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在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一你凭什么度数最大，我也要和你一样大！样大！”“”“不行啊！不行啊！”老大说：老大说：“这是不可能的，否则，我这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了们这个家就再也围不起来了”“”“为什么？为什么？” 老二很纳老二很纳闷。闷。 同学们，你们知道其中的道理吗？同学们，你们知道其中的道理吗？内角三兄弟之争内角三兄弟之争想一想想一想三角形的三个内角和是多少三角形的三个内角和是多少?有什么办法可以验证呢有什么办法可以验证呢?三角形的三个内角和等于三角形的三个内角和等于180180 结论对任意三角形都成立吗？结论对任意三角形都成立吗？ 证法证法1：延长延长BCBC到到CDCD，在，在ABCABC的外部，的外部， 以以CACA为一边为一边，CECE为另一边作为另一边作1=A1=A， 1=A1=A CEBA CEBA ( (内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行) ) B=2 B=2 ( (两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等) )又又1+2+ACB=1801+2+ACB=180 A+B+ACB=180A+B+ACB=18021EDCBA 三角形的内角和等于三角形的内角和等于1800.注意注意: :辅助线应该用虚线表示辅助线应该用虚线表示ABC123EFABC123EF过过A作作EFBC，B=2(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等) C=3(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)2+3+BAC=180B+C+BAC=180(平角的定义平角的定义)(等量代换等量代换)ABCA过过C作作CEBA，）E1）。于是于是A=1(两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等)B=2又又1+2+ACB=180(平角的定义平角的定义)A+B+ACB=1802？(两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等)？(等量代换等量代换)作作BC的延长线的延长线CD，证法证法3：过过A作作EFBA， EFBAEFBA B=2(两直线平行两直线平行, ,内错角相等内错角相等) ) C=1(两直线平行两直线平行, ,内错角相等内错角相等) ) 又又 2+1+BAC=180 B+C+BAC=180F21ECBA 三角形的内角和等于三角形的内角和等于1800.开启 智慧你还有其他方法来证明三你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？角形内角和定理吗？添加辅助线思路：添加辅助线思路：1、构造平角、构造平角2、构造同旁内角、构造同旁内角ABCE图1EABCDF图2ANBCTS图3PQRMANBCTS图4PQRM（ABCEDF（1234（图5）AE）12BCD图6 思路总结思路总结 为了说明三个角的和为为了说明三个角的和为1800,转化转化为一个平角或同旁内角互补为一个平角或同旁内角互补,这种转这种转化思想是数学中的常用方法化思想是数学中的常用方法. 三角形内角和定理三角形内角和定理:三角形的内角和等于三角形的内角和等于1800.（1）在）在ABC中，中，A=35， B=43 则则 C= . （2）在）在ABC中，中， A :B:C=2:3:4则则A = B= C= . （1）一个三角形中最多有一个三角形中最多有 个直角？为什么？个直角？为什么？（2）一个三角形中最多有）一个三角形中最多有 个钝角？为什么？个钝角？为什么？（3）一个三角形中至少有）一个三角形中至少有 个锐角？为什么？个锐角？为什么？（4）任意）任意 一个三角形中，最大的一个角的度数至少为一个三角形中，最大的一个角的度数至少为 .102 80 60 40 60211例题例题 如图，如图，C岛在岛在A岛的北偏东岛的北偏东50方向，方向，B岛在岛在A岛的北偏东岛的北偏东80 方向，方向，C岛在岛在B岛的北偏西岛的北偏西40 方向。从方向。从C岛看岛看A、B两岛的视角两岛的视角ACB是多少度？是多少度？北北.AD北北.CB.东东E解：解：CAB=BAD-CAD=80CAB=BAD-CAD=800 0-50-500 0=30=300 0由由ADBEADBE，可得，可得BADBADABE=180ABE=1800 0所以所以ABE=180ABE=1800 0BADBAD=180=1800 080800 01001000 0ABC=ABEABC=ABEEBCEBC=100=1000 040400 060600 0在在ABCABC中，中，ACB=180ACB=1800 0-ABC-ABCCABCAB =180 =1800 060600 0-30-300 090900 0答：从答：从C C岛看岛看A A、B B两岛的视角两岛的视角ACBACB是是90900 0 。