三年高考（2014-2016）数学（理）真题分项版解析—— 专题09 圆锥曲线

三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析第九章 圆锥曲线一、选择题1. 【2016高考新课标1卷】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )（A） （B） （C） （D）【答案】A考点：双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c不是c,这一点易出错.2. 【2014高考广东卷.理.4】若实数满足，则曲线与曲线的( )A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等【答案】D【解析】，则，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，因此，两双曲线的焦距相等，故选D.【考点定位】本题考查双曲线的方程与基本几何性质，属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于中等题解题时要注意、的关系，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是双曲线的简单几何性质，即双曲线（，）的实轴长为，虚轴长为，焦距为，其中，离心率3. 【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为( )（A） （B） （C） （D）1【答案】C考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点的坐标，利用向量法求出点的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把斜率用参数表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值4. 【2015高考广东，理7】已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为（ ） A B. C. D. 【答案】【解析】因为所求双曲线的右焦点为且离心率为，所以，所以所求双曲线方程为，故选【考点定位】双曲线的标准方程及其简单几何性质【名师点睛】本题主要考查学生利用双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程和运算求解能力，由离心率和其右焦点易得，值，再结合双曲线可求，此题学生易忽略右焦点信息而做错，属于容易题5. 【2014山东.理10】 已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ）A. B. C. D.【答案】【解析】由已知及椭圆、双曲线的几何性质得，所以，双曲线渐近线方程为，即，选.【名师点睛】本题考查椭圆、双曲线的标准方程及其几何性质.确定椭圆或双曲线的离心率，关键是从已知出发，确定得到的关系，本题中由离心率，确定的关系，从而得到双曲线的渐近线方程.本题属于小综合题，也是一道能力题，在较全面考查椭圆、双曲线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.6. 【2016高考新课标2理数】已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】A【解析】试题分析：因为垂直于轴，所以，因为，即，化简得，故双曲线离心率.选A.考点：双曲线的性质.离心率. 【名师点睛】区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.双曲线的离心率e(1，)，而椭圆的离心率e(0，1)7. 【2014新课标，理10】设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得：，设A、B，则所求三角形的面积为=，故选D.【考点定位】直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点睛】本题考查了直线方程，直线与圆锥曲线的位置关系.，三角形的面积的求法，本题属于中档题，要求学生根据根据已知条件写出直线方程，与抛物线方程联立，消元，然后应用韦达定理求解，注意运算的准确性.8. 【2016高考浙江理数】已知椭圆C1：+y2=1(m1)与双曲线C2：y2=1(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）Amn且e1e21 Bmn且e1e21 Cm1 Dmn且e1e20），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】试题分析：根据对称性，不妨设A在第一象限，故双曲线的方程为，故选D.考点：双曲线渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点：(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2By21(AB0)若已知渐近线方程为mxny0，则双曲线方程可设为m2x2n2y2(0)17. 【2015高考新课标1，理5】已知M（）是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是( )（A）（-，） （B）（-，）（C）（，） （D）（，）【答案】A【考点定位】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.【名师点睛】本题考查利用向量数量积的坐标形式将表示为关于点M坐标的函数，利用点M在双曲线上，消去x0，根据题意化为关于的不等式，即可解出的范围，是基础题，将表示为的函数是解本题的关键.18. 【2014课标，理10】已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图所示，因为，故，过点作，垂足为M，则轴，所以，所以，由抛物线定义知，选B【考点定位】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程；3、向量共线【名师点睛】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线的位置关系，本题考查了考生的基本运算能力和综合分析能力.19.