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21.41 A.B.C.171571616D 08yxMM若抛物线上的一点到其焦点的距离为 ，则点的纵坐标是B22222.1 A333366. B.CD6.6AOBOABxOAByxyxyxyx 边长为 的等边三角形， 为原点，轴，以 为顶点且过 、 的抛物线方程是C21 cos30111 sin30()22202.C323236.ABxDODADAypx pAp 设轴于点 ，则，所以， 由题意可设抛物线的方程为将点 的坐标代入即可得结合图形的对称析性知解：选2223.21 A2 B 2C4 D 462xypxpy若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则 的值为 222 12,62022.,40ypxpxy因为椭圆的右焦点为，所以抛物线的焦点为，解析：则D24.4380yxxy 抛物线上的点到直线的距离的最小值是43222()4380.|438|52343.yxmmxydmmdm 设抛物线上一点为，该点到直线的距离为故当时， 取得最小值， 为解析：25.3,48AFyxMMAMFM 已知点， 是抛物线的焦点,是抛物线上的动点,当最小时,点的坐标是（2，4）MFMMKMAMKM把转化为点到准线的距离,然后求的最小值解析及点：的坐标求抛物线的标准方程 3,2求定点在原点，对称轴为坐标轴，且过点的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准例题1:线方程22222202919.383,2423942343922.ypxxpy pppppyxxyyx 设所求的抛物线方程为或因为抛物线过点，所以或，解得或所以所求抛物线的方程为或,对应的准线方程，分别是解析： . pp求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数从实际分析,一般需确定 和开口方向两个条件,有时需要相应反思小结：的讨论 2211691442(24)3(3)5.xyPyM m根据下列条件求抛物线的标准方程抛物线的焦点是双曲线的左顶点；过点，且对称轴为坐标轴；抛物线的焦点在 轴上，抛物线上一点，到焦点的距拓习：离为展练 22221112 .916( 3 0)2(0)362.ypx ppxypyx 解双曲线的方程化为，其左顶点为，由题意设抛物线的方程为 ，则，所以所以所求抛物线的标准方程为析： 2222222(24)81.32(0)(3)| 3| 5416()82.2PymxxnyPmnxpy pM myppyxpxpxy 由于点，在第四象限且抛物线的对称轴为坐标轴，故可设抛物线的方程为或，代入 点的坐标可得或所以所求抛物线的标准方程为由题意知，抛物线的开口向下，设其方程为 又点，到焦点的距离等于它到准线的距离，为，所以或舍去 所以所求抛物线的标准方程为或8 . y抛物线的几何性质2202/.ypx pFFABCBC xACO设抛物线的焦点为 ,经过点的直线交抛物线于 、 两点,点 在抛物线的准线上，且轴证明：直线经例过原点题 ：22222221220./()2.22ABAABBAAOCOABppyABxmyypxypmypy ypypBC xCxCykkpyyppyACOx 设直线的方程为，将其代入，得由韦达定理，得，即因为轴，且解析：点 在准线上，所以，则故直线经过方原点法 ：| | |/.| |.| |2lxEAADlDAD EF BCACEFNAFADBFBCENNFNEFENCNBFNFAFADACABBCANBADBFAOACOFBCABAB如图，记准线 与 轴的交点为 ，过 作，垂足为 ，则连接交于点 ，则，因为，所以，即 是的中点，从而点 与方点 重合故直线经过原点法 ：2.2ABOCOAyypACOOACkk 本题的 几何味 特别浓,这就为本题注入了活力.在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到这个重要结论.还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目 本例需证直线经过原点 ，即证 、 、 三点共线为此只需证此外，本题也可由抛物线的几何性质，运用平面几何知识去解决，反小结：如方法思“”，这使得本题的 几何味特别浓23AByxABMMyM若定长为 的线段的两个端点在抛物线上运动，记线段的中点为，求点到 轴的最短距离，并求此时拓展练：点习的坐标.111|1252()|2223|443152|2424ABMACBDMNCDNFMNACBDAFBFABABFM NMyMpMM 如图，过 ， 及分别引准线的垂线、，垂足分别为 、 、根据梯形中位线的性质及定义,若为焦点,则有,当且仅当过焦点 时取等号.又此时，故点与 轴的最短距离为解，,且析：抛物线的综合应用 241(04)20,3FGxyPGABGFA FBAFBFGCDABCD 设 是抛物线 ：的焦点过点，作抛物线 的切线，求切线方程；设 、 为抛物线上异于原点的两点，且满足，延长、分别交抛物线于 、两例题点求四边形面：积的最小值 2222002020000014.4160.166402.