第一讲椭圆（教案1）

第一讲 椭圆【知识要点】：1. 椭圆定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.当时, 的轨迹为椭圆 ; 当时, 的轨迹为 以为端点的线段当时, 的轨迹不存在; 2椭圆的标准方程和几何性质标准方程图 形性质参数关系焦 点焦 距范 围顶 点对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率【主要方法】求椭圆方程的方法：除了根据定义外，常用待定系数法（先定性，后定型，再定参）.当椭圆的焦点位置不明确而无法确定是哪种标准方程时，可设方程为（）可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为（,）.椭圆有“两线”（两条对称轴），“六点”（两个焦点，四个顶点），“两形”（中心，焦点以及短轴端点构成的三角形、椭圆上一点和两焦点构成的三角形）. (1) 椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为ac，最小距离为ac.(2) 求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2a2c2就可求得e(0e1)3.重要结论：（1）.椭圆的的内外部 点在椭圆的内部. 点在椭圆的外部.（2）.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交;直线与椭圆相切;直线与椭圆相离【典例解析】题型1. 椭圆方程的求法例1.（1）曲线C是点M到定点的距离与到直线x=3距离之比为的轨迹求曲线C的方程；（2）已知椭圆C：的离心率e，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2,左、右焦点分别为F1，F2原点到直线A2B2的距离为求椭圆C的方程；（）设曲线上任一点，则由题意得：化简得：曲线方程为（2）因为椭圆C的离心率e，故设a2m，cm，则bm直线A2B2方程为 bxayab0，即mx2my2m20所以 ，解得m1所以 a2，b1，椭圆方程为y21 【课堂练习】1.（2014长沙四校）已知动圆M过定点A(3,0)并且与定圆B：(x3)2y264相切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1 B.1 C.1 D.1【答案】A【解析】点A在圆B内，过点A的圆与圆B只内切，圆心距|BM|8|MA|，即|MB|MA|8|AB|，点M轨迹是以A、B为焦点的椭圆，设其方程为1，又a4，c3，b27，方程为1.2（2014全国卷）已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4 ，则C的方程为(A )A.1 B.y21 C.1 D.1解析 根据题意，因为AF1B的周长为4，所以|AF1|AB|BF1|AF1|AF2|BF1|BF2|4a4，所以a.又因为椭圆的离心率e，所以c1，b2a2c2312，所以椭圆C的方程为1.3.在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆C上一点到点Q 的距离最大值为4，求椭圆C的方程；解析：（） 则椭圆方程为即设则 当时，有最大值为 解得，椭圆方程是 4.在直角坐标系xoy中，椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，F2也是抛物线C2：y24x的焦点，点M为为C1与C2在第一象限交点，且MF2。求C1的方程；由：知设，在上，因为，所以，得， 在上，且椭圆的半焦距，于是消去并整理得 ， 解得（不合题意，舍去）故椭圆的方程为题型2.椭圆的定义与标准方程.例2（1）(2012兰州)“”是“方程表示椭圆”的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件解析要使方程1表示椭圆，应满足解得3m5且m1，因此“3m5”是“方程1表示椭圆”的必要不充分条件答案B（2）椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的小大为 【解析】椭圆的，所以。因为，所以，所以。所以,所以。【课堂练习】1椭圆的焦点坐标在轴上，则实数的取值范围是 。2在中，为椭圆上一点，则 ；3.设、是椭圆的两个焦点,点在椭圆上,且满足,则的面积等于 1; 4.已知椭圆:,左右焦点分别为,过的直线交椭圆于A,B两点,若的最大值为5,则的值是（ D. ） A.1 B. C. D.解：由题意知,所以因为的最大值为5,所以的最小值为3,当且仅当轴时,取得最小值,此时,代入椭圆方程得,又,所以,即,所以,解得,所以, 5.设椭圆的左右焦点为，弦AB过点，的内切圆的面积为，若，则的值（ A ）A B C D题型3.椭圆的几何性质例3.（1）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）【答案】BA. B. C. D. （2）已知，椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，当 时，的取值范围为 解析：实际上即为求满足为锐角得点得横坐标得取值范围。先考虑分界点，即先求出满足的点的坐标，设为，列出关系式：解得【答案】例4（2014北京）已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为1.所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)2(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0x4)，当x4时等号成立，所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为2.【课堂练习】1.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）B A B C D 2若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为（ D ）A.1 B.C.2 D.23.椭圆的焦点为、，点P为其上的动点，当为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 4.过椭圆C：1(ab0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若k，则椭圆离心率的取值范围是()A. B. C. D.解析：点B的横坐标是c，故B的坐标为，已知k，B.斜率k.由k，解得e. 答案：C【课外练习】3.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是_ . 分析：据题意，解之得0m4.椭圆和双曲线的公共焦点为是两曲线的一个交点, 则的面积为 答：提示：先利用定义求PF1，PF2，再用余弦定理求得 ，最后用面积公式5.椭圆(为定值,且)的左焦点为F,直线与椭圆相交于点A.B,的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率e是 _.【答案】 6.已知、是椭圆（0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=_. 【解析】依题意，有，可得4c2364a2，即a2c29，故有b3。7.已知椭圆的方程为，分别为椭圆的左、右焦点，点的坐标为，为椭圆上一点，则的最大值与最小值分别是 【答案】和【提示】该问题的求解要用到椭圆的第一定义，如图6，因为为椭圆上一点，所以有，因此有 注意到 所以有即的最大值和最小值分别为和1.设(0,)，方程表示焦点在轴上的椭圆，则（ ）A.(0, B.(,) C.(0,) D.,)答案：B2.设椭圆中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，点P在椭圆上若椭圆的离心率为，PF1F2的周长为12，则椭圆的标准方程是 （ B ）ABCD8.若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为( )A2 B3 C6 D8【答案】：C【解析】：由椭圆1可得点F(1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)，2x2，则x2xy2x2x3(1)x2x3(x2)22，当且仅当x2时，取得最大值6.9.若P是以F1、F2为焦点的椭圆1(ab0)上的一点，且0，tan PF1F2，则此椭圆的离心率为()A. B. C. D.【答案】A【解析】在RtPF1F2中，设PF21，则PF12，F1F2，故此椭圆的离心率e.10.已知椭圆的方程为，则此椭圆的离心率为（ ）(A) (B) (C) (D) 7