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课时分层训练(十五)A组基础达标(建议用时：30分钟)1已知矩阵A，B，向量，若AB，求实数x，y的值解A，B，由AB得解得x，y4.2(2017如皋中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，设点P(x,5)在矩阵M对应的变换下得到点Q(y2，y)，求M1. 【导学号：62172372】解依题意，即解得，由逆矩阵公式知，矩阵M的逆矩阵M1，所以M1.3(2017泰州二中月考)若点A(2,2)在矩阵M对应变换的作用下得到的点为B(2,2)，求矩阵M的逆矩阵解由题意，得，sin 1，cos 0，M.10，M1.4已知矩阵A，其中aR，若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P(0，3)(1)求实数a的值；(2)求矩阵A的特征值及特征向量. 【导学号：62172373】解(1)由，得a13，a4.(2)由(1)知A，则矩阵A的特征多项式为f(x)(1)24223，令f()0，得矩阵A的特征值为1或3.当1时二元一次方程y2x.矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为.当3时，二元一次方程2xy0.矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为.B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017苏州市期中)已知二阶矩阵M有特征值8及对应的一个特征向量e1，并且矩阵M将点(1,3)变换为(0,8)(1)求矩阵M；(2)求曲线x3y20在M的作用下的新曲线方程解(1)设M，由8及，得解得M.(2)设原曲线上任一点P(x，y)在M作用下对应点P(x，y)，则，即解得代入x3y20得x2y40，即曲线x3y20在M的作用下的新曲线方程为x2y40.2(2016南京盐城一模)设矩阵M的一个特征值为2，若曲线C在矩阵M变换下的方程为x2y21，求曲线C的方程解由题意，矩阵M的特征多项式f()(a)(1)，因矩阵M有一个特征值为2，f(2)0，所以a2.所以M，即代入方程x2y21，得(2x)2(2xy)21，即曲线C的方程为8x24xyy21.3(2016苏北三市三模)已知矩阵A，向量，计算A5.解因为f()256 ，由f()0，得2或3.当2时，对应的一个特征向量为1；当3时，对应的一个特征向量为2.设mn，解得所以A5225135.4已知矩阵A，B(1)求矩阵A的逆矩阵；(2)求直线xy10在矩阵A1B对应的线性变换作用下所得的曲线的方程解(1)设A1，AA1，A1.(2)A1B，设直线xy10上任意一点P(x，y)在矩阵A1B对应的线性变换作用下得P(x，y)，则，即代入xy10得x3y(y)10，可化为：x2y10，即x2y10为所求的曲线方程
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