还有其它方还有其它方法吗？法吗？BDCE北A 你能想出一个更简捷的方法来求C的度数吗？125040解：解： 过点过点C画画CFAD 1DAC50 , F CFAD, 又又AD BE CF BE2CBE 40 ACB12 50 40 90 1. 如图，从如图，从A处观测处观测C处时仰角处时仰角CAD30，从，从B处观测处观测C处时仰处时仰角角CBD45。 从从C处观处观测测A、B两处时视角两处时视角 ACB是多少？是多少？ABCD解：在解：在ACD中中 CAD 30 D 90 ACD =180 30 90 =6 0 在在BCD中中 CBD = 45 D 90 BCD = 180 9045 =45 ACB = ACD BCD = 6 0 45 152. 如图，一种滑翔伞是左右对称的四边形ABCD，其中A150，BD40。求C的度数。D40 40 150ABC12解：在解：在ABC中中 B+1+BAC=180在在ACD中中 D+2+DAC=180B+D+1+2+BAC+CAD=360 即即 B+D+ BCD +BAD= 360 40 +40 + BCD +150 = 360 BCD = 360 40 40 150 =130 另解：另解： 由题意得由题意得 BACDAC75在在ABC中中 BCA 180 - BAC - B 180 - 75 - 40= 65 ACD = BCD = 65 BCD = ACD + BCD =130 40 40 150ABC1、如图、如图,某同学把一块三角形的玻某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃配一块形状完全一样的玻璃,那么最那么最省事的办法是省事的办法是 ( )(A)带去带去(B)带去带去(C)带去带去(D)带和去带和去C3、在、在中，如果中，如果= = B= C，那么那么是什么三角形？是什么三角形？2131例例2 已知：在已知：在ABC中，中，C=ABC=2A，BD是是AC边上的边上的高，高， 求求DBC的度数的度数. .分析：DBC在BDC中，BDC=900，为求DBC的度数，只要求出C的度数即可.解：设解：设A= x ，则，则C=ABC=2x. x+ 2x+ 2x=180(三角形内角和定理三角形内角和定理).解方程，得解方程，得x=360. C C=2=236360 0=72=720 0. .在在BDCBDC中，中，BDCBDC=90=900 0（已知），（已知），DBCDBC=180=1800 0-90-900 0-72-720 0（三角形内角和定理（三角形内角和定理).).DBCDBC=18=180 0.ABCD一一 、选择题、选择题(1) 在在ABCABC中，中，A A:B B:C C =1:2:3=1:2:3，则，则B B = =（ ） A A. . 30 300 0 B B. . 60 600 0 C C. . 90 900 0 D D. . 120 1200 0(2) (2) 在在ABCABC中，中，A A =50=500 0, , B B =80=800 0, ,则则C C = =（ ） A A. . 40 400 0 B B. . 50 500 0 C C. . 10 100 0 D D. . 110 1100 0（3 3）在在ABCABC中，中，A A =80=800 0, , B B =C C，则，则B B = =（ ） A A. . 50 500 0 B B. . 40 400 0 C C. . 10 100 0 D D. . 45 450 0二、填空二、填空（1 1）A A:B B:C C=3:4:5=3:4:5，则，则B B = =（2 2）C C =90=900 0，A A =30=300 0，则，则B B = = （3 3）B B =80=800 0，A A =3=3C C，则，则A A = = B600750B600A3. 在在ABCABC中，已知中，已知A A-C C=25=250，B B- -A A=10=100，求，求B B的度数的度数. .分析：根据三角形内角和定理可知：分析：根据三角形内角和定理可知： A A+B B+C C=180=1800，然后结合已知条件便可以求出，然后结合已知条件便可以求出. .解：在解：在ABCABC中，中， A A+B B+C C=180=1800（三角形內角和定理）（三角形內角和定理） 联立联立A A-C C=25=250，B B-A A=10=100可得，可得， A A=65=650，B B=75=750，C C=40=400答：答：B B的度数是的度数是75750. 4.如图：已知在如图：已知在ABCABC中，中，EFEF与与ACAC交于点交于点G G，与，与BCBC的延的延长线交于点长线交于点F F，B B=45=450 ，F F=30=300，CGFCGF=70=700， 求求A A的度数的度数. . AEGFCB这节课你有那些收获这节课你有那些收获?点此播放视频
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