yX21a2=-解得：a2=A.9./=21a2=21X_l=工.93故选：A.2.解：(1)连接CE,过点尸作FQLBC于Q,.BE平分NA8C,/R4c=90,：.FA=FQ,：AB=AC,NABC=NACB=45,：.FQ=2-CF,2VZBAC+ZDA=180,NOAE=NBAC=90,：.ZBAD=ZCAE,由旋转知，AD=AE,：./XABD/XACE(SAS),：.BD=CE=2,ZABD=ZACE=45a,/.ZBCE=90,:.NCBF+NBEC=90,平分N4BC,NABF=NCBF,ZABF+ZBEC=90,VZBAC=90,AZABF+ZAFB=90,:.NAFB=NBEC,/AFB=/CFE,:/BEC=/CFE,：.CF=CE=2,：.AF=FQ=返CF=&；2(2)ag=Acd,2理由：延长BA至点M,使AM=A8,连接EM,G是8E的中点，G=XwE,2VZBAC+ZDAE=ZBAC+ZCAA/=180,：.ZDAE=ZCAMf：.ZDAC=ZEAM,9：AB=AM,AB=AC,：.AC=AM,；AD=AE,：./ADC/AEM(SAS),:.CD=EM,：.AG=l-CDx2(3)如图3,连接ORAO与BE的交点记作点N,VZBAC+ZDAE=180,NBAC=120,：.ZDAE=60,U：AD=AE,：/ADE是等边三角形，:AE=DE,ZADE=ZAED=60,VZAEC=150,:./DEC=ZAEC-ZAED=90,在ABC中，AB=AC,NA4c=120,AZACB=ZABC=30,VZAEC=150,AZA5C+ZAEC=180,，点4B,C,E四点共圆，：.ZBEC=ZBAC=120,:.NBED=NBEC-ZDEC=30,：.ZDNE=S0-ZBED-ZADE=90,；AE=DE,:.AN=DN,JBE是AD的垂直平分线，：.AG=DG,BA=BD=AC,：.ZABE=ZDBE=ZABC=15,2ZACE=ZABE=15,:NDCE=45,VZDEC=90,.*.ZDC=45=ZDC,:.DE=CE,：.AD=DE,设AG=，则。G=m由（2）知，ag=Acd,2：.CD=2AG=2afI.CE=OE=返。=方心2*AD=,DN=-LaD=,22过点。作OJ_AC于，在RtZXfWC中，NAC8=30,CD=2a,：.DH=a,根据勾股定理得，在RtZkAO中，根据勾股定理得，=7AD2-DH2=n,：.AC=AH-CH=a+Cfi,BD=a+yi,3.解：(1);四边形48CD和四边形AEGF1都是正方形，：.AD=AB,AF=AE,ZDAE=ZBAF=90a,：.DAE/BAF(SAS),：.DE=BF,ZADE=ABF,VZABF+ZAFB=90,AZADE+ZAFB=9Q,在RtzBA尸中，M是8F的中点，二AM=FM=BM=2：.DE=2AM.：.NAFB=ZMAF,又.NAOE+NAFB=90,ZADE+ZMAF=90a,.NAN=180-(NAOE+NAMF)=90,即ANLDN；故答案为OE=2AM,DELAM.(2)仍然成立，证明如下：延长AM至点”，使得AM=M”,连接尸,IM是5尸的中点,:.BM=FM,又丁NAMB=NHMF,：.(SAS),：.AB=HFf/ABM=NHFM,：.AB/HF,：4HFG=4AGF,/四边形ABCD和四边形AEGF是正方形，；NDAB=NAFG=90，AE=AFfAD=AB=FH,NE4G=NAGF,1,NEAD=NEAG+/DAB=NAFG+NAGF=NAFG/HFG=NAFH,：./EAD/AFH(SAS),:DE=AH,又.AM=MH,：.DE=AM-MH=2AM,：lEA。组4AFH,：.ZADE=ZFHAf,:4AMB乌丛HMF,：,/FHA=/BAM,：.ZADE=ZBAM,又.N8AM+N)AM=NAB=90,AZADE+ZDAM=90,N4N=180-(NAOE+NQAM)=90,即AN.LDN.