测试技术：第2章 测试信号分析与处理

2022-4-612.1信号的分类2.2确定性信号及其描述 2.3随机信号第第2章章 测试信号分析与处理测试信号分析与处理研究信号的目的研究信号的目的：认识客观物理过程的内在规律，研究各个物理认识客观物理过程的内在规律，研究各个物理量之间的相互关系，预测测量对象未来的发展趋势。量之间的相互关系，预测测量对象未来的发展趋势。从信号获取从信号获取信息。信息。 2022-4-622.1 信号的分类信号的分类 信号的形成是多种多样的，可以从不同的角度进行分类，在动态测量中我们可把信号看作时间的函数。 1. 根据独立变量根据独立变量(时间时间)是否连续可将信号分为是否连续可将信号分为:连续信号、连续信号、离散信号离散信号模拟信号模拟信号：时间和幅值均为连续的（在所在时间区间，信号值是确定的）数字信号数字信号：时间和幅值均为离散的（在幅值、时间的某些点有值，其余未知）2022-4-632.从能量角度分：从能量角度分：2( )xt dt 212211( )ttxt dttt 能量有限信号能量有限信号（J）： 功率有限信号功率有限信号(W)： 3.按信号的变化规律分：按信号的变化规律分： 确定性信号确定性信号：可用明确的数学关系式来描述，可知其过去，现在及将来的变化。 随机信号随机信号：无法用明确的数学关系式来描述，具有不确定性和事先不可预知性,只能通过统计观测加以描述.2022-4-642.2 周期信号的描述周期信号的描述1. 时域描述时域描述 (t)(0) 0：最小重复时间，称周期，T0=2/ 0，0：角频率。 简单的周期信号简单的周期信号，如正弦信号、其有单一的频率，又称为简谐周期信号。，如正弦信号、其有单一的频率，又称为简谐周期信号。 ( )sin()x tAt2022-4-65复杂的周期信号复杂的周期信号是由频率比为有理数的不同频率的正弦信号迭加而成是由频率比为有理数的不同频率的正弦信号迭加而成.其频率的比为有理数，所以，是周期函数，周期的确定根据各频率值的其频率的比为有理数，所以，是周期函数，周期的确定根据各频率值的最大公约数的倒数来确定。最大公约数的倒数来确定。11( )sinsin3sin524x tttttttf002sin21sin)(2022-4-662. 频域描述频域描述付里叶级数展开付里叶级数展开任何一个周期函数都可以进行付里叶级数分解，付里叶级数有两种形式任何一个周期函数都可以进行付里叶级数分解，付里叶级数有两种形式:注意:进行付里叶级数展开，应满足狄里赫利条件，即只有第一类间断点，有限个极值点 1. 三角函数形式：三角函数形式： 1001000)cos()sincos()(nnnnnntnAatnbtnaatf2022-4-67它表明周期函数由一个直流分量和无限个谐波分量组成，它表明周期函数由一个直流分量和无限个谐波分量组成，0称为基波角频率。称为基波角频率。 式中，式中，n为正整数；为正整数； 22nnnAabnnnbarctga , 2 , 1sin)(2, 2 , 1cos)(2)(1022002202200000000ntdtntfTbntdtntfTadttfTaTTnTTnTT技巧：任一周期上积分；奇函数时，an=0；偶函数时，bn=0；与正余弦波形联想记忆 .2022-4-682.复指数形式复指数形式：将三角函数形式中的正余弦用欧拉公式代换将三角函数形式中的正余弦用欧拉公式代换 cos2jjeesin2jjeej 带入并合并同类项带入并合并同类项 则：则：00000001011( )22222jnw tjnw tnnnnnjnw tjnw tnnnnnnjnw tjnw tnnnnnajbajbf taeeajbajbaeeajbec e00)2nnnajbCCa(令，2022-4-690202002( )sin(),sin()sin( ),)TTnnnnbf tnw t dtbnn aaT 式中，Cn称复指数形式的付里叶系数。0200201( )|2TnTnnjnw tj CnnajbCf t edtCeT221| |22nnnnnACCab10()0nnnnnnbCtgan2022-4-610 在两种形式的傅立叶级数中,An和 Cn、 n 和Cn都是频率的函数,我们称An、|Cn|为函数(信号)的幅频特性, n和Cn为信号的相频特性。