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3个附加题专项强化练(一)选修4系列(理科)A组1本题包括A、B、C、D四个小题，请任选二个作答A选修41：几何证明选讲如图，已知圆O的直径AB4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE2CD，求OCE的面积解：设CDx，则CE2x.因为CA1，CB3，由相交弦定理，得CACBCDCE，所以132x2，解得x.取DE的中点H，连结OH，则OHDE.因为EHCD，所以OH2OE2EH2222，所以OH.又因为CE2x，所以OCE的面积SOHCE.B选修42：矩阵与变换已知a，b是实数，如果矩阵A所对应的变换T把点(2,3)变成点(3,4)(1)求a，b的值；(2)若矩阵A的逆矩阵为B，求B2.解：(1)由题意，得，即解得(2)由(1)，得A.由矩阵的逆矩阵公式得B.所以B2.C选修44：坐标系与参数方程已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2，22cos2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解：(1)由2x2y2，且得圆O1的直角坐标方程为x2y24，由22cos2，得22(cos sin )2，x2y22(xy)2，故圆O2的直角坐标方程为x2y22x2y20.(2)联立方程两式相减，得经过两圆交点的直线方程为xy10，该直线的极坐标方程为cos sin 10.D选修45：不等式选讲解不等式：|x2|x|x2|2.解：当x2时，不等式化为(2x)x(x2)2，即x23x0，解得3x2；当2x2时，不等式化为(2x)x(x2)2，即x2x0，解得2x1或0x2；当x2时，不等式化为(x2)x(x2)2，即x23x40，解得x2.所以原不等式的解集为x|3x1或x02本题包括A、B、C、D四个小题，请任选二个作答A选修41：几何证明选讲如图，圆O是ABC的外接圆，点D是劣弧BC的中点，连结AD并延长，与以C为切点的切线交于点P，求证：.证明：连结CD，因为CP为圆O的切线，所以PCDPAC，又P是公共角，所以PCDPAC，所以，因为点D是劣弧BC的中点，所以CDBD，即.B选修42：矩阵与变换已知矩阵A，若A，求矩阵A的特征值解：因为A，所以 解得所以A.所以矩阵A的特征多项式为f()(2)(1)6234，令f()0，解得矩阵A的特征值为11，24.C选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：(t为参数)与椭圆C：(为参数，a0)的一条准线的交点位于y轴上，求实数a的值解：由题意，直线l的普通方程为2xy9，椭圆C的普通方程为1(0a3)，椭圆C的准线方程为y，故9，解得a2(负值舍去)D选修45：不等式选讲求函数y3sin x2的最大值解：y3sin x23sin x4，由柯西不等式得y2(3sin x4)2(3242)(sin2xcos2x)25，当且仅当4sin x3|cos x|，即sin x，|cos x|时等号成立，所以ymax5.所以函数y3sin x2的最大值为5.3本题包括A、B、C、D四个小题，请任选二个作答A选修41：几何证明选讲如图，ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M.(1)若BC是圆O的切线，且AB8，BC4，求线段AM的长度；(2)若线段BC与圆O交于另一点N，且AB2AC，求证：BN2MN.解：(1)设AMt，则BM8t(0t0，a46a2b2b44ab(a2b2)4本题包括A、B、C、D四个小题，请任选二个作答A选修41：几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，弦CA，BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F，连结FD.求证：DEADFA.证明：连结AD，AB是圆O的直径，ADB90，ADE90，又EFFB，AFE90，A，F，E，D四点共圆，DEADFA.B选修42：矩阵与变换已知矩阵M的一个特征值1及对应的特征向量e，求矩阵M的逆矩阵解：由题知，1，即解得M.det(M)12234，M1.C选修44：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为3cos ，试判断直线l与曲线C的位置关系解：由题意知，直线l的普通方程为2xy20，由2x2y2，且得曲线C的直角坐标方程为2y2，它表示圆由圆心到直线l的距离d，得直线l与曲线C相交D选修45：不等式选讲设x，y，z均为正实数，且xyz1，求证：xyyzzx.证明：x，y，z均为正实数，且xyz1，由柯西不等式可得(xyyzzx)22(xyyzzx)2.xyyzzx.B组1本题包括A、B、C、D四个小题，请任选二个作答A选修41：几何证明选讲如图，已知ABC内接于O，连结AO并延长交O于点D，ACBADC.求证：ADBC2ACCD.证明：ACBADC，AD是O的直径，AD垂直平分BC，设垂足为E，ACBEDC，ACDCED，ACDCED，ADBCACCD，ADBC2ACCD.B选修42：矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,2)在矩阵M对应的变换作用下得到点A，将点B(3,4)绕点A逆时针旋转90得到点B，求点B的坐标解：设B(x，y)，依题意，由，得A(1,2)则(2,2)，(x1，y2)记旋转矩阵N，则，即，得所以点B的坐标为(1,4)C选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值解：直线l的普通方程为x2y80.