故线段DE与AM之间的数量关系是DE=2AM.线段DE与AM之间的位置关系是DEAM.4.解：(1)方法一：如图1,连接P3,PC, ,四边形ABCD是平行四边形，：.AD/BC,AB/CD.AD=BC,Va=120,即NB4=12O,：.ZB=ZADC=60,：.ZBEP=60=NB,由旋转知：EP=EB,：/BPE是等边三角形，；BP=EP,NEBP=NBPE=W,；NCBP=NABC+NEBP=120, ZAEP=180-BEP=nO,:./AEP=/CBP,OE平分NAOC,AZADE=ZCDE=30,ZAED=ZCDE=30Q=ZADE,：.AD=AE,：.AE=BC,:APEWXCPB(SAS),:.AP=CP,ZAPE=ZCPB, NAPE+NCPE=NCPB+NCPE,ZAPC=ZBPE=60, APC是等边三角形，：.AP=AC；方法二:如图1,延长PE交CD于点Q,连接AQ, 四边形48CO是平行四边形，J.AD/BC,AB/CD,Va=120,即/BAO=120,AZB=ZADC=60, /BP=60=/B,：.PE/BC/AD,J四边形ADQE和四边形BCQE是平行四边形，TOE平分NAOC,AZADE=ZCDE=30,AZAED=ZCDE=30=NADE,：.AD=AEf .四边形ADQE是菱形，：.ZEAQ=ZAEQ=60, AEQ是等边三角形，：.AE=AQfNAQE=60， 四边形BCQE是平行四边形，:PE=BE=CQ,ZB=ZCQE=60, ZAEP=20,ZAQC=ZAQE+ZCQE=120,:.NAEP=NAQC,AAAEPAAQC(SAS),：.AP=AC；(2)AB2+AD2=2AF2,理由：如图2,连接CR在。ABC。中，NBAD=90,AZADC=ZABC=ZBAD=90,AD=BC,TOE平分NAOC,AZADE=ZCDE=45,AZAED=ZADE=45,：.AD=AE,：.AE=BC,VBF1EP,AZBFE=90,VZBEF=Aa=AzAD=Ax90=45,222：NEBF=NBEF=45,:.BF=EF,：/FBC=NFBE+NABC=450+90=135,ZAEF=I8O-NFEB=135,；/CBF=ZAEF,:BCFQAEAF(SAS),：.CF=AF,/CFB=NAFE,；/AFC=NAFE+NCFE=/CFB+NCFE=NBFE=90,AZACF=ZCAF=45,VsinNACr=2L,AC：.AC=AFAFAFsinZACF sin45 加2在RtZkABC中，AB2+BC2=AC2,：.AB2+AD1=2AF2；(3)方法一：由(1)知，BCAD=AE=AB-BE,：be=1ab,AB=CD,2：.AB=CD=2BE,设BE=a,则PE=AO=AE=a,AB=CD=2a,当点E在48上时，如图3,过点G作GML4O于点M,作GMLCO于点N,过点C作CKLAD于点K,过点A作AHLPE的延长线于点H,当a=120时，NB=NAOC=60,平分N4OC,GMLAD,GNCD,:.GM=GN,；Sa4cd=CK=L2asin60SADGyAD-GM,S/xcdg_-2saADG，SCDG=SACD=-a2，33由（1）PE/BC,：.ZAEH=ZB=60,VZ/7=90,/.A/=Asin602:.Saape=LpEAH=L=立乩2224V32saape_4=3SACDG返/43a如图4,当点E在AB延长线上时，由同理可得：Sacdg=-Saacd=XAX2aXSaape=工尸小AE=工XX3a=,2224.AAPE_42=5,SACDGZZ245a综上所述，XAPE与CDG面积的比值为3或互.44方法二：如图3,：四边形A8CQ是平行四边形，：.AD/BC,AB/CD,AB=CD,:.iAEGslCDG,.SAAEG_zAE2EG_AE,CDGCDDGCD当点E在48上时，：be=1ab,2:.ae=be=1ab=1.cd,22.saaeg_(AE)2=_1；,CDGCD4又,EG=AE=*DGCDT图=1,即敢=3,ED3EG.SAAED=ED=3aaegEG当a=120时，NB=/ADC=60,.,E平分NAQC,；./ADE=30,ZAED=80-ABAD-ZADE=30=ZADE,：.AEAD,：EP=EB=AE,EP/AD,：.EP=AD=AE,ZAEP=ZDAE=120,SaAED=SEAP，=3 X A,i；4 4.APE$AAPE.S/kAEGS&AED.