锐角三角函数课课件

28.1锐角三角函数学习目标、重点、难点【学习目标】1.初步了解正弦、余弦、正切概念.2.能较准确地用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比.3.熟记30、45、60角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数.【重点难点】1.正弦，余弦，正切概念2.用含有几个字母的符号组sinA、cosA、tanA表示正弦，余弦，正切知识概览图锐角三角函数锐角三角函数的定义：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数特殊角的三角函数值 同角、互为余角的三角函数关系sin2 Acos2 A1sin(90A)cos A，cos(90A)sin A锐角三角函数值的变化情况及取值范围正弦(正切)值随角度的增大而增大余弦值随角度的增大而减小Osin 1，0cos 1(090)tan0(090)，新课导引 【生活链接】 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地实行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是30，为了使出水口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管? 【问题探究】 这个问题能够归结为：如右图所示，在RtABC中，C90，A30，BC35 m，求AB根据“在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半”，即，可得AB2BC70 m，也就是说，需要准备70 m长的水管在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管?教材精华知识点1 当锐角A的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定的值 (1)任意画一个锐角A，在锐角A的一边上任取一点B，自点B向另一边作垂线，垂足为C，从而得到一个RtABC，如图281所示RtABC中的三条边每两边构成一个比，一共能够得到如下六个比例式：(2)在锐角A的AB边上再另取一点B1，自点B1向另一边作垂线，垂足为C1，从而得到另一个RtAB1C1，RtAB1C1中的三条边也构成如下六个比例式：, .那么由两个直角三角形所得到的对应比有怎样的关系呢? BCAC，B1C1AC1，BCB1C1，RtABCRtAB1C1， 都为定值 点B1在AB边上是任取的，前面的操作方法具有普遍性 当锐角A的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定的值知识点2 正弦和余弦的定义 由知识点1可知，当锐角A固定时，A的对边与斜边的比值是一个固定的值，A的邻边与斜边的比值也是一个固定的值 在RtABC中，设C90，A，B，C的对边分别为a，b，c，如图282所示 (1)我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦记作sin A，即sin A. (2)我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦记作cos A，即cos A.拓展 (1)正弦、余弦都是一个比值，是没有单位的数值(2)正弦、余弦只与角的大小相关，而与三角形的大小无关(3)sin A，cos A是整体符号，不能写成sinA，cosA(4)当用三个字母表示角时，角的符号“”不能省略，如sinABC(5)sin2 A表示(sin A)2，而不能写成sin A2(6)三角函数还能够表示成sin，cos等探究交流 计算30，45，60角的正弦、余弦值 点拨 如图283所示，在RtABC中，C90，A30，B60 由在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半， 可知BCAB，再由勾股定理AB2BC2AC2，得AB2AC2(AB)2，即AC2AB2，ACAB，sin A，cos A即sin 30，cos 30类似地，sin 60,cos 60. 如图284所示，在RtABC中，C90，A45，B45 CBCA，由勾股定理AB2BC2AC2， 得ABBCAC，即 sin A，cos A，即sin 45cos 45.知识点3 正切的定义 由知识点1可知，当锐角A固定时，A的对边与邻边的比值是一个固定的值，如图285所示 在RtABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切记作tan A，即tan A.拓展 (1)正切是一个比值，是一个没有单位的数值(2)正切只与角的大小相关，而与三角形的大小无关(3)tan A是整体符号，不能写成tanA(4)当用三个字母表示角时，角的符号“”不能省略，如tanABC(5)tan2A表示(tan A)2，而不能写成tan A2(6)三角函数也可以表示成tan 等探究交流 计算30，45，60角的正切值点拨 如图286所示，在RtABC中，A30，B60，C90 BCAB，ACAB；tan A.