a0或|C0|表示信号的直流分量,An或者|2Cn|表示n次谐波的幅值, n和Cn表示第n次谐波的相位, An和Cn. n和Cn相当于一个序列的通相. 若把An和Cn. n和Cn与频率的相应关系用坐标表示出来,则称之为信号的频谱.2022-4-611例:求方波信号的频谱 0002/2/011)(TtTTttf2022-4-612nnAb190nnnbtga000044( )sin(21)cos(21)90 (21)(21)kkf tkw tkw tkk解解:1展开为三角级数展开为三角级数: 0/20000n=(0)2( )sin.4,0,1,2,.(21)Tnevenbf tnw tdtTnodd kn0na2022-4-6132展成复指数傅立叶级数展成复指数傅立叶级数000/2/200,1( ).20, 1, 2,.(21)Tjnw tnTnCf t edtTnkjk 为偶数（零除外）， 为奇数，0(21)21( )0, 1, 2,.21jkw tkf tekjk 2022-4-614 比较两个频率可发现不同之处在于，复指数形式是将三角形式的每条谱线取半高移到左边轴的对称点处，复指数形式频谱中的负频率完全是数字变换的结果，没有实际的物理意义，只有把正负频率项成对的合并起来，才是实际的频谱函数。2022-4-615例：求信号的频谱例：求信号的频谱 10 | |/2( )0/2 | |2tf tTt2022-4-616解： 00000/2/2/2/2/2/20022000001( )1112sin2sin2sin ()22Tjnw tnTjnw tjnw tjnwjnwCf t edtTedteTTnw jnweeTnw jTnwnwnwcnwTT2022-4-617式中：式中：sinsin ( )xc xx 抽样函数，过零点处在k02| |sin () |0, 1, 2,.nwnCcnT 由此可以画出频谱 令|Cn|=0则有02nwk 即：0022(1,)0,1,.,TTTnwknkkknnw2022-4-618当n从0变到T/时，|Cn|第一次为0，在此区间内有(T/)+1条谱线（包含区间端点）,每条谱线的间隔为0002(1)2(,0)wnwnwwfTwT 设不变， 若T/=4 在0,2/ 有5条谱线。 若T/=8* 9条谱线 若T/=16*17条谱线。 随着T增加，wo减小，谱线间隔减小，谱线条数增加，|Cn|的幅值减小，但幅频线的包络不变，即各谱线间保持固定的比例关系，可以设想，若T,w00信号变成非周期信号，其频谱的变化在后面再讲。 2022-4-619周期信号频谱特点周期信号频谱特点 1离散性：每条谱线代表一个频率分量； 2谐波性：谱线出现在基波的整数倍频率上 3收敛性：谐波次数越高，谐波分量越小。 由收敛性可知，信号的中高次谐波分量很小，所以其对信号波形的影响很小，有时可以忽略。在一定的误差范围内，只考虑有限的频率分量：从0频率到所必须考虑的最高次谐波分量之间的频段称为信号的频带宽度频带宽度。信号的频带宽度是一个重要的概念，这在信号处理中，在设计和选用测试装置时要充分注意。 信号的频带指信号包含频率成份的范围。2022-4-6202.3 非周期信号的描述非周期信号的描述1准周期信号：由一系列频率比为无理数的正弦波组成，其频率谱为离散的，但不满足谐波性，例如：00( )sinsin2X tw tw t这种信号称为准周期信号。 2022-4-6212瞬变信号及傅立叶变换瞬变信号及傅立叶变换:(1)信号出现的时间信号出现的时间是是有限的，或有限的，或(2)随时间趋随时间趋于无穷信号是收敛的，在信号出现的期间，信号不呈现周期性，如电容于无穷信号是收敛的，在信号出现的期间，信号不呈现周期性，如电容的放电过程，对这种信号沿时间轴积分，其积分值存在，它所携带的能的放电过程，对这种信号沿时间轴积分，其积分值存在，它所携带的能量也是有限值量也是有限值,故称能量有限信号故称能量有限信号,如：如：2( )Eft dt 前面讲过一个周期信号，当周期T时，变成非周期信号，这时就不能用傅立叶级数展开了，但是信号中各频率成分的比例关系还是存在的，因此我们还希望研究信号的频率成分，这就需要借助于另外一种数学方法傅立叶变换傅立叶变换。 