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）A. B. C. D. 【答案】A.【解析】，故选A.【考点定位】抛物线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习.20. 【2014高考重庆理第8题】设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.3【答案】B【解析】考点：1、双曲线的定义和标准方程；2、双曲线的简单几何性质.【名师点睛】本题考查双曲线定义，性质及其应用，属于中档题，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件21. 【2015高考重庆，理10】设双曲线（a0,b0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A、 B、C、 D、【答案】A【解析】由题意，由双曲线的对称性知在轴上，设，由得，解得，所以，所以，因此渐近线的斜率取值范围是，选A.【考点定位】双曲线的性质.【名师点晴】求双曲线的渐近线的斜率取舍范围的基本思想是建立关于的不等式，根据已知条件和双曲线中的关系，要据题中提供的条件列出所求双曲线中关于的不等关系，解不等式可得所求范围解题中要注意椭圆与双曲线中关系的不同22. 【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由题意，选项的焦点在轴，故排除，项的渐近线方程为，即，故选C.【考点定位】1.双曲线的渐近线.【名师点睛】双曲线确定焦点位置的技巧：前的系数是正，则焦点就在轴，反之，在轴；在双曲线的渐近线方程中容易混淆，只要根据双曲线的渐近线方程是，便可防止上述错误.23. 【2014湖北卷9】已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A. B. C.3 D.2【答案】A【解析】试题分析：设椭圆方程为，双曲线方程为（），半焦距为，由面积公式得，所以，令，为参数，所以.所以椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为，故选A.考点：椭圆、双曲线的定义与性质，利用三角换元法求最值，难度中等.【名师点睛】将椭圆、双曲线和解三角形等知识联系在一起，重点考查椭圆、双曲线的定义与性质，充分体现了函数思想在圆锥曲线的实际问题中的应用，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性、缜密性.24. 【2015高考湖北，理8】将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ） A对任意的， B当时，；当时，C对任意的， D当时，；当时，【答案】D【解析】依题意，因为，由于，所以当时，所以；当时，而，所以，所以.所以当时，；当时，.【考点定位】双曲线的性质，离心率.【名师点睛】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法分类讨论的时应做到：分类不重不漏；标准要统一，层次要分明；能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论25.【2015高考福建，理3】若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于（）A11 B9 C5 D3【答案】B【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B【考点定位】双曲线的标准方程和定义【名师点睛】本题考查了双曲线的定义和标准方程，利用双曲线的定义列方程求解，属于基础题，注意运算的准确性26. 【2014辽宁理10】已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）A B C D【答案】D考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.斜率公式. 【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系及斜率公式.涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往是通过联立直线方程、圆锥曲线方程得到方程组，研究根的判别式、根与系数的关系等，建立新的方程或方程组，寻求解题途径.本题是一道能力题，在较全面考查抛物线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.二、填空题1. 【2014高考北京理第11题】设双曲线经过点（2,2），且与具有相同渐近线，则的方程为 ；渐近线方程为 .【答案】；【解析】试题分析：因为双曲线的渐近线方程为，所以曲线的渐近线方程为，设曲线的方程为，将代入求得，故曲线的方程为.考点：双曲线的渐进线，共渐进线的双曲线方程的求法，容易题.【名师点睛】：本题考查求双曲线方程及双曲线的渐近线方程，本题属于基础题，近几年高考这类选填题为必考题，可以考查求圆锥曲线方程、曲线的几何性质，特别是求离心率为高频考题.本题为共渐近线问题，问题基础简单，设法模式固定，易于得分.2. 【2015高考北京，理10】已知双曲线的一条渐近线为，则【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，,则【考点定位】本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数.【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，重点考查双曲线的渐近线方程，本题属于基础题，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，求渐近线方程的简单方法就是把标准方程中的“1”改“0”，利用已知渐近线方程，求出参数的值.3. 【 2014湖南15】如图4，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过两点，则.