$AAEG$ACDGS&AEG2ACDGAAEG$2kCDG如图4,当点E在AB延长线上时，：be=1ab,2:.ae=1ab=1cd,22由知，AD=AE=.CD,2：EP=BE=1aE1aD,EP/AD,33 saape-EP=1SAADE&3.EG_AE_3 一,一-，DGCD2.ED_5,EG3.saade=ED=5.SAAEGEG3.SAAEG_rAE、2_r3、2_9SacdgCD24.SAAPESAAPE.SAADE.SAAEG=1y_5x9=$.S/kCDGAADEAAEGACDG3344综上所述，AAPE与CQG面积的比值为3或5.44图2图15.解：(1)猜想：OC=OD.理由：如图1中，VAC1CD,BDLCD,：.ZACO=ZBDO=90在AOC与BOO中，fZAC0=ZBD0 ZA0C=ZD0BOA=OB.40C丝BO。(A4S),OC=OD,故答案为：oc=。；(2)数量关系依然成立.理由：过点。作直线EFC),交4c的延长线于点E,：EF/CD,:.NDCE=NE=NCDF=90,四边形CE/7）为矩形，：.NOFD=90,CE=DF,由（1）知，OE=OF,在COE与OO尸中，CE=DFOE=OF.COE/DOF（SAS）,：.OC=OD；（3）结论成立.理由：如图3中，延长CO交8。的延长线于点E,图3ACCD,BDCD,：.AC/BD,：.ZACO=ZE,V .点。为A8的中点，：.AO=BO,又,:ZAOC=ZBOE,.AOgABOE(AAS),：.CO=OE,V ZC=90,：.OD=OC=OE,：.OC=OD.结论：AC+BD=J3OC.理由：如图3中，,.,ZCOD=60,OD=OC,:.XCOD是等边三角形，：.CD=OC,ZOCD=60,V ZCD=90,.,.tan60=延，CD：.DE=yjCD,:AOC丝BOE,：.ACBE,：.AC+BD=BD+BE=DE=yjCD,：.AC+BD=s/3OC.6.解：(1)如图，在RtZXPOQ中，AD=yJ2pm,/尸。0=60,/.tan60=-5.=V3DQ;.dq=2aD=cm.3(2)点P在AB上运动时间为3+1=3(s),.点P在BC上时(x-3).(3)当0Wx3时，点P在A8上，作PMLCZ)于点M,PQ交AB于点E,作ENd_C)于点N,DQ=DM+MQ=AP+MQ=(x+1)cm,当x+l=3时x=2,.,.0x2时，点Q在OC上，:tan/BDC=近,CD3：.ZDBC=30,.,/PQO=60,/.ZD0=9O.Vsin30=EQ=A,DQ2：.EQ=l.DQ=k,22,.,sin60返，EQ2:.EN=EQ=(x+1)cm,24：.y=XDQEN=l.(x+1)X(x+1)=返(x+1)2=1r2+2：+返(0/(x-2)=(2/1-2疝+2，)cm2,222=-S4CQF=返A退史-(亚-2百t+2F)=(-?/时+则3848284-13.)C7M2(2xW3).8当3cxW4时，点P在8c上，如图，.CP=C8-BP=-(x-3)=(4-)cm,.R=1OUCP=_1X3(4-r)=6-色氏(3后4).222第x2亭亭0x2)综上所述，尸*2呼x令巨(2x3)65/3-3*x(3=45,2ZACB=ZABC=45,：.AC=AB,AQ垂直平分线段BC,:.DC=DB,：.EF=1.CD.2(2)解：如图中，结论：EF=1CD.