2022-4-622我们可以从周期函数的傅立叶级数展开，令T，导出非周期信号的展开式： 0000/2/20( )1( )jntnnTjntnTf tC eCf t edtT00000000/2/20/20/21( )( )1( )2TjntjntTnTjntjntTnf tf t edt eTf t edt e2022-4-623频线间隔：频线间隔： 0000(1)2/nnT0000/2/21( )( )2TjntjntTnf tf t edt e由定积分定义：01( )lim()mbnaxng x dxgx 当T0时，w为无穷小量dw,变量nw0由离散量变为连续量w:1( )( )21( )2j tj tj tj tf tf t edt edf t edt ed2022-4-624式中：( )( )1( )( )2j tj tFf t edtf tFed 将周期函数的复指数形式的傅立叶级数展开与非周期函数的傅立叶变换相比较，看出两点不同：（1）周期函数中所包含的频率成分，是基频w0的整倍数。而非周期函数中包含所有频率成分（无穷大），w是连续变量。（2）周期函数的傅立叶系数Cn能直接表示对应频率成分的幅值|Cn|和相位，而非周期函数的傅立叶变换F(w)反映的是单位频率宽度上的幅值| F(w) |和相位。所以又称F(w)为频谱密度函数。0( )jntnnf tC e对比2022-4-625一般的说，F(w)是个复数 ( )( )( )( ) |( ) |jRIFFjFFe 幅值谱密度 相位谱密度 22( )( )( )RIFFF-1-1-1( )tg,( )0( )( )( )tg,( )0,( )0( )( )tg,( )0,( )0( )IRRIRIRIRIRFFFFFFFFFFF 2022-4-626例：求矩形脉冲的傅氏变换 1| |( )20tf tother解： 2222( )( )1|sinc()2j tj tj tFf t edtedtej |( ) | |sinc() |2F当2k时： ( )0180或sinsinc( )xxxkx的过零点为|( ) |0F2022-4-6273傅立叶变换的主要性质傅立叶变换的主要性质 ( )( )F f tF w ( )2()F F tfw对称性质对称性质:证明： 1( )( )2jwtf tF w edw则： 1()( )2jwtftF w edw令变量t和w互换，有： 2()( )jwtfwF t edt ( )2()F F tfw若f(t)为偶函数，则 ( )2( )F F tf w2022-4-628例：求傅立叶变换例：求傅立叶变换解： 1| |( )sin ()( )220FTIFTtwf tcF wother 11( )sin ()2sin ()( )2211( ) ( )2()( )22|( )0ccccccccccx tc w twc w tF twwX wF F tfwf wwwwwwwX wother( )sin ()cx tc w t2022-4-629 延时性：若：延时性：若： ( )( )FTIFTf tF w 00()( )FTjwtIFTf tteF w 证明： 0000()000( ) ()()()( ) ( )jwtjw t tjwtjwtjw ujwtF f ttf ttedtf tteedtef u edueF f t 很显然，信号在时域平移，相对于信号中的各个频率成分产生了相移.2022-4-630例： 0000 0sin()sin()w ttw tw t延迟时间t0导致产生相移w0t0。 频移性：频移性：若 ( )( )FTIFTf tF w 则： 00( )()FTjw tIFTf t eF ww 即在时域乘以因子 0jw te（相移）导致频谱产生平移。 2022-4-631 卷积卷积 ( )( )FTIFTx tX 则 ( )* ( )( )( )FTIFTx th tXH 时域卷积时域卷积: 若 ( )( )FTIFTh tH ( )( )FTIFTx tX 则 1( )( )( )*( )2FTIFTx th tXH 频域卷积频域卷积: 若 ( )( )FTIFTh tH ( )* ( )( ) ()x th txh td定义式：2022-4-6324单位脉冲的傅立叶变换。