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全称量词与存在量词全称量词与存在量词思考：什么是量词？ 一 纸； 一 牛； 一 狗； 一 马； 一 人家； 一 小船 表示人、事物或动作的单位的词称为量词 下列命题中含有哪些量词？ （1）对所有的实数x，都有x20； （2）存在实数x，满足x20； （3）至少有一个实数x，使得x220成立； （4）存在有理数x，使得x220成立； （5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s = n n； （6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有 s = n n；1.4.1 全称量词全称量词全称量词全称量词 下列语句是命题吗下列语句是命题吗?(1)?(1)与与(3),(2)(3),(2)与与(4)(4)之间有什么关系之间有什么关系? ?(1)x3(1)x3(2)2x+1(2)2x+1是整数是整数(3)(3)对所有的对所有的x R,xx R,x33(4)(4)对任意一个对任意一个x Z,2x+1x Z,2x+1是整数是整数是是是是不是不是不是不是 (3)在在(1)的基础上的基础上,用量词用量词“所有的所有的”对变对变量量 x进行限定进行限定; 关系关系:(3)(4)全称命题全称命题(4)在在(2)的基础上的基础上,用短语用短语”对任意一个对任意一个”对对 变量变量x进行限定进行限定.一一. .全称命题全称命题1. 全称量词及表示全称量词及表示:短语短语“对所有的对所有的”、“对任意一个对任意一个”、“对一切对一切”、“对每一个对每一个”、“任给任给”、“所有的所有的”在逻辑中通常叫在逻辑中通常叫全称量词全称量词。定义：定义：表示：表示：用符号用符号“ ”表示表示2. 全称命题及表示全称命题及表示:定义：定义： 含有含有全称量词全称量词的命题，叫的命题，叫全称命题全称命题。表示：表示： 全称命题全称命题“对对M M中任意一个中任意一个x x，有含变量，有含变量x x的语句的语句p(xp(x）成立）成立”表示为表示为: :p p( (x x) )M M, ,x x读作读作: :“对任意对任意x x属于，有属于，有p(xp(x) )成立成立”。下列命题中哪些是全称命题？ （1）对所有的实数x，都有x20； （2）存在实数x，满足x20； （3）至少有一个实数x，使得x220成立； （4）存在有理数x，使得x220成立； （5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s = n n； （6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有 s = n n；(2)(2)所有的正方形都是矩形所有的正方形都是矩形都是全称命题。都是全称命题。例如例如: :命题命题(1)(1)对任意的对任意的n Z,2n+1n Z,2n+1是奇数是奇数; ;(1)(1)实数都能写成小数形式实数都能写成小数形式; ;(2)(2)凸多边形的外角和等于凸多边形的外角和等于2 2 例例1.1.用量词用量词“ ”“ ”表达下列命题表达下列命题: :（3 3）任一个实数乘以）任一个实数乘以-1-1都等于它的相反数都等于它的相反数x R,xx R,x能写成小数形式能写成小数形式x x x|xx|x是凸是凸n n边形边形,x,x的外角和等于的外角和等于2 2x R,xx R,x(-1)= -x(-1)= -x(4)(4)对任意实数对任意实数x,x,都有都有x x3 3xx2 2x R,xx R,x3 3xx2 2(5)(5)对任意角对任意角 , ,都有都有sinsin2 2 +cos+cos2 2 =1=1 角角,sinsin2 2 +cos+cos2 2 =1=1例例2.2.设集合设集合S=S=四边形四边形,P(x,P(x):):内角和为内角和为3603600 0 . .试用不同表述写出全称命题试用不同表述写出全称命题“ ”“ ”X S,P(xX S,P(x) )解解: :对所有的四边形对所有的四边形x,xx,x的内角和为的内角和为360360o o对一切四边形对一切四边形x,xx,x的内角和为的内角和为360360o o每一个四边形每一个四边形x x的内角和为的内角和为360360o o任一个四边形任一个四边形x x的内角和为的内角和为360360o o凡是四边形凡是四边形x,x,它的内角和为它的内角和为360360o o例例3.3.判断下列全称命题的真假判断下列全称命题的真假(1) (1) 所有的素数是奇数所有的素数是奇数; ;(2)(2) x R, x x R, x2 2+11+11(3) (3) 对每一个无理数对每一个无理数x,xx,x2 2也是无理数也是无理数解解:(1)2(1)2是素数是素数, ,但不是奇数但不是奇数. . 全称命题全称命题(1)(1)是是假命题假命题(2) x R,x(2) x R,x2 20,0,从而从而x x2 2+11+11全称命题全称命题(2)(2)是是真命题真命题2(3) (3) 是无理数是无理数, ,但但( )( )2 2=2=2是有理数是有理数2 全称命题全称命题(3)(3)是是假命题假命题如何判断全称命题的真假如何判断全称命题的真假方法方法: 若判定一个全称命题是若判定一个全称命题是真命题真命题, ,必须对必须对限定集合限定集合M M中的中的每个元素每个元素x x验证验证P(xP(x) )成立成立; ; 若判定一个全称命题是若判定一个全称命题是假命题假命题, ,只要能只要能举出集合举出集合M M中的中的一个一个x=xx=x0 0 , ,使得使得P(xP(x) )不成立不成立即可。