类似地，tan B.即tan 30，tan 60.如图287所示，在RtABC中，C90，A45，B45 AB，CACB， tan A1，tan B1，即tan 451知识点4 锐角三角函数的定义 锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数 (1)三角函数的实质是一个比值，这些比值只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化 (2)由定义可知，0sin A1，0cos A1，tan A0 令ysin A，ycos A，ytan A，则函数中自变量的取值范围均为0A90 函数的增减性分别为： ysin A在自变量的取值范围内，y随A的增大而增大 ycos A在自变量的取值范围内，y随A的增大而减小 ytan A在自变量的取值范围内，y随A的增大而增大(3)常见的特殊角的三角函数值如下表：锐角三角函数304560sincostan1拓展 (1)锐角的三个三角函数都是一个比值当锐角不变时，该角的正弦、余弦、正切值也不变 (2)锐角的三角函数值与角的两边的长短无关 (3)当锐角A所在的三角形不是直角三角形时，可适当地作辅助线，构造出直角三角形，从而求出sin A，cos A，tan A知识点5 同角三角函数之间的关系如图288所示，在RtABC中，C90，令A，则sin，cos a，tan (1)平方关系sin2cos2()2()2，又a2b2c2，sin2cos2 1(2)商数关系，tan ，tan 拓展 对公式sin2cos 21(为锐角)的理解与应用要注意：sin2代表的含义是sin的平方(即比值的平方)，书写格式应为sin2，而不是sin2知识点6 互为余角的三角函数关系观察下列等式： sin 30=cos 60，sin 45cos 45 cos 30=sin 60，cos 45sin 45 不难发现等式有下面三个特点：(1)三角函数名称互换，即正弦变余弦，余弦变正弦；(2)角度互余；(3)三角函数值相等 上述规律可以推广到任意锐角，即sin Acos(90A)，cos Asin(90A) 用语言叙述上述规律为：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值拓展 对公式sin Acos(90A)和cos Asin(90A)的理解要注意以下两点： (1)A为锐角 (2)在RtABC中，C90，A的邻边与斜边的比，实际上就是B(即90A)的对边与斜边的比规律方法小结 求锐角三角函数值时，应构造一个直角三角形，运用数形结合思想来解决数量问题课堂检测基础知识应用题 1、在RtABC中，C90，AC4，BC3，则cos B的值为 ( ) A. B C D 2、在RtABC中，C90，sin A，则BC：AC等于 ( ) A3：4 B4：3 C3：5 D4：5 3、在RtABC中，如果各边都缩小4倍，则锐角A的正切值 ( )A缩小4倍 B扩大4倍 C没有变化 D不能确定 4、如图2810所示，在RtOPQ中，求sin P，cos P，sin Q，cos Q的值 5、在RtABC中，C90，AC12，BC5 (1)求AB的长； (2)求sin A，cos A的值； (3)求sin2 Acos2 A的值； (4)比较sin A与cos B的大小； (5)比较tan A与的大小 6、在RtABC中，C90，sin A，则cos B的值为 ( ) A B C D 7、sin 30cos 60cos 45tan 60tan 30 8、若sin 2m3(为锐角)，求m的取值范围 综合应用题 9、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，0)和点B(0，4)，则cosOAB等于 ( ) A B C D10、如图2812所示，已知ABC的两边长AC3，AB5，且第三边长BC为关于x的方程x24xm0的两个正整数根之一，求sin A的值 11、已知关于x的一元二次方程x2mxn0的两个根分别是一个直角三角形两锐角的余弦值，且n，求m，n的值12、已知ABC的三边a，b，c中，b5，c3，锐角的正弦值是关于x的方程5x215xax3a0的一个根，试求a的取值范围 13、已知090，且关于x的方程x22xtan 30的两个根的平方和等于10，求以tan ，为根的一元二次方程 14、如图2813所示，在ABC中，B30，C45，ABAC2，求BC的长 15、如图2814所示，在菱形ABCD中，AEBC于E，EC1，sin B，求四边形AECD的周长 探索与创新题 16、用几何方法求tan15的值 17、曙光中学有一块三角形形状的花圃，现可直接测得A30，AC40米，BC25米，请你求出这块花圃的面积 18、阅读下面的材料，再回答问题 三角函数中有常用公式：sin(AB)sin Acos Bcos Asin B，求sin(AB)的值 例如：sin 75sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30 .