【答案】【解析】由题可得,因为在抛物线上,所以,故填.【考点定位】抛物线【名师点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，解决问题的关键是根据抛物线与正方形的关系结合抛物线的几何性质得到关于a,b,p的方程联立结合抛物线的有关性质得到a,b的比值即可.4. 【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，是椭圆 的右焦点，直线 与椭圆交于两点，且,则该椭圆的离心率是 .【答案】【解析】由题意得，因此考点：椭圆离心率【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于的一个齐次等量关系，通过解方程得到离心率的值.5. 【2016高考天津理数】设抛物线，（t为参数，p0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且ACE的面积为，则p的值为_.【答案】考点：抛物线定义【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理2若P(x0，y0)为抛物线y22px(p0)上一点，由定义易得|PF|x0；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|x1x2p，x1x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到6. 【2016高考山东理数】已知双曲线E： （a0，b0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_.【答案】2【解析】试题分析：假设点A在第一象限，点B在第二象限，则，所以，由，得离心率或（舍去），所以E的离心率为2.考点：双曲线的几何性质【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等.7. 【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 .【答案】【解析】设，因为直线平行于渐近线，所以点到直线的距离恒大于直线与渐近线之间距离，因此c的最大值为直线与渐近线之间距离，为【考点定位】双曲线渐近线，恒成立转化【名师点晴】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：(1)与双曲线共渐近线的可设为；(2)若渐近线方程为，则可设为；(3) 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；(4) 的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.8【2015高考山东，理15】平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 .【答案】 【解析】设 所在的直线方程为 ,则 所在的直线方程为,解方程组 得： ，所以点 的坐标为 ,抛物线的焦点 的坐标为: .因为是 的垂心，所以 ,所以， .所以， .【考点定位】1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.【名师点睛】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质，意在考查学生对圆锥曲线基本问题的把握以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力，三角形的垂心的概念以及两直线垂直的条件是突破此题的关键.9. 【2016年高考北京理数】双曲线（，）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则_.【答案】2【解析】试题分析：是正方形，即直线方程为，此为双曲线的渐近线，因此，又由题意，故填：2考点：双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，时为椭圆，当时为双曲线.10. 【2015高考陕西，理14】若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则 【答案】【解析】抛物线（）的准线方程是，双曲线的一个焦点，因为抛物线（）的准线经过双曲线的一个焦点，所以，解得，所以答案应填：【考点定位】双曲线的几何性质和抛物线标准方程【名师点晴】本题主要考查的是抛物线的简单几何性质和双曲线的简单几何性质，属于容易题解题时要注意抛物线和双曲线的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是抛物线的准线方程和双曲线的焦点坐标，即抛物线（）的准线方程是，双曲线（，）的左焦点，右焦点，其中11. 【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .【答案】【考点定位】椭圆的几何性质；圆的标准方程【名师点睛】本题考查椭圆的性质及圆的标准方程，本题结合椭圆的图形可知圆过椭圆的上下顶点与左顶点（或右顶点），有圆的性质知，圆心在x轴上，设出圆心，算出半径，根据垂径定理列出关于圆心的方程，解出圆心坐标，即可写出圆的方程，细心观察圆与椭圆的特征是解题的关键.12. 【2016高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦距是_. 【答案】【解析】试题分析：故答案应填：，焦距为2c考点：双曲线性质【名师点睛】本题重点考查双曲线基本性质，而双曲线性质是与双曲线标准方程息息相关，明确双曲线标准方程中量所对应关系是解题关键：揭示焦点在x轴，实轴长为，虚轴长为，焦距为，渐近线方程为，离心率为13. 【2014年.浙江卷.理16】设直线与双曲线（）两条渐近线分别交于点，若点满足,则该双曲线的离心率是_答案：解析：有双曲线的方程可知，它的渐近线方程为，与，分别于，联立方程组，解得,由得，设的中点为，则，与已知直线垂直，故，解得，即，考点：双曲线的几何性质.【名师点睛】直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为0的判断对于中点弦问题常用“点差法” 解决有关渐近线与离心率关系问题的方法：(1)已知渐近线方程ymx，若焦点位置不明确要分|m|或|m|讨论(2)注意数形结合思想在处理渐近线夹角、离心率范围求法中的应用14. 