因为点P在曲线C上，设P(2s2,2s)，从而点P到直线l的距离d.当s时，dmin.因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值.D选修45：不等式选讲已知a，b，cR,4a2b22c24，求2abc的最大值解：由柯西不等式，得(2a)2b2(c)2(2abc)2.因为4a2b22c24，所以(2abc)210.所以2abc，所以2abc的最大值为，当且仅当a，b，c时等号成立2本题包括A、B、C、D四个小题，请任选二个作答A选修41：几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F.求证：AB2BEBDAEAC.证明：如图，连结AD，因为AB为圆O的直径，所以ADBD.又EFAB，则A，D，E，F四点共圆，所以BDBEBABF.连结BC，则AFEACB，BACEAF，得ABCAEF，所以，即ABAFAEAC，所以BEBDAEACBABFABAFAB(BFAF)AB2.B选修42：矩阵与变换已知二阶矩阵M有特征值8及对应的一个特征向量e1，并且矩阵M对应的变换将点(1,2)变换成(2,4)(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值解：(1)设M，由题意，M8，M，解得即M.(2)令特征多项式f()(6)(4)80，解得18，22.矩阵M的另一个特征值为2.C选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为(为参数)求直线l与曲线C的交点P的直角坐标解：由题意得，直线l的直角坐标方程为yx，曲线C的普通方程为yx2(x2,2)，联立解方程组得或(舍去)故P点的直角坐标为(0,0)D选修45：不等式选讲已知a，b，c为正实数，求证：abc.证明：法一：(基本不等式)a2b，b2c，c2a，abc2a2b2c，abc.法二：(柯西不等式)由柯西不等式得(abc)(bca)2，abc.3本题包括A、B、C、D四个小题，请任选二个作答A选修41：几何证明选讲如图，已知AB为圆O的一条弦，点P为弧AB的中点，过点P任作两条弦PC，PD分别交AB于点E，F.求证：PEPCPFPD.证明：连结PA，PB，CD，BC.因为点P为弧AB的中点，所以PAB PBA.又因为PAB PCB，所以PCB PBA. 又DCB DPB，所以PFE PBADPB PCBDCB PCD，所以E，F，D，C四点共圆所以PEPCPFPD.B选修42：矩阵与变换已知曲线C：x22xy2y21，矩阵A所对应的变换T把曲线C变换成曲线C1，求曲线C1的方程解：设曲线C上的任意一点P(x，y)，点P在矩阵A所对应的变换T作用下得到点Q(x，y)则，即所以代入x22xy2y21，得y22y221，即x2y22，所以曲线C1的方程为x2y22.C选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点A，点B在直线l：cos sin 0(02)上当线段AB最短时，求点B的极坐标解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点A的直角坐标为(0,2)，直线l的直角坐标方程为xy0.AB最短时，点B为直线xy20与直线l的交点，解得所以点B的直角坐标为(1，1). 所以点B的极坐标为.D选修45：不等式选讲求函数f(x)5的最大值解：易知函数f(x)的定义域为0,4，且f(x)0.由柯西不等式得52()2()2()2(5)2，即274(5)2，所以56.当且仅当5，即x时取等号所以函数f(x)5的最大值为6.4本题包括A、B、C、D四个小题，请任选二个作答A选修41：几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点证明：OCBD.证明：因为B，C是圆O上的两点，所以OBOC.故OCBB.又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故B，D为同弧所对的两个圆周角，所以BD.因此OCBD.B选修42：矩阵与变换已知矩阵A，设曲线C：(xy)2y21在矩阵A对应的变换下得到曲线C，求C的方程解：设P(x0，y0)为曲线C上任意一点，点P在矩阵A对应的变换下得到点Q(x，y)，则，即解得又(x0y0)2y1，2y21，即y21，曲线C的方程为y21.C选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为2sin .设P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的直角坐标解：由2sin ，得22sin ，从而有x2y22y，所以x2(y)23.设P，又C(0，)，则PC，故当t0时，PC取得最小值，此时点P的直角坐标为(3,0)D选修45：不等式选讲已知a，b，c，d是正实数，且abcd1，求证：a5b5c5d5abcd.证明：因为a，b，c，d是正实数，且abcd1, 所以a5bcd44a.同理b5cda4b，c5dab4c，d5abc4d，将式相加并整理，得a5b5c5d5abcd.当且仅当“abcd1”时等号成立11
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