图理由：取CD的中点T,连接AT,TF,ET,TE交AO于点。V ZCAD=90,CT=DT,；AT=CT=DT,：EA=ED,“垂直平分线段A,：.AO=OD,V ZAED=90,：.OE=OA=OD,V ：CT=TD,BF=DF,：.BCFT,：.ZABC=ZOFT=45,V ZTOF=90,：.ZOTF=ZOFT=45,：.OT=OF,：.AF=ET,7FT=TF,ZAFT=ZETF,FA=TE,：./AFTAETF(SAS),:EF=NT,：.EF=1.CD.2如图中，结论：EF=返CD2图理由：取AO的中点。，连接。F,0E.：EA=ED,ZAED=60,.AOE是等边三角形，：AO=OD,J.OE1AD,ZAEO=ZOED=30,：.lanZAEO=OE3OE-V3,AD2VZAC=AzAED=30,ZBAC=90,2：.AB=y12AC,*：AO=OD,BF=FD,:.of=1ab,2V3一 2 Ac- -OF一AcOEAD:OF/AB,：./DOF=ND48,VZDOF+ZEOF=90Q,NAB+NZ)AC=90,:.ZEOF=ZDAC,/.EOFADAC, EF-0E-V3 -，-,CDAD2：.EF=3.CD.28.解：(1)如图1,连接80,ABC是等边三角形，：.AB=BC,NABC=60,在ABA尸和BCD中，AB=BC,NBAP=/BCD，AP=CD.BAPABCD(SAS),：.BP=BD,NABP=NCBD,；NABP+NPBC=60,：.CBD+ZPBC=6Q,即NPBO=60,.B。尸是等边三角形，AZBPD=60,是。的宜径，AZBPC=90,：.NCPD=NBPC-NBPD=90-60=30；(2)如图2,连接AP交BC于。，ABC是等边三角形，：.AB=AC=BC,ZABC=ZACB=60,BP=CP,：.ADBC,BD=CD=1.BC=1aB,22：.AD=ABsinZABC=AB-sm60=JAB,2:夜AB=4BP,.bp=1ab,4P=VbP2-BD2=-J(AB)2-(yAB)2=2YAfi,pd=1ad,即点尸是AO的中点，2：EC=3BE,：.BE=1.BC,BC=4BE,4,:bd=Lbc,2be=Lbd,即点E是8。的中点，2；.EP是ABO的中位线，J.EF/A.B,:.XCEFsXCBA,.EF=CE_3BE_3AB丽嬴，：.4EF=3AB；(3)如图3,过点A作AOLBC于点。，过点P作PELBC于点E,交4C于点凡作P_LAC于点H,由(2)得：AD=AB=3七,ZACB=60,BC=ACAB=6a,2VZCA/P=150,尸=180-NCMP=180-150=30,；NCHP=9Q,，PH=PM.sinNPMF=a.sin30。=MH=:PMcosZPMF=y/3a-cos300=*，VEEIBC,；.NCEF=90,：.ZCFE=90-ZACB=90-60=30,:.NCFE=NPMF,：.PF=PM=yi,：.FH=PFcosZPFH=y/yfcos30=当，2：AM=2MC,.CM=AC=X6a=z2a,33CF=CM+MH+HF=5a,EF=C尸sinZACB=5wsin602：.PE=EF-PF=fia-仁22.Si-S2=SABC-S,bcp=BCAD-1.BCPE=1-BCafaf：.DM=CN,在OGM和ACGN中，有：，ZDGM=ZCGN丝BCE(SAS),；.AD=BE；(2) BE=y/2AD,理由如下：当=90时，在等腰直角三角形DEC中：1C=sin45。=2区，EC2在等腰直角三角形ABC中：&C=sin45。=返，BC2./ACB=NACE+NECB=45,ZDC=ZACE+ZDCA=45,:.NECB=ZDCA在OCA和AECB中，DC_AC二&EC=BCZDCA=ZECB：.4DCAs4eCB,.AD&=BE2；.8E=&AD,OC=5或丁三，理由如下：当点。