湖南省师大附中2019届高三上学期第二次月考数学（文）试卷

湖南师大附中2019届高三月考试卷(二)数学(文科) 命题人、审题人：洪利民王朝霞钱华本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共10页。时量120分钟。满分150分。第卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合Mx2x30，Nx|2x2，则MN( C )A1，3 B(，1) C1，1) D(1，3 【解析】M1，3，N(，1)，故MN1，1)故选C.2若2i2aib4i，其中a，bR，i为虚数单位，则ab( D )A. 2 B1 C0 D2【解析】由复数相等得：a4，b2，ab2，故选D.3已知下面四个命题：“若x2x0，则x0或x1”的逆否命题为“若x0且x1，则x2x0”“x1”是“x23x20”的充分不必要条件 命题p：存在x0R，使得xx010，则非p：任意xR，都有x2x10若p且q为假命题，则p，q均为假命题其中真命题个数为( C )A1 B2 C3 D4【解析】由题可知，正确，正确，特称命题的否定为全称命题，所以显然正确；若p且q为假命题，则p，q至少有一个是假命题，所以的推断不正确. 故选C.4设正项等比数列的前n项的和为Sn，且1，若a3a510，a1a716，则S4( B )A60或 B60 C. D120【解析】由等比数列是单调递减数列，得q，所以a132，S460 ，故选B.5如图所示，在三棱锥DABC中，已知ACBCCD2，CD平面ABC，ACB90.若其正视图、俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( D )A. B2C. D.【解析】由几何体的结构特征和正视图、俯视图，得该几何体的侧视图是一个直角三角形，其中一条直角边是CD，另一条直角边为ABC的边AB上的中线，所以其侧视图面积为S2，故选答案D.6已知平面上不重合的四点P、A、B、C满足0，且x0，那么实数x的值为( B )A2 B3 C4 D5【解析】由题可知，根据向量的减法有，于是有()()x，故(x2)0，又因为0，所以x21，即x3.故选B.7在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若cos A，则ABC为( A )A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形【解析】根据定理：cos A，那么sin Csin Bcos A，根据ABC，所以sin Csin(AB)，所以sin(AB)sin Bcos A，整理为：sin Acos B0，所以cos B0，那么B.故选A.8某程序框图如图所示，该程序运行后若输出S的值是2，则判断框内可填写( B ) Ai2015 Bi2016Ci2017 Di2018【解析】由程序框图，初始值S2，i1.循环一次后，S3，i2；循环两次后，S，i3；循环三次后，S，i4；循环四次后，S2，i5；循环五次后，S3，i6；依次类推，S的值呈周期性变化，周期为4.如果i2 015，则循环结束S；如果i2 016，则循环结束S2.因此条件判断框中的条件是“i2 016”. 故选B.9函数fcos x的图象的大致形状是( B )【解析】由题意得，fcos xcos x，所以fcos(x)cos xf(x)，所以函数f为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A，C；令x1，则fcos 1cos 10，故选B.10椭圆1(ab0)的右焦点F，直线x与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是( D )A. (0， B. (0，) C. 1，1) D. ，1)【解析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|c，因为|PF|ac，ac，所以ac，ac即acc2b2acc2，又e(0，1)，故e，1)，故答案选D.11在体积为的三棱锥SABC中，ABBC2，ABC90，SASC，且平面SAC平面ABC，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是( B )A. B. C. D12【解析】ABC外接圆圆心为AC中点D，连接SD，则由平面SAC平面ABC及SASC，知SD平面ABC，且球心O在SD上，则SABCSD，解得SD2.设三棱锥SABC外接球半径为R，则ROSOB，所以在RtODB中，OB2BD2OD2，即R2()2(2R)2，解得R，故所求球的体积为VR3，故选B.12某同学用“随机模拟方法”计算曲线yln x与直线xe，y0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间1，e上的均匀随机数xi和10个在区间0，1上的均匀随机数yi(iN*，1i10)，其数据如下表的前两行.x2.501.011.901.222.522.171.891.961.362.22y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10ln x0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为( A )A. (e1) B. (e1) C. (e1) D. (e1)【解析】由表可知，向矩形区域内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其频率为. 