试用公式cos(AB)cos Acos Bsin Asin B求cos 75的值 19、(1)如图2818所示，在ABC中，B，C均为锐角，其对边分别为b，c，求证； (2)在ABC中，AB，AC，B45，则这样的ABC有几个?请作出来(不写作法和理由)，并求出C的度数 体验中考 如图2820(1)所示，在正方形网格中，sinAOB等于 ( )A B C D2 学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 由勾股定理可知AB5，根据余弦的定义可知cos B，即cos B故选B2、分析 根据题意画出图形，如图289所示，由正弦的定义可知sin A，即sin A，故可设BC3 k，AB5 k(k0)，由勾股定理可知AC 4 k，BC：AC(3k)：(4k)3：4故选A【解题策略】 本题中BC：AC的值实际上是A的正切值，即tan A，可借助图形来解决问题3、分析 锐角A的正切值是一个比值，它只与A的大小有关，而与ABC的大小无关故选C.4、分析 无论直角三角形如何放置，其顶点字母如何标记，正弦值总是等于这个锐角的对边比斜边，余弦值总是等于这个锐角的邻边比斜边，本题已知直角边长，应先求斜边长 解：在RtOPQ中，O90，OP，OQ2， 由勾股定理,得PQ， sin P，cos P， 同理，sin Q，cos Q.【解题策略】 此类问题考查的是三角函数的定义与特征，数形结合思想是解决此类问题时常用的思想方法5、解：(1)C90，AC12，BC5，AB13 (2)sin A,cos A (3)sin2 Acos2 A()2()21 (4)cos B，sin Acos B (5)tan A，tan A【解题策略】 解答本题的关键是正确理解锐角三角函数的概念，并找准相应的边6、分析 利用特殊角的三角函数值即可求得cos B的值在RtABC中，sin A，A60，B30，cos Bcos 30.故选C.【解题策略】 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即sin Acos(90A)任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，即cos Asin(90A)，同时有sin2cos21(为锐角)，tan7、分析 sin 30cos 60cos 45tan 60tan 3011故填.【解题策略】 解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值8、分析 由为锐角，0sin 1，知02m31，由此可求得m的取值范围 解：090，0sin 1，即02m31，m2【解题策略】 当为锐角时，正弦值随着a的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着的增大(或减小)而减小(或增大)9、分析 如图2811所示，易知OA3，OB4，则AB 5，此时cosOAB故选C. 【解题策略】 本题从表面上看是三角函数与平面直角坐标系的综合应用，实际上还是在直角三角形中研究边与角的关系，注意运用转化思想来求解10、解：设x1，x2是关于x的方程x24xm0的两个正整数根，由根与系数的关系可知x1x24，x1x2m 又x是正整数，x11，x23，或x1x22，或x13，x21， BC只能取1，2，3 根据三角形三边之间的关系可知53BC53， 即2BC8，BC3过点C作CDAB，垂足为D， ACBC3，ADAB52.5 在RtACD中，ADC90，CA3，AD2.5， CD， sin A.【解题策略】 解题的关键是先根据根与系数的关系求出BC的值，再构造直角三角形求出sin A的值 11、分析 利用两锐角的余弦值、根与系数的关系组成方程组，求得m，n的值，再检验m，n是否符号题意.解：设方程x2mxn0的两个根分别为cos，cos(90)， 由根与系数的关系得 90，cossin ， 将两边同时平方，得12sin cos m2， 把代入，得12nm2，m22n10 又n，即m5n10， 解得或 当m11，n10时，sin cos m10，应舍去，即 【解题策略】 此题综合运用根与系数的关系以及锐角的三角函数值来求解12、分析 对于a，实际上有两个限制条件：(1)a是ABC的一边，则53a53，即2a8；(2)由5x215xax3a0，得(x3)(5xa)0，因为sin 是该方程的根，所以必有5sin a0，即a5sin ，再由sin 来确定a的取值范围 解：由5x215xax3a0，得(x3)(5xa)0， x13，x2sin 是该方程的根，且0sin 1(是锐角)，sin ，即a5sin ，0a5 又a是ABC的一边，bcabc， 即53a53，2a8， 由得a的取值范围是2a5【解题策略】 此题综合运用了锐角正弦值的取值范围以及三角形的三边关系，这些都是确定不等关系的依据13、分析 构造一元二次方程的关键是求tan 和tan 的值，故应由已知条件求出的度数 解：设x1，x2是方程x22xtan 30的两个根. 