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知识点知识点1 1 比例线段及其性质比例线段及其性质1.1.比例线段：比例线段：对于四条线段对于四条线段a a，b b，c c，d d，如果其中两条线段的长度的比与另两条，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即线段的长度的比相等，即_，那么，这四条线段叫，那么，这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段作成比例线段，简称比例线段. .ac=b dad=ad=bcbccdc ddab3.3.平行线分线段成比例：平行线分线段成比例：（1 1）平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的）平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例对应线段成比例. .（2 2）推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对）推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例应线段成比例. .4.4.黄金分割：黄金分割：在线段在线段ABAB上，点上，点C C把线段把线段ABAB分成两条线段分成两条线段ACAC和和BC(ACBC),BC(ACBC),如果如果_，那么称线段，那么称线段ABAB被点被点C C黄金分割，点黄金分割，点C C叫作线段叫作线段ABAB的黄金分割点，的黄金分割点，ACAC与与ABAB的比叫作黄金比，黄金比为的比叫作黄金比，黄金比为_._.2AC =ABBC5-12知识点知识点2 2 相似三角形及其性质相似三角形及其性质1.1.相似三角形：相似三角形：对应角对应角_，对应边，对应边_的三角形叫作相似三角形，相似的三角形叫作相似三角形，相似三角形对应边的比叫作相似比三角形对应边的比叫作相似比. .2.2.相似三角形的性质：相似三角形的性质：（1 1）相似三角形对应）相似三角形对应_的比、对应的比、对应_的比都等于相似比的比都等于相似比. .（2 2）周长比等于）周长比等于_._.（3 3）面积比等于）面积比等于_._.相等相等成比例成比例边边高线高线相似比相似比相似比的平方相似比的平方3.3.相似三角形的判定：相似三角形的判定：(1)(1)两角对应两角对应_的两个三角形相似的两个三角形相似. .(2)(2)三边对应三边对应_的两个三角形相似的两个三角形相似. .(3)(3)两边对应两边对应_且夹角且夹角_的两个三角形相似的两个三角形相似. .相等相等成比例成比例成比例成比例相等相等知识点知识点3 3 相似多边形及其性质相似多边形及其性质1.1.相似多边形：相似多边形：各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫作相似多边形，各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫作相似多边形，相似多边形对应边的比叫作相似比相似多边形对应边的比叫作相似比. .2.2.相似多边形的性质：相似多边形的性质：(1)(1)对应角相等，对应边成比例对应角相等，对应边成比例. .(2)(2)周长比等于相似比周长比等于相似比. .(3)(3)面积比等于相似比的平方面积比等于相似比的平方. .知识点知识点4 4 位似图形及其性质位似图形及其性质1.1.位似图形：位似图形：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P P，PP所在的直线所在的直线都经过同一点都经过同一点O O，且有，且有OP=OP=kOPkOP（k0k0），那么这样的两个多边形），那么这样的两个多边形叫作位似多边形，点叫作位似多边形，点O O叫作位似中心，叫作位似中心，k k就是这两个位似多边形的相就是这两个位似多边形的相似比似比. .2.2.位似图形的性质：位似图形的性质：(1)(1)位似图形上任意一对对应点到位似图形上任意一对对应点到_的距离之比等于的距离之比等于相似比相似比. .(2)(2)对应线段的比等于相似比对应线段的比等于相似比. .(3)(3)周长比等于周长比等于_._.(4)(4)面积比等于面积比等于_._.