因为矩形区域的面积为e1，所以曲边三角形面积的近似值为(e1)，选A.选择题答题卡题号123456789101112答案CDBBDBABBDBA第卷本卷包括必考题和选考题两部分第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答第2223题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本题共4小题，每小题5分13已知cos()且(，)，则tan()_7_【解析】由已知得，sin ，cos ，tan ，tan()7.14对于实数a和b，定义运算a*b则式子ln e2*的值为_9_【解析】因为a*b而ln e223，所以ln e2*3(21)9.15已知函数f(x)x的图象过点(4，2)，令an，nN*.记数列an的前n项和为Sn，则S2019_1_【解析】由函数f(x)x的图象过点(4，2)得：42，从而f(x)；an，从而S2019()()1.16设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是_，1)_【解析】f(x)0ex(2x1)axa，记g(x)ex(2x1)，则题意说明存在唯一的整数x0，使g(x)的图象在直线yaxa下方，g(x)ex(2x1)，当x时，g(x)时，g(x)0，因此当x时，g(x)取得极小值也是最小值g()2e，又g(0)1，g(1)e0，直线yaxa过点(1，0)且斜率为a，故解得a0，b0) 的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为1.()求双曲线的方程；()已知椭圆C2：1 (mn0)的焦点与双曲线C1：1(a0，b0)的左右顶点重合，且离心率为.直线l：ykx4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围【解析】()由题意知a2，焦点坐标为(，0)一条渐近线为yx，即bx2y0，焦点到渐近线的距离为1. 即1，b21，双曲线的方程为y21.(4分)()由()得双曲线C1的顶点F(2，0) ， 椭圆C2的焦点与双曲线C1的顶点重合，椭圆C2半焦距c2, m2n2c24.椭圆C2的离心率为，m4，n2，椭圆C2的方程为：1.(6分)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由得(4k23)x232kx160.由0(32k)2416(4k23)0k或k0，(9分)(x1，y1)(x2，y2)y1y2x1x2(kx14)(kx24)x1x2(k21)x1x24k(x1x2)16(k21)4k160 k(11分)由、得实数k的范围是k或k2恒成立，求实数a的取值范围；()若在上存在一点x0，使得f2，设x1x2，则hh2，即h2x1h2x2恒成立，问题等价于函数Fh2x，即Fx2aln x2x在为增函数(4分)所以Fx20在上恒成立，即a2xx2在上恒成立，所以a1，即实数a的取值范围是.(6分)()不等式fgg等价于x0aln x0，整理得x0aln x00.设mxaln x，由题意知，在上存在一点x0，使得m0，所以x10，即令m0，得x1a.当1a1，即a0时，m在上单调递增，只需m2a0，解得a2.(9分) 当11ae，即0ae1时，m在x1a处取最小值令m1aaln(1a)10，即a11aln(a1)，可得ln(a1)考查式子ln t，因为1e，即ae1时，m在上单调递减，只需mea.综上所述，实数a的取值范围是.(12分)请考生在第2223两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。22(本小题满分10分)选修44：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)，曲线C的参数方程为 ()写出直线l及曲线C的直角坐标方程；()过点M平行于直线l的直线与曲线C交于A、B两点，若，求点M轨迹的直角坐标方程【解析】()直线l：yx，曲线C的直角坐标方程为y21.(4分 )()设点M(x0，y0)，过点M的直线为l1：(t为参数)由直线l1与曲线C相交可得t2(x02y0)tx2y20，由得，即1表示椭圆取yxm代入y21得3x24mx2m220，由0mx2的解集；()若不等式f(x)a(x2)的解集为非空集合，求a的取值范围【解析】()当a1，不等式2ax2，即为21x2，即2x3，不等式等价于或或x1或1x2，所以所求不等式的解集为.(5分)()由f(x)a(x2)2aa(x2)，即2a(x3)设g(x)2如图，P(3，0)，kPA，kPDkBC3.故由题可知a3或a.即a的取值范围为(，3).(10分)