高考数学二轮复习 第二篇 熟练规范 中档大题保高分 第25练 空间中的平行与垂直课件 文

第二篇熟练规范中档大题保高分第25练空间中的平行与垂直明考情高考中对直线和平面的平行、垂直关系交汇综合命题，多以棱柱、棱锥、棱台或简单组合体为载体进行考查，难度中档偏下.知考向1.空间中的平行关系.2.空间中的垂直关系.3.平行和垂直的综合应用.研透考点核心考点突破练栏目索引规范解答模板答题规范练研透考点核心考点突破练考点一空间中的平行关系方法技巧方法技巧(1)平行关系的基础是线线平行，比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系.(2)证明过程中要严格遵循定理中的条件，注意推证的严谨性.1.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN，求证：MN平面AA1B1B.证明1234证明证明如图所示， 作MEBC交BB1于点E， 作NFAD交AB于点F， 连接EF，则EF平面AA1B1B.MEBC，NFAD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，CMDN，B1MNB.又BCAD，MENF.12341234又MEBCADNF，四边形MEFN为平行四边形，MNEF.又EF平面AA1B1B，MN 平面AA1B1B，MN平面AA1B1B.2.(2017全国)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；1234证明证明证明由已知BAPCDP90，得ABPA，CDPD.由于ABCD，故ABPD，从而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为 ，求该四棱锥的侧面积.1234解答解解如图，在平面PAD内作PEAD，垂足为E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，ABAD，所以PE平面ABCD.可得四棱锥PABCD的侧面积为12343.(2017龙岩市新罗区校级模拟)如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.(1)若弧BC的中点为D，求证：AC平面POD；1234证明证明证明方法一方法一设BCODE，D是弧BC的中点，E是BC的中点.又O是AB的中点，ACOE.又AC 平面POD，OE平面POD，AC平面POD.方法二方法二AB是底面圆的直径，ACBC.弧BC的中点为D，ODBC.又AC，OD共面，ACOD.又AC 平面POD，OD平面POD，AC平面POD.12341234(2)如果PAB的面积是9，求此圆锥的表面积.解答解解设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，4.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，且AB2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在？请说明理由.1234解答解解存在这样的点F，使平面C1CF平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下：ABCD，AB2CD，AF綊CD，四边形AFCD是平行四边形，ADCF.又AD平面ADD1A1，CF 平面ADD1A1，CF平面ADD1A1.又CC1DD1，CC1 平面ADD1A1，DD1平面ADD1A1，CC1平面ADD1A1.又CC1，CF平面C1CF，CC1CFC，平面C1CF平面ADD1A1.1234考点二空间中的垂直关系方法技巧方法技巧判定直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直定义.(2)利用线面垂直的判定定理，一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直.(3)利用线面垂直的性质，两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面.(4)利用面面垂直的性质定理，两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.5.如图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点.求证：(1)AF平面BCE；5678证明证明证明如图，取CE的中点G，连接FG，BG.5678AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.四边形GFAB为平行四边形，AFBG.AF 平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.(2)平面BCE平面CDE.证明证明ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，故AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.5678证明6.(2017全国)如图，在四面体ABCD中，ABC是正三角形，ADCD.(1)证明：ACBD；5678证明证明如图，取AC的中点O，连接DO，BO.因为ADCD，所以ACDO.又由于ABC是正三角形，所以ACBO.又DOOBO，所以AC平面DOB，故ACBD.证明5678解答(2)已知ACD是直角三角形，ABBD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.解解连接EO.由(1)及题设知ADC90，所以DOAO.在RtAOB中，BO2AO2AB2.又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90.