位似中心位似中心相似比相似比相似比的平方相似比的平方【名师指点名师指点】本考点主要考查根据比例线段的定义及性质，本考点主要考查根据比例线段的定义及性质，考查方式主要有以下几方面：判断所给线段是否成比例；给考查方式主要有以下几方面：判断所给线段是否成比例；给出线段成比例的条件，求比值；给出线段的比值，求代数式出线段成比例的条件，求比值；给出线段的比值，求代数式的值；求黄金分割线段长度等的值；求黄金分割线段长度等. .解答这类问题要灵活运用比例解答这类问题要灵活运用比例线段的性质线段的性质. .考点考点1 1 比例线段及比例的性质比例线段及比例的性质1.1.（20152015四川成都）如图，在四川成都）如图，在ABCABC中，中，DEBCDEBC，AD=6AD=6，BD=3BD=3，AE=4AE=4，则，则ECEC的长为的长为( )( )A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C.3 D.42.2.（20152015黑龙江哈尔滨）如图，四边形黑龙江哈尔滨）如图，四边形ABCDABCD是平行四边是平行四边形，点形，点E E在在BABA的延长线上，点的延长线上，点F F在在BCBC的延长线上，连接的延长线上，连接EFEF，分别交分别交ADAD，CDCD于点于点G,HG,H，则下列结论错误的是，则下列结论错误的是( )( )EAEGEGAGA.B.BEEFGHGDABBCFHCFC.D.AECFEHAD3.(20143.(2014市中一模市中一模) )如图，在如图，在ABCABC中，中，D D是是ABAB边上一边上一点，连接点，连接CD.CD.要使要使ADCADC与与ABCABC相似，应添加的条件是相似，应添加的条件是_.(_.(只需写出一个条件即可只需写出一个条件即可) )ADC=ACB(ADC=ACB(答案不唯一答案不唯一) )4.4.若点若点C C是线段是线段ABAB的黄金分割点，且的黄金分割点，且ACBC,ACBC,若若AB=4AB=4，则则AC=_.AC=_.25-1 【名师指点名师指点】本考点主要考查有关相似三角形的相似比的本考点主要考查有关相似三角形的相似比的运算及相似三角形的判定运算及相似三角形的判定. .判定相似三角形时，要注意哪些判定相似三角形时，要注意哪些边是对应边，哪些角是对应角，然后利用定义证明；解答边是对应边，哪些角是对应角，然后利用定义证明；解答有关相似比的计算时，要熟记相似三角形的性质：周长比有关相似比的计算时，要熟记相似三角形的性质：周长比、对应线段（边、高、中线）比等于相似比，面积比等于、对应线段（边、高、中线）比等于相似比，面积比等于相似比的平方相似比的平方. .考点考点2 2 相似三角形的性质与判定相似三角形的性质与判定 （20152015江苏南京）如图，江苏南京）如图，ABCABC中，中，CDCD是边是边ABAB上的上的高，且高，且CDCD2 2=ADDB=ADDB，求证：，求证：(1)(1)ACDACDCBDCBD；(2)(2)求求ACBACB的大小的大小. . 【分析分析】（1 1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明相似，即可证明ACD ACD CBDCBD；（2 2）由（）由（1 1）知）知ACDACDCBDCBD，然后根据相似三角形的对应，然后根据相似三角形的对应角相等可得角相等可得A=BCDA=BCD，然后由，然后由A+ACD=90A+ACD=90，可得，可得BCD+ACD=90BCD+ACD=90，即，即ACB=90ACB=90. .【解答解答】（1 1）CDCD是边是边ABAB上的高，上的高，ADC=CDB=90ADC=CDB=90. .ACDACDCBD.CBD.（2 2）ACDACDCBDCBD，A=BCD.A=BCD.在在ACDACD中，中，ADC=90ADC=90，A+ACD=90A+ACD=90，BCD+ACD=90BCD+ACD=90，即即ACB=90ACB=90. .ADCD,CDBD【易错点津易错点津】此类问题容易出错的地方是找不出相似关系，找不出已此类问题容易出错的地方是找不出相似关系，找不出已知量与未知量之间的关系知量与未知量之间的关系. .3.3.（20152015广东佛山）如图，在广东佛山）如图，在ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC，BDBD相交于点相交于点O O，点，点E E，F F是是ADAD上的点，且上的点，且AE=EF=FDAE=EF=FD，连接，连接BEBE，BFBF，使它们与，使它们与AOAO相交于点相交于点G G，H.H.