【2015高考浙江，理9】双曲线的焦距是 ，渐近线方程是 【答案】，.【解析】由题意得：，焦距为，渐近线方程为.【考点定位】双曲线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其焦距，渐近线等相关概念，属于容易题，根据条件中的双曲线的标准方程可以求得，进而即可得到焦距与渐近线方程，在复习时，要弄清各个圆锥曲线方程中各参数的含义以及之间的关系，避免无谓失分.15. 【2014，安徽理14】设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若轴，则椭圆的方程为_【答案】【解析】考点：1椭圆的标准方程；2椭圆的性质【名师点睛】求圆锥曲线的标准方程，通常情况以求动点的轨迹方程的形式出现，其实质是求其上动点的横、纵坐标所满足的等量关系式.常用的方法有直译法、定义法、相关点法、参数法.本题解题核心是找出椭圆上一点的坐标关系，代入方程中，利用待定系数法求出系数，从而得出标准方程.16. 【2016高考浙江理数】若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_【答案】【解析】试题分析：考点：抛物线的定义【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到轴的距离7.【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决17. 【2014上海,理3】若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_.【答案】.【解析】椭圆的右焦点为，因此，准线方程为.【考点】椭圆与抛物线的几何性质.【名师点睛】1涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性2求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题18. 【2014辽宁理15】已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 .【答案】12【解析】试题分析：设M,N的中点坐标为P，,则；由于，化简可得，根据椭圆的定义=6，所以12.考点：1.椭圆的定义；2.两点距离公式. 【名师点睛】本题考查椭圆的定义、椭圆的几何性质、中点坐标公式及两点间距离公式等.本题中通过化简的坐标表达式，由椭圆的的定义得出结论.本题属于能力题，在重点考查椭圆的定义、椭圆的几何性质等基础知识的同时，考查考生的计算能力、分析问题解决问题的能力，考查转化与化归思想.19. 【2015湖南理13】设是双曲线：的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为 .【答案】.【解析】试题分析：根据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知点在双曲线上，.【考点定位】双曲线的标准方程及其性质.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用，焦点坐标，渐近线方程等性质，也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来.三、解答题1. 【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】（）（）（II）【解析】试题分析：根据可知轨迹为椭圆,利用椭圆定义求方程；（II）分斜率是否存在设出直线方程,当直线斜率存在时设其方程为,根据根与系数的关系和弦长公式把面积表示为x斜率k的函数,再求最值.（）当与轴不垂直时,设的方程为,.由得.则,.所以.过点且与垂直的直线：,到的距离为,所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时,其方程为,四边形的面积为12.综上,四边形面积的取值范围为.考点：圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.2. 【2014高考北京理第19题】（本小题满分14）已知椭圆：.（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.【答案】（1）；（2）直线与圆相切.【解析】试题分析：（1）把椭圆：化为标准方程，确定，利用求得离心率；（2）设点，其中，由，即，用、表示，当或分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，从而判断直线与圆的位置关系.试题解析：（1）由题意椭圆的标准方程为，所以，从而，所以.（2）直线与圆相切，证明如下：设点，其中，因为，所以，即，解得，当时，代入椭圆的方程得，此时直线与圆相切.当时，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，又，故.故此直线与圆相切.考点：椭圆的性质，直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题考查直线和椭圆的有关知识及判断直线与圆的位置关系，本题属于中档问题，先利用待定系数法求出椭圆方程，再利用求圆心到直线距离等于圆的半径，说明直线与圆相切，相对近几年高考解析几何题而言，本题难度不大，学生还是可以得到较满意的分数.3. 【2015高考北京，理19】已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点（）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由【答案】(1),(2)存在点【解析】（）由于椭圆：过点且离心率为，椭圆的方程为.,直线的方程为：，令，；（），直线的方程为：，直线PB与x轴交于点N，令，则.设, ,则，所以，（注：点在椭圆上，），则，存在点使得.考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题.