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第二节第二节参数方程参数方程考纲传真(教师用书独具)1.了解参数方程,了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程(对应学生用书第 201 页)基础知识填充1曲线的参数方程(1)一般地,在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是某个变数t的函数xf(t),yg(t),并且对于t取的每一个允许值,由方程组所确定的点P(x,y)都在这条曲线上,那么方程组就叫作这条曲线的参数方程,联系x,y之间关系的变数t叫作参变数,简称参数相对于参数方程,我们直接用坐标(x,y)表示的曲线方程f(x,y)0 叫作曲线的普通方程(2)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地,可以通过消去参数,从参数方程得到普通方程2常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线yy0tan(xx0)xx0tcos,yy0tsin(t为参数)圆x2y2r2xrcos,yrsin(为参数)椭圆x2a2y2b21(ab0)xacos,ybsin(为参数)知识拓展在直线的参数方程中,参数t的系数的平方和为 1 时,t才有几何意义且几何意义为:|t|是直线上任一点M(x,y)到M0(x0,y0)的距离基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)参数方程xf(t),yg(t)中的x,y都是参数t的函数()(2)过M0(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程为xx0tcos,yy0tsin(t为参数)参数t的几何意义表示:直线l上以定点M0为起点,任一点M(x,y)为终点的有向线段M0M的数量()(3)方程x2cos,y12sin表示以点(0,1)为圆心,以 2 为半径的圆()(4)已知椭圆的参数方程x2cost,y4sint(t为参数), 点M在椭圆上, 对应参数t3,点O为原点,则直线OM的斜率为 3.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)曲线x1cos,y2sin(为参数)的对称中心()A在直线y2x上B在直线y2x上C在直线yx1 上D在直线yx1 上B B由x1cos,y2sin,得cosx1,siny2,所以(x1)2(y2)21.曲线是以(1,2)为圆心,1 为半径的圆,所以对称中心为(1,2),在直线y2x上3(教材改编)在平面直角坐标系中,曲线C:x222t,y122t(t为参数)的普通方程为_xy10由x222t,且y122t,消去t,得xy1,即xy10.4椭圆C的参数方程为x5cos,y3sin(为参数),过左焦点F1的直线l与C相交于A,B,则|AB|min_.185由x5cos,y3sin(为参数),消去参数得x225y291,当ABx轴时,|AB|有最小值所以|AB|min295185.5 (20 xx 江 苏 高 考 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中 , 已 知 直 线l的 参 数 方 程 为x8t,yt2(t为参数), 曲线C的参数方程为x2s2,y2 2s(s为参数) 设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值解直线l的普通方程为x2y80.因为点P在曲线C上,设P(2s2,2 2s),从而点P到直线l的距离d|2s24 2s8|12(2)22(s 2)245.当s 2时,dmin4 55.因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值4 55.(对应学生用书第 202 页)参数方程与普通方程的互化(1)求直线x2t,y1t(t为参数)与曲线x3cos,y3sin(为参数)的交点个数(2)在平面直角坐标系xOy中,若直线l:xt,yta(t为参数)过椭圆C:x3cos,y2sin(为参数)的右顶点,求常数a的值.【导学号:79140389】解(1)将x2t,y1t消去参数t得直线xy10;将x3cos,y3sin消去参数得圆x2y29.又圆心(0,0)到直线xy10 的距离d220,为参数)以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程cos3 32.(1)若曲线C与l只有一个公共点,求a的值;(2)A,B为曲线C上的两点,且AOB3,求OAB的面积最大值解(1)曲线C是以(a,0)为圆心,以a为半径的圆,直线l的直角坐标方程为x 3y30.由直线l与圆C只有一个公共点,则可得|a3|2a,解得a3(舍),a1.所以a1.(2)法一:曲线C的极坐标方程为2acos(a0),设A的极角为,B的极角为3,则SOAB12|OA|OB|sin334|2acos|2acos3| 3a2|coscos3|,coscos3 12cos232sincos12cos 21234sin 21212cos 232sin 21412cos23 14,所以当6时,12cos23 14取得最大值34.OAB的面积最大值为3 3a24.法二:因为曲线C是以(a,0)为圆心,以a为半径的圆,且AOB3,由正弦定理得|AB|sin32a,所以|AB| 3a.由余弦定理得|AB|23a2|OA|2|OB|2|OA|OB|OA|OB|,所以SOAB12|OA|OB|sin3123a2323 3a24,所以OAB的面积最大值为3 3a24.规律方法处理极坐标、参数方程综合问题的方法1涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.2数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用和的几何意义,直接求解,能达到化繁为简的解题目的.跟踪训练(20 xx太原模拟(二)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x2cos,ysin(其中为参数) 以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是(tancossin)1(是常数, 0, 且2),点A,B(A在x轴的下方)是曲线C1与C2的两个不同交点(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)求|AB|的最大值及此时点B的坐标.【导学号:79140390】解(1)x2cos,ysin,x24y21,由xcos,ysin得曲线C2的直角坐标方程为ytanx1.(2)由(1)得曲线C2的参数方程为xtcos,y1tsin(t是参数),设A(t1cos,1t1sin),B(t2cos,1t2sin),将C2:xtcos,y1tsin,代入x24y21,整理得t2(13sin2)8tsin0,t10,t28sin13sin2,|AB|t1t2|8|sin|13sin283|sin|1|sin|82 34 33(当且仅当 sin33取等号),当 sin33时,0,且2,cos63,B4 23,13 ,|AB|的最大值为4 33,此时点B的坐标为4 23,13 .
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