（1 1）求）求EGBGEGBG的值；的值；（2 2）求证：）求证：AG=OGAG=OG；（3 3）设）设AG=aAG=a，GH=bGH=b，HO=cHO=c，求求abcabc的值的值. .解：（解：（1 1）四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，ADBC,ADBC,AEGAEGCBGCBG，AE=EF=FDAE=EF=FD，AD=BCAD=BC，AEBC=13AEBC=13，EGBG=13.EGBG=13.EG AE=.BG BC（2 2）AEGAEGCBGCBG， ，即，即AG= AC.AG= AC.AO=COAO=CO，AG=OG.AG=OG.AGAE1CGBC314（3 3）ADBC,ADBC,AFHAFHCBHCBH，AE=EF=FDAE=EF=FD，AD=BCAD=BC，AFBC=23AFBC=23，AHHC=23AHHC=23，即，即AH= AC.AH= AC.AHAF.HCBC25AG= ACAG= AC，GH= AC- AC= GH= AC- AC= ACAC. .HO= AC- AC= HO= AC- AC= ACAC，AGGHHO= =532AGGHHO= =532，即即abcabc=532.=532.142514320122511014320110【名师指点名师指点】相似多边形是在相似三角形的基础上的推广，具有一相似多边形是在相似三角形的基础上的推广，具有一般相似三角形的性质，本考点主要考查相似多边形的性质，解答这般相似三角形的性质，本考点主要考查相似多边形的性质，解答这类问题，首先要熟记相似三角形的性质，然后直接类比到相似多边类问题，首先要熟记相似三角形的性质，然后直接类比到相似多边形即可形即可. .位似图形是一种特殊的相似图形，具有一般相似图形的性质，还具位似图形是一种特殊的相似图形，具有一般相似图形的性质，还具有位似中心这一特殊性质，考查方式主要有位似图形的一般性质、有位似中心这一特殊性质，考查方式主要有位似图形的一般性质、画图及确定位似中心或对应点等画图及确定位似中心或对应点等. .这类问题一般较简单，熟记位似图这类问题一般较简单，熟记位似图形是相似图形及对应点的连线都经过位似中心即可形是相似图形及对应点的连线都经过位似中心即可. .考点考点3 3 相似多边形与位似图形相似多边形与位似图形 （20152015湖北武汉）湖北武汉） 如图，在直角坐标系中，有如图，在直角坐标系中，有两点两点A(6A(6，3)3)，B B（6 6，0 0）, ,以原点以原点O O为位似中心，相似比为为位似中心，相似比为 在第一象限内把线段在第一象限内把线段ABAB缩小后得到缩小后得到CDCD，则，则C C的坐标为的坐标为( )( )A.(2A.(2，1)1)B.(2B.(2，0)0)C.(3C.(3，3)3)D.(3D.(3，1) 1) 13，【解答解答】根据题意可知，根据题意可知，A(6A(6，3)3)，原点，原点O O为位似中心且在为位似中心且在第一象限内将线段第一象限内将线段ABAB缩小为原来的缩小为原来的 后得到线段后得到线段CDCD，所以，所以C(2C(2，1).1).【答案答案】A A【易错点津易错点津】此类问题容易出错的地方是将端点此类问题容易出错的地方是将端点C C的坐标看的坐标看成是成是D D的坐标而得到错误答案的坐标而得到错误答案. .132.2.（20152015湖北咸宁）如图，以点湖北咸宁）如图，以点O O为位似中心，将为位似中心，将ABCABC放大得到放大得到DEFDEF，若，若AD=OA,AD=OA,则则ABCABC与与DEFDEF的面的面积之比为积之比为( )( )A.12A.12B.14B.14C.15C.15D.16D.16(-1,0)(-1,0)或（或（5 5，-2-2）【名师指点名师指点】本考点考查利用相似三角形解决实际问题，本考点考查利用相似三角形解决实际问题，综合性较强，有一定的难度综合性较强，有一定的难度. .主要考查方式有测量物体高主要考查方式有测量物体高度、河的宽度、视野盲区等度、河的宽度、视野盲区等. .解决这类问题，要能够根据解决这类问题，要能够根据实际问题的条件转化成相似三角形的数学模型，然后根据实际问题的条件转化成相似三角形的数学模型，然后根据相似三角形的性质解答问题相似三角形的性质解答问题. .