【名师点睛】本题考查直线和椭圆的有关知识及解存在性命题的方法，本题属于中偏难问题，思维量和运算量均有，利用待定系数法求出椭圆方程，利用直线方程的斜截式写出直线方程，求出点M、N的坐标，利用直角三角形内锐角三角函数正切定义求出，根据二者相等，解出Q点坐标，说明存在点符合条件的点Q.4. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷).理科.20】 (本小题满分14分)已知椭圆的一个焦点为，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意知，且有，即，解得，因此椭圆的标准方程为；(2)设从点所引的直线的方程为，即，当从点所引的椭圆的两条切线的斜率都存在时，分别设为.，则，将直线的方程代入椭圆的方程并化简得，化简得，即，则.是关于的一元二次方程的两根，则，化简得；当从点所引的两条切线均与坐标轴垂直，则的坐标为，此时点也在圆上.综上所述，点的轨迹方程为.【考点定位】本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用，属于难题.【名师点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系和动点的轨迹方程，属于难题解题时一定要注意关键条件“两条切线相互垂直”，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质，即椭圆（）的左焦点，右焦点，其中，离心率5. 【2016高考山东理数】（本小题满分14分）平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上;（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点P的坐标.【答案】（）;（）（i）见解析；（ii）的最大值为，此时点的坐标为【解析】试题分析：（）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（）（i）由点P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立，进而判断点M在定直线上；（ii）分别列出，面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P的坐标.试题解析：（）由题意知，可得：.因为抛物线的焦点为，所以，所以椭圆C的方程为.（）（i）设，由可得，所以直线的斜率为，因此直线的方程为，即.设，联立方程得，由，得且，因此,将其代入得，因为，所以直线方程为.联立方程，得点的纵坐标为，即点在定直线上.（ii）由（i）知直线方程为，令得，所以，又，所以，所以，令，则，当，即时，取得最大值，此时，满足，所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.考点：1.椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法-如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.6. 【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为；求p的取值范围.【答案】（1）（2）详见解析，【解析】试题分析：（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程（2）利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证，利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：，解出p的取值范围.方程（*）的两根为，从而因为在直线上，所以因此，线段PQ的中点坐标为因为在直线上所以，即由知，于是，所以因此的取值范围为考点：直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围7. 【 2014湖南21】如图7,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知,且.(1)求的方程;(2)过点作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析:(1)利用椭圆和双曲线之间的关系可以用分别表示双曲线和椭圆的离心率和焦点,由题目和即可得到之间的两个方程,联立方程消元即可求出的值,得到双曲线和椭圆的标准方程.试题解析:(1)由题可得,且,因为,且,所以且且,所以椭圆方程为,双曲线的方程为.(2)由(1)可得,因为直线不垂直于轴,所以设直线的方程为,联立直线与椭圆方程可得,则,则,因为在直线上,所以,则直线的方程为,联立直线与双曲线可得,则,则,设点到直线的距离为,则到直线的距离也为,则,因为在直线的两端,所以,则 ,又因为在直线上,所以,则四边形面积,因为,所以当时,四边形面积的最小值为.【考点定位】弦长 双曲线 椭圆 最值【名师点睛】本题考查圆锥曲线方程的求法，是直线与圆锥曲线、圆锥曲线与圆锥曲线间的关系的综合题，考查了椭圆与双曲线的基本性质，关键是学生要有较强的运算能力，是压轴题8. 【2014江苏，理17】如图在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，顶点的坐标是，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接.（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；（2）若，求椭圆离心率的值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般要找到关系的两个等量关系，本题中椭圆过点，可把点的坐标代入标准方程，得到一个关于的方程，另外，这样两个等量关系找到了；（2）要求离心率，就是要列出关于的一个等式，题设条件是，即，要求，必须求得的坐标，由已知写出方程，与椭圆方程联立可解得点坐标，则，由此可得，代入可得关于的等式，再由可得的方程，可求得.试题解析：（1）由题意，又，解得椭圆方程为（2）直线方程为，与椭圆方程联立方程组，解得点坐标为，则点坐标为，又，由得，即，化简得【名师点晴】1求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程2求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2a2c2就可求得e(0e1)9. 