即可。课本 23页 练习 1 1.4.2 存存 在在 量量 词词存在量词存在量词 下列语句是命题吗下列语句是命题吗?(1)与与(3),(2)与与(4)之间有什么关系之间有什么关系?(1)2x+1=3(2)x能被能被2和和3整除整除;(3)存在一个存在一个xR,使使2x+1=3;(4)至少有一个至少有一个xZ,x能被能被2和和3整除整除. (3) (3)在在(1)(1)的基础上的基础上, ,用短语用短语“存在一存在一个个”对变量对变量x x的取值进行限定的取值进行限定, ,使使(3)(3)变成变成了可以判断真假的语句了可以判断真假的语句; ;不是不是不是不是是是是是 (4) (4)在在(2)(2)的基础上的基础上, ,用用“至少有一个至少有一个”对变量对变量x x的取值进行限定的取值进行限定, ,从而使从而使(4)(4)变成了变成了可以判断真假的语句可以判断真假的语句. .关系关系:(3)(4)特称命题特称命题 短语短语“存在一个存在一个”、“至少有一个至少有一个”、“有些有些”、“有一个有一个”、“对某个对某个”、“有的有的”在逻辑中通常叫做在逻辑中通常叫做存在量词存在量词。特称命题特称命题“存在存在M M中的一个中的一个x,x,使使p(xp(x) )成立成立”可用符号简记为可用符号简记为xM,p(xxM,p(x).).一一. .特称命题特称命题1. 1. 存在量词及表示存在量词及表示: :定义定义: :用符号用符号“”表示表示,含有含有存在量词存在量词的命题的命题,叫做叫做特称命题特称命题.表示：表示：2.2.特称命题及表示：特称命题及表示：定义定义: :表示：表示：读作读作:“:“存在一个存在一个x x属于属于M,M,使使p(xp(x) )成立成立”. .下列命题中哪些是特称命题？ （1）对所有的实数x，都有x20； （2）存在实数x，满足x20； （3）至少有一个实数x，使得x220成立； （4）存在有理数x，使得x220成立； （5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s = n n； （6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有 s = n n；例如例如:命题（命题（1）有的平行四边形是菱形）有的平行四边形是菱形; （2）有一个素数不是奇数）有一个素数不是奇数 都是特称命题都是特称命题.例例4 4 设设q(x):xq(x):x2 2=x,=x,使用不同的表达方法写使用不同的表达方法写出特称命题出特称命题“xR,q(xxR,q(x)”)”解解: 存在存在实数实数x,x,使使x x2 2=x=x成立成立至少有一个至少有一个x xRR, ,使使x x2 2=x=x成立成立对有些对有些实数实数x,x,使使x x2 2=x=x成立成立有一个有一个x xRR, ,使使x x2 2=x=x成立成立对某个对某个x xRR, ,使使x x2 2=x=x成立成立例例5 5 下列语句是不是全称或特称命题下列语句是不是全称或特称命题(1) 有一个有一个实数实数a,a不能取对数不能取对数(2) 所有所有不等式的解集不等式的解集A,都是都是AR(3) 三角函数都是周期函数吗三角函数都是周期函数吗?(4) 有的有的向量方向不定向量方向不定特称命题特称命题全称命题全称命题不是命题不是命题特称命题特称命题例例6 判断下列特称命题的真假判断下列特称命题的真假:(1)有一个实数有一个实数x,使使x2+2x+3=0;(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线存在两个相交平面垂直于同一条直线;(3)有些整数只有两个正因数有些整数只有两个正因数.(1)(1)由于由于x xR,xR,x2 2+2x+3=(x+1)+2x+3=(x+1)2 2+2+22,2,因此使因此使x x2 2+2x+3=0+2x+3=0的实数的实数x x不存在不存在. .解解: :(2)(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的互相平行的, ,因此不存在两个相交的平面因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线垂直于同一条直线. .所以所以, ,特称命题特称命题(1)(1)是是假命题假命题. .所以所以, ,特称命题特称命题(2)(2)是是假命题假命题. .例例3 判断下列特称命题的真假判断下列特称命题的真假:(1)有一个实数有一个实数x,使使x2+2x+3=0;(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线存在两个相交平面垂直于同一条直线;(3)有些整数只有两个正因数有些整数只有两个正因数.(3)(3)由于存在整数由于存在整数3 3只有两个正因数只有两个正因数1 1和和3,3,所以特称命题所以特称命题(3)(3)是是真命题真命题. . 要判断特称命题要判断特称命题“xM,p(x)”是是真真命题命题，只需在集合，只需在集合M中找到中找到一个元素一个元素x0，使使p(x0)成立成立即可即可.如何判断特称命题的真假如何判断特称命题的真假方法方法: 如果在集合如果在集合M中中,使使p(x)成立成立的元素的元素x不存在不存在,那么这个特称命题是那么这个特称命题是假命题假命题.课本 23页 练习 2 自我检测：自我检测：下列说法正确吗？下列说法正确吗？对对 反之则不反之则不成立成立),(,)(,xpMxxpMx正确正确
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