由根与系数的关系可知x1x22tan ，x1x23 x12x2210，(x1x2)22x1x210， 即(2tan )22(3)10，4tan2 4，tan 1 又090，tan 1不符合题意，舍去， tan 1，45, ， tan1，tan 1， 以tan，为根的一元二次方程是x2(1)x0.【解题策略】 此类题是锐角三角函数与一元二次方程的有关知识相结合的题目，主要考查综合运用知识的能力14、分析 BC不在直角三角形中，故应作辅助线将其转化到直角三角形中，因此可作ADBC，垂足为D，此时分BC的两条线段CD，BD可分别在RtACD和RtADB中求得 解：过A作ADBC，垂足为D 在RtACD中，sin C，C45， ADACsin CACsin 45AC 在RtADB中，sin B，B30， sin 30，ADABsin 30AB 由可知ACAB，ABAC 又ABAC2，ACAC2，AC. cos C，CDACcos Ccos 451 cos B，BDACcos Bcos 302BC=CDDB=1.【解题策略】 对于非直角三角形，常通过添加辅助线构造直角三角形来求解15、分析 要求四边形的周长，就要知道各边长，利用勾股定理及三角函数值可求得各边长 解：在菱形ABCD中，ABBCCDDA AEBC，AEB90 在RtABE中，sin B， 设AE5x，则AB13x，由勾股定理得BE12x， EC1，BCBE1， 即ABBE1，13x12x1，x1， ABBCCDDA13，AE5，EC1， 四边形AECD的周长为AEECCDDA51131332【解题策略】 解此类问题时，首先应明确所求的边(或角)在哪个三角形中，然后根据图形并结合已知条件选择合适的方法来求解16、分析 同求30，45，60角的三角函数值一样，要把15角放在一个直角三角形中，如图2815所示，考虑到1530，所以可以通过构造BDC30，从而表示出各边长 解：作如图2815所示的直角三角形， 使C90，A15，在AC上取一点D，使BDC30， BDCADBA，DBA15，DADB 设BCx，则BDDA2x，DCx， ACADDC2xx(2)x. 在RtACB中，tan15. 【解题策略】 此题的方法使我们进一步加深了对锐角三角函数的概念的理解，此题的方法还可以用来求75角的三角函数值17、解：如图2816所示，过点C作CDAB，垂足为D， 在RtADC中，A30，AC40， CD20，ADACcos 3020(米) 在RtCDB中，CD20，CB25， DB15， SABCABCD(ADDB)CD (2015)20200150(米2) 如图2817所示，过点C作CDAB，交AB的延长线于D， 由可知CDAC20，AD20，BD15， SABCSADCSBDCADCDBDCD(AD BD)CD(2015)20200150(米2) 【解题策略】 解此题的关键是应用分类讨论思想，千万不要忽略第二种情况18、分析 欲求cos 75的值，必须牢记特殊角的三角函数值，然后代入已知公式求解即可 解：cos(AB)cos Acos Bsin Asin B， cos75cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30 . 【解题策略】 解此题的关键是将75分解为45和30的和19、证明：(1)过点A作ADBC于D， 在RtABD中，ADABsin B，即ADcsin B， 在RtACD中，ADACsin C，即ADbsin C， csin Bbsin C，. 解：(2)符合条件的ABC有两个，如图2819所示的ABC1和ABC2， 此时AC1B120或C260【解题策略】 解此题的关键是将斜三角形转化为直角三角形体验中考分析 如图2820(2)所示，设ODl，则CD2，从而由勾股定理得OC=，sinAOBsinCOD故选B【解题策略】 解此题的关键是找出锐角AOB所在的直角三角形28.2.1解直角三角形学习目标、重点、难点【学习目标】 1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形2会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决【重点难点】 1.直角三角形的解法2.三角函数在解直角三角形中的灵活运用3.实际问题转化成数学模型.知识概览图解直角三角形的定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程三边关系：a2b2c2(勾股定理)解直角三角形直角三角形的有关性质两锐角关系：两锐角互余边角关系：三角函数30角所对的直角边等于斜边的一半解直角三角形的基本类型及方法两边一角：由勾股定理求另一边，再求角一边一角：由三角函数求另两边，再求角新课导引 【生活链接】如右图所示，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足5075，现有一个长6 m的梯子 (1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙?(结果保留小数点后一位) (2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角a等于多少?这时人是否能够安全使用这个梯子?(结果保留整数) 【问题探究】 对于问题(1)，当梯子与地面所成的角为75时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能安全攀到的最大高度，即在RtABC中，已知A75，斜边AB6，求A的对边BC的长由sin A，得BCABsin A6sin75由计算器求得sin 750.97，BC60.975.8(m)那么对于问题(2)，该如何求解呢?教材精华知识点1 解直角三角形的概念 如图2830所示，在RtABC中，C90，A50，c5，如何求B，a，b呢? 由AB90，A50，得B90A40 由sin A，得acsin A5sin 5050.76603.83 由cos A，得bccos A5cos 5050.64283.214 上述问题中，除直角外，已知一条边和一个锐角，求另外两条边和一个锐角，于是有： 一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形拓展 直角三角形中一共有六个元素，即三条边和三个角，除直角外，另外的五个元素中，只要已知一条边和一个角或两条边，就可以求出其余的所有未知元素知识点2 解直角三角形的理论依据 在RtABC中，C90，a，b，c分别为A，B，C的对边 (1)三边之间的关系：a2b2c2(勾股定理) (2)两锐角之间的关系：AB90 (3)边角之间的关系：sin A，cos A，tan A，sin B，cos B，tan B. (4)直角三角形中的有关定理 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半 直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30 直角三角形中，斜边上的高是这条高分斜边所得两条线段的比例中项如图2831所示，在RtABC中，ACB90，CDAB，垂足为D，则CD2ADDB同理AC2ADAB，CB2BDBA面积公式：如图2831所示，SABCCACBABCD拓展 运用关系式解直角三角形时，常用到下列变形：(1)锐角之间的关系：A90B，B90A(2)三边之间的常用变形：a，b，c. (3)边角之间的常用变形：acsin A，bccos A，abtan A，accos B，bcsin B，batan B.知识点3 解直角三角形的基本类型及其解法解直角三角形有四种基本类型：(1)已知斜边和一直角边；(2)已知两直角边；(3)已知斜边和一锐角；(4)已知一直角边和一锐角其解法步骤列表如下：图 形已知类型已知条件解法步骤两边斜边，一直角边(如c，d)(1)b (2)由sin A，求A(3)B90A两直角边(如a，b)(1)c (2)由tan A，求A(3)B90A一边一角斜边，一锐角(如c，A)(1)B90A(2)由sinA，求acsin A(3)由cos A，求bccos A一直角边，一锐角(如a，A)(1)B90A(2)由tanA，求b (3)由sin A，求c 拓展 虽然求未知元素时可选择的关系式有很多种，但为了计算方便，最好遵循“先求角后求边”和“宁乘不除”的原则规律方法小结 本节知识利用数形结合思想，将锐角三角函数运用到直角三角形中使问题得以解决，在解决问题时，有时也会用到分类讨论思想课堂检测基础知识应用题 1、根据下列条件解直角三角形(结果保留小数点后两位) (1)在RtABC中，C90，a5，c5； (2)在RtABC中，C90，c4，A60；(3)在RtABC中，C90，a6，b2 ；(4)在RtABC中，C90，b15，A426 2、如图2832所示，在等腰三角形ABC中，ABAC，BAC40，BC10，求它的腰长和底角(腰长保留小数点后两位) 3、如图2833所示，在ABC中，D为AB的中点，DCAC，且tanBCD，求A的各个三角函数值 4、如图2834所示，在RtABC中，C90，ABC45，D为AC边上一点，DBC30，CD12，求AD的长和ABD的面积(长度保留小数点后一位，面积保留小数点后两位) 5、如图2835所示，在RtABC中，C90，D是BC边上一点，AC2，CD1，设CAD (1)求的各个三角函数值； (2)若B，求BD的长 6、在RtABC中，C30，a10，且SABC，求A 7、已知17cos A13cos B17，17sin A13sinB，且A，B都是锐角，求AB的值 8、已知关于x的方程5x210xcos7cos60有两个相等的实数根，求边长为10，且两边夹角为的菱形的面积 综合应用题 9、如图2837所示，在RtABC中，ACB90，CDAB于D，AD6，BC4，解这个直角三角形 10、如图2838所示，在四边形ABCD中，AB2，CD1，A60，DB90，求四边形ABCD的面积 11、如图2840所示，在RtABC中，C90，ACBC，AD是BC边上的中线，求证cosBAD和sinBAD是一元二次方程10x24x30的两个根 12、如图2841所示的是某型号飞机的机翼形状，其中ABCD，根据图中的数据计算AC，BD和CD的长度(结果保留根号) 13、如图2842所示，某货船以20海里时的速度将一批重要的物资由A处运往正西方向的B处，经过16小时到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知：一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60(即NAC60)方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响 (1)B处是否会受到台风的影响?