考点考点4 4 相似三角形的应用相似三角形的应用 （20152015菏泽）如图菏泽）如图,M,M，N N为山两侧的为山两侧的两个村庄两个村庄, ,为了两村交通方便为了两村交通方便, ,根据国家的惠根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞民政策，政府决定打一直线涵洞. .工程人员工程人员为了计算工程量为了计算工程量, ,必须计算必须计算M M，N N两点之间的两点之间的直线距离直线距离, ,选择测量点选择测量点A A，B B，C,C,点点B B，C C分别分别在在AMAM，ANAN上，现测得上，现测得AM=1AM=1千米，千米，AN=1.8AN=1.8千米千米,AB=54,AB=54米米, ,BC=45BC=45米米,AC=30,AC=30米米, ,求求M M，N N两点之间的直线距离两点之间的直线距离. .【分析分析】连接连接MNMN，根据题意可以得到，根据题意可以得到BACBACNAMNAM，然后利用相似，然后利用相似三角形的性质解决问题三角形的性质解决问题. .【解答解答】连接连接MNMN，BAC=NAMBAC=NAM，BAC BAC NAM,NAM,MN=1 500. MN=1 500. 答：答：M M，N N两点之间的直线距离为两点之间的直线距离为1 5001 500米米. .AC303AB543,AM 1 000100 AN1 800100ACAB.AMANBC3453,MN100MN100，1.(20151.(2015市中二模市中二模) )如图，小明在打网球时，使球恰好能如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网打过网，而且落在离网4 m4 m的位置上，则球拍击球的高度的位置上，则球拍击球的高度h h为为_m._m.1.51.52.(20152.(2015甘肃天水甘肃天水) )如图是一位同学设计的用手电筒来测如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图量某古城墙高度的示意图. .点点P P处放一水平的平面镜，光线处放一水平的平面镜，光线从点从点A A出发经平面镜反射后刚好到古城墙出发经平面镜反射后刚好到古城墙CDCD的顶端的顶端C C处，已处，已知知ABBDABBD，CDBDCDBD，测得，测得AB=2AB=2米，米，BP=3BP=3米，米，PD=12PD=12米，那么米，那么该古城墙的高度该古城墙的高度CDCD是是_米米. .8 83.3.（20152015陕西）晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小陕西）晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：聪问小军：“你有多高？你有多高？”小军一时语塞，小聪思考片刻，小军一时语塞，小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高. .于于是，两人在灯下沿着直线是，两人在灯下沿着直线NQNQ移动，当小聪正好站在广场的移动，当小聪正好站在广场的A A点（距点（距N N点点5 5块地砖长）时，其影长块地砖长）时，其影长ADAD恰好为恰好为1 1块地砖长；当块地砖长；当小军正好站在小军正好站在B B点（距点（距N N点点9 9块地砖长）时，其影长块地砖长）时，其影长BFBF恰好为恰好为2 2块地砖长块地砖长. .已知广场地面由边长为已知广场地面由边长为0.80.8米的正方形地砖铺米的正方形地砖铺成，小聪的身高成，小聪的身高ACAC为为1.61.6米，米，MNNQMNNQ，ACNQACNQ，BENQ.BENQ.请请你根据以上信息，求出小军身高你根据以上信息，求出小军身高BEBE的长的长. .（结果精确到（结果精确到0.010.01米）米）解：解：MNNQMNNQ，ACNQACNQ，CADCADMNDMND，又又AD=0.8AD=0.8，DN=4.8DN=4.8，AC=1.6AC=1.6，MN= =9.6.MN= =9.6.CAAD.MNNDCA NDAD同理可知同理可知EBFEBFMNFMNF，EB= 1.75EB= 1.75米米. .答：小军的身高为答：小军的身高为1.751.75米米. .EBBFMNNF，BFMNNF
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