即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为11.56787.(2017南京一模)如图，在六面体ABCDE中，平面DBC平面ABC，AE平面ABC.(1)求证：AE平面DBC；证明证明过点D作DOBC，O为垂足.平面DBC平面ABC，平面DBC平面ABCBC，DO平面DBC，DO平面ABC.又AE平面ABC，则AEDO.又AE 平面DBC， DO平面DBC， 故AE平面DBC.5678证明(2)若ABBC，BDCD，求证：ADDC.证明证明由(1)知，DO平面ABC，AB平面ABC，DOAB.又ABBC， 且DOBCO， DO， BC平面DBC，AB平面DBC.DC平面DBC，ABDC.又BDCD，ABDBB，AB，DB平面ABD，则DC平面ABD.又AD平面ABD，故可得ADDC.5678证明8.已知四棱锥SABCD的底面ABCD为正方形， 顶点S在底面ABCD上的射影为其中心O， 高为 ， 设E， F分别为AB， SC的中点， 且SE2， M为CD边上的点.(1)求证：EF平面SAD；证明证明取SB的中点P，连接PF，PE.F为SC的中点，PFBC，又底面ABCD为正方形，BCAD，即PFAD，又PESA，平面PFE平面SAD.EF平面PFE，EF平面SAD.5678证明解答5678(2)试确定点M的位置，使得平面EFM底面ABCD.解解连接AC，AC的中点即为点O，连接SO，由题意知SO平面ABCD，取OC的中点H，连接FH，则FHSO，FH平面ABCD，平面EFH平面ABCD，连接EH并延长，则EH与DC的交点即为M点.OE1，AB2，AE1，5678考点三平行和垂直的综合应用方法技巧方法技巧空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.91011129.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点.求证：(1)直线EF平面PCD；证明证明在PAD中，E，F分别为AP，AD的中点，EFPD.又EF 平面PCD，PD平面PCD，直线EF平面PCD.证明(2)平面BEF平面PAD.证明证明如图，连接BD.ABAD，BAD60，ADB为正三角形.F是AD的中点，BFAD.平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BF平面ABCD，BF平面PAD.又BF平面BEF，平面BEF平面PAD.9101112证明10.(2017山东)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E平面ABCD.(1)证明：A1O平面B1CD1；证明证明取B1D1的中点O1， 连接CO1， A1O1，由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1OC，A1O1OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1，A1O 平面B1CD1，所以A1O平面B1CD1.9101112证明(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM平面B1CD1.证明证明因为ACBD， E， M分别为AD和OD的中点，所以EMBD，又A1E平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1EBD.因为B1D1BD，所以EMB1D1，A1EB1D1.又A1E，EM平面A1EM，A1EEME，所以B1D1平面A1EM.又B1D1平面B1CD1，所以平面A1EM平面B1CD1.9101112证明910111211.(2017汉中二模)如图，在棱长均为4的三棱柱ABCA1B1C1中，D，D1分别是BC和B1C1的中点.(1)求证：A1D1平面AB1D；证明证明证明连接DD1，在三棱柱ABCA1B1C1中，D，D1分别是BC和B1C1的中点，B1D1BD，且B1D1BD，四边形B1BDD1为平行四边形，BB1DD1，且BB1DD1.又AA1BB1，AA1BB1，AA1DD1，AA1DD1，四边形AA1D1D为平行四边形，A1D1AD.又A1D1 平面AB1D，AD平面AB1D，A1D1平面AB1D.9101112(2)若平面ABC平面BCC1B1，B1BC60，求三棱锥B1ABC的体积.解解在ABC中， 边长均为4， 则ABAC， D为BC的中点，ADBC.平面ABC平面B1C1CB， 交线为BC， AD平面ABC，AD平面B1C1CB，即AD是三棱锥AB1BC的高.在B1BC中，B1BBC4，B1BC60，9101112解答12.如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD平面ABCD.四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点.(1)求证：CD平面SAD；9101112证明证明证明四边形ABCD为正方形，CDAD.又平面SAD平面ABCD，且平面SAD平面ABCDAD，CD平面ABCD，CD平面SAD.(2)求证：PQ平面SCD；证明证明取SC的中点R，连接QR，DR.在SBC中，Q为SB的中点，R为SC的中点，QRPD且QRPD，则四边形PDRQ为平行四边形，PQDR.又PQ 平面SCD，DR平面SCD，PQ平面SCD.9101112证明(3)若SASD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN平面ABCD？并证明你的结论.9101112解答解解存在点N为SC的中点，使得平面DMN平面ABCD.连接PC，DM交于点O，连接PM，SP，NM，ND，NO，PDCM，且PDCM，四边形PMCD为平行四边形，POCO.