请说明理由； (2)为了避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(参考数据：1.4，1.7) 探索与创新题 14、如图2843所示，在ABC中，C90，AC8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若cosBDC，则BC的长是 ( ) A4 cm B6 cm C8 cm D10 cm 15、如图2844所示，在等腰直角三角形ABC中，C90，AC6，D是AC边上一点，若tanDBA，则AD的长为 ( ) A B2 C1 D2 16、如图2845所示，在ABC中，已知A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证SABCabsin Cbcsin Aacsin B 17、在ABC中，ABAC，它的一个外角为80，底角平分线的长为cm，求腰上的高 18、如图2847所示，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整的地带，该建筑物顶部的宽度AD和高度DC都可以直接测得，从A，D，C三点可看到塔顶H，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪(1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶距地面的高度HG的方案，具体要求如下：测量数据越少越好；在所给图形上画出你所设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上；(如果测A，D间的距离，用m表示，如果测D，C间的距离，用n表示，如果测角，用，等表示，测角仪器的高度不计)；(2)根据你所测得的数据，计算塔顶H距地面的高度HG(用字母表示) 19、如图2849所示，在四边形ABCD中，ABC120，ADBA，CDBC，测得AB30，CB50，求四边形ABCD的面积 体验中考 1、2sin 30的值等于 ( ) A1 B C D22、如图2854所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为 ( ) A5cos B C5sin D 学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 (1)是已知斜边和一直角边解直角三角形；(2)是已知斜边和一锐角解直角三角形；(3)是已知两直角边解直角三角形；(4)是已知一直角边和一锐角解直角三角形 解：(1)sin A，A45， B90A45， AB45，ba5 (2)A60，B90A30 sin A，acsin A4sin 6046， b. (3)C90，ab，b2， c. tan A,A60， B90A906030 (4)A426，B90A904264754 tan A，abtan A15tan 426150.903613.55 又cos A，c20.22【解题策略】 (1)解直角三角形时，应求出所有未知元素(2)尽可能选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解(3)若需要使用计算器计算，则计算结果应符合题目要求的精确度2、分析 由于ABC是等腰三角形，所以作底边BC上的高，可得到两个全等的直角三角形，解其中的RtABD，不难求得ABC的腰长和底角 解：过点A作ADBC，垂足为D， ABAC，BC10，BAC40， BDBC5，BADBAC20， BC70 在RtABD中，sinBAD， AB14.62， 即ABC的底角为70，腰长约为1462 【解题策略】 解有关等腰三角形的题目时，常常作出底边上的高，转化为解直角三角形3、分析 已知tanBCD的值，但BCD不在直角三角形中，若过点D作DEBC于E，则RtCDE与RtACD不易建立起联系，若过点D作DECD交BC于E，则DEAC，又点D是AB的中点，DEAC，此时两个直角三角形的边长之间建立起了联系 解：过点D作DECD交BC于E，则DEAC 点D是AB的中点，DEAC 设DEx，则AC2x 又tanBCD，CD3x 在RtACD中，ADx， sin A，cos A tan A 【解题策略】 解此类题时，首先应明确所求的边(或角)在哪个直角三角形中，若没有直角三角形，应构造出直角三角形，再解决问题4、分析 由已知条件可得ACBC，ADACDC，因此先解RtDBC 解：在RtDBC中，DBC30，CD12 tanDBC， BC121.73220.8 C90，ABC45，BAC904545 ABCBAC，CACB208， ADACCD208128.8 SABDADBC8.820891.52 【解题策略】 钝角三角形的高有的在三角形的外部，所以要注意SABDADBC5、分析 (1)在RtADC中，由勾股定理求出AD的长，则的各个三角函数值可求(2)若B，则有tan Btan，可求出BC的长，则BD可求 解：(1)在RtADC中，C90，AC2，DC1， AD=， sin，cos，tan . (2)B，tan Btan. 