在ABC外部时，设EC与AB交于点F,如图所示：Bl,:AB=3品,40=1由上可知：4C=AB=3&,BE=V2AD=V2-又,：BEHAC,：.ZEBF=ZCAF=90,而NEFB=NC项，:.EFBs/CFA,.EFBFBE=&=1CFaFAC23：.AF=3BF,而A8=B尸+AF=3我，Tx收乎在RS*中：所=五e2+b2=J（后产+（平产平又,：CF=3EF=3X殳叵=2返，44:.EC=EF+CF=2F迎=5近（或EC=4EF=5近），44在等腰直角三角形OEC中，DC=Ccos45=5&X返=5.2当点。在48C内部时，过点。作OJ_AC于。:加24cH2=（冬2+（1）2=行,综上所述，满足条件的CD的值为5或小石.11.解：（1）四边形ABCD是垂美四边形.理由如下：如图2,连接AC、BD,图2：AB=AD,.点A在线段BD的垂直平分线上，：CB=CD,.点C在线段BD的垂直平分线上，直线AC是线段BD的垂直平分线，J.ACX.BD,即四边形A8C。是垂美四边形;(2)AB1+Cb1=AD1+BC1,理由如下：如图1中，,：ACLBD,：.ZAOD=ZAOB=NBOC=ZCOD=90,由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO1+Cd2,A+CD2=AO1+Bd1+Cd1+Dd1,:.ad2+bc1=ab2+cd1；(3)如图3,连接CG、BE,;正方形ACFG和正方形ABDE,：.AG=AC,AB=AE,NCAG=NB4E=90,ZCAG+ABAC=NBAE+NBAC,即NGAB=ZCAE,在GAB和CAE中，AG=AC,NGAB=NCAE，AB=AE：./GAB/CAE(SAS),:.NABG=NAEC, ZAC+ZAM=90, NA8G+/AME=90, NAME=/BMN, NABG+NBMN=9(T,即CE1.BG,：.四边形CGEB是垂美四边形，由(2)得，CG2+BE2=CB2+GE2,VAC=4,AB=5, ,BC=IAB2-AC2=V52-42=3,cg=VaC2+AG2=V42+42=42,B=VaB2+AE2=V52+52=52,.,.GE2=CG2+BE2-CB2=(4)2+(5&)2-32=73,：.GE=473.12.解：(1)I四边形ABC。为正方形，：.CD=AD,NDCE=NDAF=90,VCE=AF,：.DCE/DAF(SAS)；(2).QCE4ZMF,：.DE=DF,NCDE=NADF,：.NFDE=NADF+NADE=NCDE+NADE=ZADC=90,.OFE为等腰直角三角形，,：DH1EF,.点，是EF的中点，:.dh=Lef,2同理，由HB是RtZXEBF的中线得：HB=LeF,2:.HD=HB；：四边形ABCD为正方形，故CD=CB, :HD=HB,CH=CH,:DCHWdBCH(555),：./DCH=NBCH=45, 丛DEF为等腰直角三角形，；NDFE=45,:/HCE=/DFK, 四边形ABC。为正方形，J.AD/BC,:./DKF=NHEC,:DKFsAHEC, DKDF,HEHC：.DK-HC=DFHE,在等腰直角三角形OFH中，DF=6fIF=6fiE,：.DMHC=DF*HE=HR-5/2.：.HE=.13.(1)解：如图1中,图1.,四边形4BCQ是正方形，：.AB=AD=BC=CD,NBAD=90,：.ABC,AAOC都是等腰三角形，,/ZBAE=NCAE,ZDAF=ZCAF,：.ZEAF=1-(NBAC+ND4C)=45,2VZBAE=ZDAF=22.5,Zfi=ZD=90,AB=AD,.BAEADAF(ASA),：.BE=DF,AE=AF,：CB=CD,:CE=CF,AAAEF,都是等腰三角形，故答案为：45,AAEF,AEFC,AABC,AADC.(2)解：结论：PQ=BP+DQ.理由：如图2中，延长CB到。使得87=。.图2 AD=AB,ZADQ=ZABT=90,DQ=BT,：./ADQABT(SAS),：.AT=AQ