单位脉冲的傅立叶变换。(1)定义（时域描述）定义（时域描述）00( )0ttt且 ( )1t dt-称为函数。 用它可对一些作用时间极小，但取值极大的物理现象进行描述，如云层之间的放电，瞬时间的冲击力等。定义中积分等于1，说明其强度为1，若强度为K的脉冲用k(t)表示。2022-4-633(t)的图示可用一长度为一个单位的线段来表示，线段位于原点，表示当时间t0=0有一冲激。若线段位于t=t0点，则可定义函数的延迟为： 0000()1tttttt积分的值为1 (2)函数的筛选函数的筛选(抽样、采样抽样、采样)性质性质：若任意函数f(t)在t=t0点连续，有 000( ) ()( ) ()f tttf ttt这是因为(t- t0)只有在t0点有值，所以有 0000( ) ()( )()( )f tttdtf tttdtf t2022-4-634由于经过此种处理，可将f（t）在任何时刻的值提取出来，所以称其为筛选性质，或抽样性质。当对信号进行采样时，采样的过程及采样后信号即可利用此种性质来进行描述，即 00( )()( ) ()NNiiiiif tttf ttt(3)函数的傅立叶变换：函数的傅立叶变换： 0( )( )1jwtwt edte这说明函数的频谱密度是常数1，即函数是各种等强度的各种频率成分所组成的。2022-4-635(4)函数在功率有限信号频率分析中应用函数在功率有限信号频率分析中应用a.直流信号： ( )12()2( )FTIFTt b.阶跃信号： 10( )00tu tt1( )( )Uj c.周期信号： 0( )jntnnf tC e0( )2()nnnFCnC 化成了求 由于函数的引用，使傅里叶变换成为分析一切功率有限信号的工具，计算机的出现使傅里叶变换在工程中的应用成为可能，而快速傅里叶变换（FFT）算法的出现，才真正使傅里叶频谱分析成为现实。有关FFT的论述请看第九章，更详细的论述请参考有关数字信号处理的书籍。 2022-4-636(5)脉冲序列的频谱（脉冲序列的频谱（p51,例例2.12）( )()TnttnT00002200( )111( )2( )2()()jntTnnTjntjnnTTTnnntC eCt edteTTTCnnT 频域脉冲强度是时域幅值的 倍22022-4-6373.3 随机信号的描述随机信号的描述随机信号：又称非确定性信号。无法用准确的数学关系式来描述，具有不确定性和事先的不可预知性。 但能用概率统计方法估计其参数。(把它放在随机过程里研究) 在概率论与数理统计中，主要研究一个或几个随机变量。在实践中还需研究依赖于某个参数（如t）的一族随机变量随机过程。 产生随机信号的物理现象成为随机现象。对随机现象的每一次长时间的观测所得到的时间历程称为样本函数xi(t)。有限时间区间上的样本函数称为样本记录。一个随机现象可能产生的全部样本函数的集合（也称为总体）称为随机过程x(t)。2022-4-638.随机过程的描述随机过程的描述由同一试验条件下所有样本函数的集合才能定义一个描述随机现象的随机过程，表示成： 12 ( ) ( ),( ),.,( ),.nx tx tx txt总体平均值(集平均)： 11( )lim( )NxiNitx tN自相关函数(两时刻瞬时值乘积的总体平均,描述两不同时刻之值的相关性)： 11( ,)lim( )()NxxiiNiRt tx t x tN一般总体平均值和自相关函数都将随t的改变而变化,这样的过程成为非平稳随机过程非平稳随机过程. 2022-4-639( )( ,)( )xxxxxxtRt tR这也就是说，该随机过程的观测时间起点可以式任意的，其统计特性不随观测时间点改变而改变，这样的随机过程称作平稳随机过程平稳随机过程。（否则为非平稳随机过程） 若对平稳随机过程的某一个样本进行分析，可求出该样本按时间的平按时间的平均值均值及自相关函数自相关函数。 01( )lim( )TxkTkxt dtTK表示第k个样本。 ( )( ,)xxxtRt t若和不随t的改变而变化,即：2022-4-64001( , )lim( )()TxxkkTRkxt xtdtT若 (1)(2).xxxuuu(1)(2).xxxuuu( 1)( ,2).( )xxxxxxRRR，即总体统计特性(各样本函数之间统计)和单一样本沿时间轴的统计特性一致，则称该平稳随机过程是各态历经随机过程各态历经随机过程，即任一个样本都可以把整体的各种可能出现的情况显示出来。 对于各态历经随机过程，所有统计特性可以用单个样本函数上的时间平均来计算，这样就使分析处理简化了。在一般工程上遇到的随机信号很多具有或近似具有各态历经性质。2022-4-641描述随机过程采用统计平均法。可以从三个域中用下列统计描述随机过程采用统计平均法。可以从三个域中用下列统计特征参数或函数描述：特征参数或函数描述： 幅值域： 平均值，方差，均方值，概率密度，联合概率密度等。 时间域：自相关，互相关函数等。频率域：自功率谱，互功率谱，相干函数等。二二.幅值域描述幅值域描述1平均值： 01lim( )TxTux t dtT直流分量 2022-4-6422方差： 2201lim ( )TxxTx tudtT波动程度3均方值： 2201lim( )TxTxt dtT信号的强度或平均功率 4概率密度函数：x(t)的瞬时值落在某一个 ( ,)x xx 的区间内的概率 222xxx2022-4-643( )limxTTP xx txxT 概率密度： ( )1( )limlim lim00P xx txxTxxxxTxxT 式中： T观测时间1nxiiTt表示信号幅值在T时间内落在( ,)x xx 区间的总时间。2022-4-644信号落在某幅值域的概率：2112( )( )xxP xx txx dx5联合概率密度函数： 001( , )limlimxyxTyTp x yx yT 式中Txy表示在测试时间T内信号x的幅值落在(x,x+x)内，且y落在(y,y+y)的总时间。上式表示信号的幅值在指定范围内变化的概率。用信号幅值的概率分布规律，可判断信号的性质，比如说是否包含周期性的正弦成分等 2022-4-645三时域描述：三时域描述：1自相关函数自相关函数 01( )lim( ) ()TxxTRx t x tdtT基本性质：(1)偶函数， ( )()xxxxRR(2)在时间0点有最大值，等于均方值， 2(0)xxxR相关系数可描述任意两变量之间的线性相关程度。把这一概念推广到信号分析中，就可引出自相关、互相关函数、相关系数函数的概念。 “相关”是指变量之间的线性关系。2022-4-646(3)若( )()f tf tT则 ( )()xxxxRRT-周期函数的自相关函数仍是同周期的周期函数 例： 0000200020( )sin()1( )limsin() sin()limcoscos(2)2 2cos2TxxTTTx tAw tRAtAtdtTAtwtdtTA Rxx()不反映相位信息，只反映幅值。2022-4-647(4)若f(t)=c 则：Rxx()=c2(5)对随机信号： 2| |. lim( )xxxaRub若x(t)中包含周期分量，Rxx()中存在同周期的分量。应用应用：用于检测周期信号的存在。由性质知，自相关函数有助于检测混淆在随机过程中确定性周期信号。 2022-4-6482互相关函数互相关函数定义： 01( )lim( ) ()TxyTRx t y tdtT基本性质：Rxy在=d处出现峰值，（d反映了两信号间的时间差或相位差，即两信号之间主传输通道的滞后时间），这时两信号相似程度最大，相关程度最高。 ( )()xyyxRR两个周期相同的周期信号的互相关函数仍是周期函数，其周期不变且相位信息不丢失。 非偶、非奇，且2022-4-649例： 00( )sin()( )sin()xyx tAty tBt则： 000( )cos()cos()22yxxyyxABABR 对随机信号x(t),y(t).lim( )xyxytaRu ub.若x(t),y(t)中含有同频信号，则时，会呈现同频周期成分。c.若x(t)与y(t)统计独立，当x(t)、y(t)具有零均值时， ( )xyxyRu u( )0 xyR否则2022-4-6503相关系数（函数）相关系数（函数）22( )( )( )( )(0)(0)(0)(0)xyxyxyxyxyxyxyxxyyxxxyyyCRRCCRR 且在零均值时互相关系数可理解为归一化的相关函数。 