又tan B，AC2，BC4， BDBCDC413【解题策略】 若所求的问题不能直接求出，可转化为先解其他的直角三角形，再求解6、分析 解此题的关键是判断A，B中哪个角是直角，故应分类讨论 解：当A90时，aBC10，AB5，AC5， SABCACBA55， 与已知条件SABC矛盾，故A90 当B90时，aBC10， tan C，ABBCtan C10tan 3010. SABCBCAB10，符合题意， A90C60 综合可知A607、分析 从题面上看，若将正弦化为余弦，再解方程，实际操作起来比较困难，如图2836所示，可构造ABC，并将ABC化分为RtACD和RtBCD，17sinA和13sin B均可看作高线CD的长，则17cos A13cos B正好为ADDB17 解：如图2836所示，作ABC，使ABAC17，BC13， 过点C作CDAB，垂足为D，则CD17sin A13sin B， AD17cos A，BD13cos B，且17cos A13cos BAB17， ABC为满足题意的三角形 ABAC，BACB， A2B180，即AB90 【解题策略】 解此题的关键是作CDAB于D，转化为RtACD和RtBCD，再利用锐角三角函数的知识来解决问题规律方法 观察题中的已知条件，联想它的几何图形，构造出符合条件的几何图形，将“数”转化为“形”，这是数形结合思想的应用，也是数学中的一种主要解题方法，它可使问题显得直观，便于解决8、分析 由一元二次方程有两个等根，即0，可求得cos，再转化为sin，即可求出菱形一边上的高，于是可求出菱形的面积 解：关于x的方程5x210xcos7cos60有两个相等的实数根， (10cos)245(7cos a6)0， 即5cos27cos 60，cos或cos2 0cos1，cos2不符合题意，舍去，cos 又sin2cos21，sin2，sin 又0sin1，sin不符合题意，舍去，sin， 菱形一边上的高为10sin108， S菱形10880【解题策略】 此题通过作菱形的高转化为已知直角三角形中锐角的正弦值和斜边求该锐角所对的边(即菱形的高)，从而可求出菱形的面积9、分析 要解RtABC，需要(除直角外)两个条件，已知条件中有一条边BC4，还需要一个条件(边或角)，而这个条件应从另一个已知条件中得到，由已知可得到BDCBCA，则BC2BDAB，其中BDABADAB6，从而可得到所需的另一个条件 解：在RtABC中，ACB90， CDAB于D，CDBACB90 又BB，BDCBCA， ，BC2DBAB， 即(4)2(ABAD)AB， 48(AB6)AB， 即AB26AB480， AB8或AB2(舍去) sinA， A30，B90A60 cosA，ACABcos A8cos 30812 【解题策略】 借助三角形相似得出边与边的关系，再解直角三角形，从而求出相应的边或角10、分析 由已知B90，A60，可联想到延长BC，AD，使它们相交，从而构成直角三角形 解：如图2839所示，延长BC，AD相交于点E， B90，A60，E30 在RtABE中，AE2AB4 cos E，BEAEcos E4cos 302. SABEABBE222， 在RtCDE中，tan E，DE， SCDEDEDC1. S四边形ABCDSABESCDE【解题策略】 对于一些较复杂而又不规则的几何图形，可以通过作适当的辅助线转化为规则的直角三角形来求解11、分析 证明此题的关键是验证等式cosBADsinBAD，cosBADsinBAD成立，故应先分别求出cosBAD，sinBAD的值 证明：过点D作DEAB于E，设DEk， ACBC，C90，B45 又DEB90，EDBB45， DEBEk，BDk， ACBC2BD2k， AB4k AE3k，AD 在RtADE中，cosDAE， sinDAE， cosDAEsinDAE， cosDAEsinDAE， cosBAD和sinBAD是一元二次方程x2x0的两个根，即是一元二次方程10x24x30的两个根【解题策略】 本题综合运用了一元二次方程根与系数的关系及解直角三角形的相关知识12、分析 本题主要考查直角三角形的边角关系，即把实际问题转化为解直角三角形问题，过点A，B分别作CD的垂线，得到两个直角三角形，解这两个直角三角形，可求出AC，BD，CE，DF，要注意CDCEEFDF解：过点A，B作AECD，BFCD，分别交CD的延长线于E，F两点，在RtACE中，cos 45，AC3 (米)