【2014江苏，理18】如图：为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任一点的距离均不少于80，经测量，点位于点正北方向60处，点位于点正东方向170处，（为河岸），.（1）求新桥的长；（2）当多长时，圆形保护区的面积最大？【答案】（1）；（2）【解析】（2）设，即，由（1）直线的一般方程为，圆的半径为，由题意要求，由于，因此，所以当时，取得最大值，此时圆面积最大【考点定位】解析几何的应用，直线方程，直线交点坐标，两点间的距离，点到直线的距离，直线与圆的位置关系.【名师点晴】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解10. 【2015江苏高考，18】（本小题满分16分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3. （1）求椭圆的标准方程； （2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于 点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.【答案】（1）（2）或【解析】试题分析（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为，二是右焦点F到左准线l的距离为3，解方程组即得（2）因为直线AB过F，所以求直线AB的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据PC=2AB列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出AB两点坐标，利用两点间距离公式求出AB长，再根据中点坐标公式求出C点坐标，利用两直线交点求出P点坐标，再根据两点间距离公式求出PC长，利用PC=2AB解出直线AB斜率,写出直线AB方程.试题解析：（1）由题意，得且，解得，则，所以椭圆的标准方程为（2）当轴时，又，不合题意当与轴不垂直时，设直线的方程为，将的方程代入椭圆方程，得，则，的坐标为，且若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意从而，故直线的方程为，则点的坐标为，从而因为，所以，解得此时直线方程为或【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系【名师点晴】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单11.【2014山东.理21】（本小题满分14分）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.（）求的方程；（）若直线，且和有且只有一个公共点，（）证明直线过定点，并求出定点坐标；（）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（I）.（II）（）直线AE过定点.（）的面积的最小值为16.【解析】试题分析：（I）由抛物线的定义知，解得或（舍去）.得.抛物线C的方程为.（II）（）由（I）知，设，可得，即，直线AB的斜率为，根据直线和直线AB平行，可设直线的方程为，代入抛物线方程得，整理可得，直线AE恒过点.注意当时，直线AE的方程为，过点，得到结论：直线AE过定点.（）由（）知，直线AE过焦点，得到，设直线AE的方程为，根据点在直线AE上，得到，再设，直线AB的方程为，可得，代入抛物线方程得，可求得，应用点B到直线AE的距离为.从而得到三角形面积表达式，应用基本不等式得到其最小值.试题解析：（I）由题意知设，则FD的中点为，因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去）.由，解得.所以抛物线C的方程为.（II）（）由（I）知，设，因为，则，由得，故，故直线AB的斜率为，因为直线和直线AB平行，设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意，得.设，则，.当时，可得直线AE的方程为，由，整理可得，直线AE恒过点.当时，直线AE的方程为，过点，所以直线AE过定点.（）由（）知，直线AE过焦点，所以，设直线AE的方程为，因为点在直线AE上，故，设，直线AB的方程为，由于，可得，代入抛物线方程得，所以，可求得，所以点B到直线AE的距离为.则的面积，当且仅当即时等号成立.所以的面积的最小值为16.【名师点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质、直线与抛物线的位置关系、中三角形的面积、基本不等式等，本题的（I），根据已知条件，建立关于的方程；（II）通过假设相关点的坐标，利用函数方程思想及点的坐标关系，按照“设而不求”的原则，得出三角形面积表达式，应用基本不等式确定面积的最值，本题对考生复杂式子的变形能力及逻辑思维能力要求较高.本题易错点是变形出错.本题是一道能力题，属于难题.在考查抛物线的标准方程及其几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识的同时，考查考生的计算能力及转化与化归思想.12. 【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率.（）求椭圆的方程；（）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.【答案】（）（）试题解析：（1）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.（2）（）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.解得，或，由题意得，从而.由（）知，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.设，由方程组消去，解得.在中，即，化简得，即，解得或.所以，直线的斜率的取值范围为.考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关