又N为SC的中点，NOSP.易知SPAD.平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，且SPAD，SP平面ABCD，NO平面ABCD.又NO平面DMN，平面DMN平面ABCD.9101112规范解答模板答题规范练例例(12分)如图， 四棱锥PABCD的底面为正方形，侧面PAD底面ABCD，PAAD，点E，F，H分别为AB，PC，BC的中点.(1)求证：EF平面PAD；(2)求证：平面PAH平面DEF.模板体验审题路线图审题路线图规范解答规范解答评分标准评分标准证明证明(1)取PD的中点M，连接FM，AM.在PCD中，F，M分别为PC，PD的中点，AEFM且AEFM，则四边形AEFM为平行四边形，AMEF.4分又EF 平面PAD，AM平面PAD，EF平面PAD.6分(2)侧面PAD底面ABCD，PAAD，侧面PAD底面ABCDAD，PA底面ABCD.DE底面ABCD，DEPA.E，H分别为正方形ABCD边AB，BC的中点，RtABHRtDAE，则BAHADE，BAHAED90，则DEAH.8分PA平面PAH，AH平面PAH，PAAHA，DE平面PAH.10分DE平面DEF，平面PAH平面DEF.12分构建答题模板构建答题模板第一步找线线找线线：通过三角形或四边形的中位线，平行四边形、等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直.第二步找线面找线面：通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行.第三步找面面找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行.第四步写步骤写步骤：严格按照定理中的条件规范书写解题步骤.1.如图，在空间四面体ABCD中，若E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；规范演练证明证明在空间四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，EF綊GH，四边形EFGH是平行四边形.12345证明(2)求证：BC平面EFGH.证明证明E，H分别是AB，AC的中点，EHBC.EH平面EFGH，BC 平面EFGH，BC平面EFGH.12345证明2.(2017北京)如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PABD；证明证明因为PAAB，PABC，所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC，所以PABD.12345证明(2)求证：平面BDE平面PAC；证明证明因为ABBC，D是AC的中点，所以BDAC.由(1)知，PABD，所以BD平面PAC.所以平面BDE平面PAC.12345证明(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积.解解因为PA平面BDE， 平面PAC平面BDEDE，所以PADE.因为D为AC的中点，12345解答由(1)知，PA平面ABC，所以DE平面ABC，12345解答3.(2017北京海淀区模拟)如图， 四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA底面ABCD， 且PA2， E是侧棱PA上的动点.(1)求四棱锥PABCD的体积；解解PA底面ABCD，PA为此四棱锥底面上的高.12345(2)如果E是PA的中点，求证：PC平面BDE；证明证明连接AC交BD于点O，连接OE.四边形ABCD是正方形，AOOC.又AEEP，OEPC.又PC 平面BDE，OE平面BDE，PC平面BDE.证明(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BDCE？证明你的结论.解解不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BDCE.证明：四边形ABCD是正方形，BDAC.PA底面ABCD，BD平面ABCD，PABD.又PAACA，BD平面PAC.CE平面PAC，BDCE.12345解答4.如图， 已知正方形ABCD的边长为2， AC与BD交于点O， 将正方形ABCD沿对角线BD折起， 得到三棱锥ABCD.(1)求证：平面AOC平面BCD；12345证明证明证明四边形ABCD是正方形，BDAO，BDCO.折起后仍有BDAO，BDCO，AOCOO，BD平面AOC.BD平面BCD，平面AOC平面BCD.12345解答解解由(1)知BD平面AOC，又AOC是钝角，AOC120.在AOC中，由余弦定理，得AC2OA2OC22OAOCcosAOC123455.(2016四川)如图，在四棱锥PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCD AD.(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由；12345解答解解取棱AD的中点M(M平面PAD)，点M即为所求的一个点，理由如下：因为ADBC，BC AD，所以BCAM，且BCAM.所以四边形AMCB是平行四边形，所以CMAB.又AB平面PAB，CM 平面PAB，所以CM平面PAB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)1234512345证明(2)求证：平面PAB平面PBD.证明证明由已知，PAAB，PACD.所以PA平面ABCD.所以PABD.所以BCMD，且BCMD.所以四边形BCDM是平行四边形，又ABAPA，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.12345