().4442242241224.ykxxkyykxxyxxxxkkQ xyQyxxyxxxxxx 由题意可知，切线的斜率存在，故可设切线的方程为由，得因为直线与抛物线相切，故，所以故所求切线的方程为设切点，由方法 ：方法，知抛物线在 点处的切线的斜率为故所求切线的方程为解，即：析： 200112222021212414(04)4164.2()()0.0,11.44420.4.PxxA xyC xyACkkACFACykxACyxxykxxyxxxkxykxx因为点，在切线上，所以，则，故所以所求切线的方程为设，由题意知，直线的斜率 存在，由对称性，不妨设因直线过焦点，所以直线的方程为点 ， 的坐标满足方程组，消去 得由根与系数的关系知.4 2212122221212222222224 11.41 () .18(141132.14 18 112)32.21ABCDACkACBDBDBABCDxxyykxxx xkkkkkkkkDyxBDSAC BDkk 四边形所以因为，所以直线的斜率所以，四为，从而边形直线的方程为同的理可求得所以当时，等号成立.面积的最小值为ACk本例的关键是确立以直线的斜率 为参数表示四边形的面积,然后水到渠成地运用韦达定理表示边长来反思小结：求面积 2011221212 (11)()()()1230,0PPTyxM xyN xyxxxxPEMNEOEACBDABCD在平面直角坐标系中，已知点， ，过点作抛物线 ：的切线，其切点分别为，、，其中求 与 的值；若以点 为圆心的圆 与直线相切，求圆 的面积；过原点作圆 的两条互相垂直的弦，求四边形面积的拓展练习：最大值 22111201111222112 12 .(11)2210121212111212.12.xxxyxyxPMTPxxxxxxxxxx 由，可得因为直线与曲线相切，且过点， ，所以，即，所以或，同理解析可得或因为：，所以， 22121212122112121211211221212112|2 1 12121210.|44 1516.5ESrxxx xMNkxxMNyyxxxxyyyxxxxxxyxxxx xxyPMNxxErx 由知，则直线的斜率，所以直线的方程为又，所以，即因为点 到直线的距离即为圆 的半径，即故圆 的面积为， 112212222222122222122221213.2221 01 02122.rdrdABCDSAC BDEACdEEBDdEACBDEEOEddOESAC BrDrdd 四边形的面积为不妨设圆心 到直线的距离为 ，垂足为 ；圆心 到直线的距离为 ，垂足为；则，由于四边形为矩形，且，所以222222212222212122()()2()522522ababSrddddABCDrdrd由基本不等式，可得，当且仅当时等号成立所以四边形的面积的最大值为12.抓住抛物线的定义与几何性质，结合问题熟练运用坐标法、待定系数法、方程思想、数形结合思想等数学思想和方法，分析清楚题中所给几何图形的性质，选择适当的方法简捷求解.有关抛物线的焦半径、焦点弦的问题,常转化为点到准线的距离有关直线与抛物线的位置关系问题，常用方程组思想、消元法，结合根与系数关系求解232.ypxCDABFMNABCDANBNDFCFNFAB理解几个结论：如图，抛物线，准线为，为过焦点 的弦，、 为、的中点，则，12.9| | |1|(|)2| |/0 .AFACBFBDMNACBDAFACACFAFCAC FKACFMNABNABANBNCFKAFCBFDKFDCFDNDNFBDBFBNBDNBFNNFBFRtCNANFKB 由在以为直径的圆上同理，故所以，而，为公共边，得，可知又由和射影定理，得|.|FAFBF242_(2010_.)1.yxFABAFBF已知过抛物线的焦点 的直线交抛物线于 、 两点，则重庆卷00000()121.12.22A xyAFxxxpABxBFAF 设，由抛物线的定义可知，所以所以直线的解析方程为，所以：答案： 221111200(202102122.)mCypx pmFlxmymClCABABCABAAFBB FGHmCxGH已知 是非零实数，抛物线 ：的焦点 在直线 ：上若，求抛物线 的方程；设直线 与抛物线 交于 ， 两点，过 ， 分别作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ， ，的重心分别为 ，求证：对任意非零实数 ，抛物线 的准线与 轴的浙江交点在以线段为卷直径的圆外 22221122222234643412122 1(0).24.22.()(),20.0440822.22.FlpmmpCCFlpmCym xA xyB xyxym yymmmmpmxmyym xyymymxy 因为焦点，在直线 上，得又，故所以抛物线 的方程为因为抛物线 的焦点 在直线 上，所以，所以抛物线 的方程为设，由消去 ，得由于，故，且有解，析：1122242121231241211122222243223333=,6636222,632,363,()()()41.1149xyxyxxm yymmmyymmMMAABBM GGF M HHFGHGHMRGHRGHmmmmm 设，分别为线段，的中点由于2可知，所以所以的中点为设 是以线段为直径的圆的半径，则2222242344242224222(0)()()841422236319193.1914xNMNmmmmmmmmmmmNmmmGHmR设抛物线的故点 在以线段准线与 轴的交点为为直径，则的圆外抛物线的定义、标准方程、图形及几何性质等是每年高考必考的内容，通常和直线、函数与方程等结合起来可以出现在选择题、填空题中，也可以出现在解答题中难度从易到难均有，主观题常常考查运算能力、思维能力、综合分析问题选题感悟：的能力
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