1( )1xy ( )( )(0)(0)xyxyxxyyRRR2022-4-651互相关应用：互相关应用：(1)同频检测，用于动平衡技术。求不平衡力的大小和方位角不平衡引起的振动 ：0( )sin()my tyw t轴承座上取参考： 10( )sinmx tzw t20( )sin(90 )mx tzw t10( )cos()2mmx yz yRw1(0)cos2mmx yz yR200( )cos(90 )sin()22mmmmx yz yz yRw tw 2(0)sin2mmx yz yR2022-4-65212222(0)(0)()2mmx yx yz yRR122211222(0)(0)(0)(0)(0)(0)mx yx ymx yx yx yx yyRRzRRtgarctgRR(2)滞后时间的测量。(3) 管道泄漏,噪声源,地震源,核爆炸源等位置的探测.t0=d/v.(4)速度的测量等 随机信号既不是能量有限，又不是严格的功率有限信号，因此，原则上讲不能进行傅立叶变换。截断后绝对可积。四频率域描述四频率域描述2022-4-6531有限傅氏变换：有限傅氏变换：222( )( )TjftTTTXfxt edt2自功率谱密度函数自功率谱密度函数22( )( )( )( )jfxxxxjfxxxxSfRedRSf edf 均值为零的随机信号的自相关函数满足绝对可积条件，可进行傅氏变换。随机过程的某一个样本记录的频谱密度函数。工程中角频率改用频率，单位用Hz自谱是实偶函数。不反映相位信息2022-4-654( )xxSf 的意义：功率谱密度沿频率域的分布.201(0)lim( )( ),( )TxxxxTxxRx t dtSf dfTSf平均功率曲线下的面积表示单位频率上的功率3.( )( )xxTSfXf与的关系：222222*( )( )( )( )11lim( )lim( )1(0)lim( )( )( )( )( )1( )limlimlim( )( )TTTTTTxxTxTTTTxT kT kTTTxt dtXfdfxt dtXfdfTTRxt dtSf dfTXfXf XfSfE Xf XfTTT因所以取N个样本记录再平均更为严密。E代表对所有样本的平均Parseval定理：时域总能量=频域总能量2022-4-6554.互功率谱密度函数：互功率谱密度函数：22( )( )( )( )jfxyxyjfxyxySfRedRSf edf 5相干函数（凝聚函数）相干函数（凝聚函数）2222|( )|( )|( )(0( )1)( )( )( )( )xyxyxyxyxxyyxxyySfGfffSf SfGf Gf*( )( )1( )lim( )( )xyT kT kTSfE Xf YfT可以证明单边谱：2( ),0( )02( ),0( )0,xxxxxyxySffGfSffGf 其余其余2022-4-6566频响函数频响函数*()( )()( )()( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )xyxyxxxxY jwY fH jworH fX jwX fSfGfY f XfH fX f XfSfGf相干函数=0：输出与输入不相干；相干函数=1：输出与输入完全相干，对线性系统，输出完全是由输入引起的响应。相干函数=01有三种可能:有外界干扰；输出y(t)是输入x(t)和其它输入的综合输出；非线性系统。2022-4-657(1)各阶固有频率的识别频谱分析的工程应用频谱分析的工程应用 (2)振型分析:在结构上合理地布置测点，通过对各测点振动位移的幅值谱或功率谱和互谱分析，可获得结构振动的各阶振型。幅值谱或功率谱可以给出每个测点在各频率点上相应的幅值大小，而通过互谱则可建立起各测点与某特定参考点间相对的相位关系（也是各测点间的相对相位关系），这样就确定了结构在各阶振动频率下的振型。 (3)机械状态监测与故障诊断:各种故障有其特定的频谱特征. (4)查找各种振动源和噪声源 (5)在系统分析和响应计算中的应用