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（新教材）北师大版精品数学资料第2课时用空间向量解决立体几何中的垂直问题学习目标1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.掌握用向量方法证明有关空间线面垂直关系的方法步骤知识点一向量法判断线线垂直设直线l的方向向量为a(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b(b1，b2，b3)，则lmab0a1b1a2b2a3b30.知识点二向量法判断线面垂直设直线l的方向向量a(a1，b1，c1)，平面的法向量(a2，b2，c2)，则laak(kR)知识点三向量法判断面面垂直思考平面，的法向量分别为1(x1，y1，z1)，2(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面，垂直的关系式是什么？答案x1x2y1y2z1z20.梳理若平面的法向量为(a1，b1，c1)，平面的法向量为(a2，b2，c2)，则0a1a2b1b2c1c20.1平面的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量()2两直线的方向向量垂直，则两条直线垂直()3直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直()4两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直()类型一线线垂直问题例1如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CNCC1.求证：AB1MN.考点向量法求解直线与直线的位置关系题点方向向量与线线垂直证明设AB中点为O，作OO1AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由已知得A，B，C，N，B1，M为BC中点，M.，(1,0,1)，00.，AB1MN.反思与感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系写出点的坐标求直线的方向向量证明向量垂直得到两直线垂直跟踪训练1如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，求证：ACBC1.考点向量法求解直线与直线的位置关系题点方向向量与线线垂直证明直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB5，AC，BC，C1C两两垂直如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz.则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，(3,0,0)，(0，4,4)，0.ACBC1.类型二证明线面垂直例2如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点求证：AB1平面A1BD.考点向量法求解直线与平面的位置关系题点向量法解决线面垂直证明如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为ABC为正三角形，所以AOBC.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，且平面ABC平面BCC1B1BC，AO?平面ABC，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，OB，OO1，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)所以(1,2，)，(1,2，)，(2,1,0)因为1(1)22()0.1(2)21()00.所以，即AB1BA1，AB1BD.又因为BA1BDB，BA1，BD?平面A1BD.所以AB1平面A1BD.反思与感悟用坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一：(1)建立空间直角坐标系(2)将直线的方向向量用坐标表示(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：(1)建立空间直角坐标系(2)将直线的方向向量用坐标表示(3)求出平面的法向量(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行跟踪训练2如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点P为DD1的中点求证：直线PB1平面PAC.考点向量法求解直线与平面的位置关系题点向量法解决线面垂直证明如图，以D为坐标原点，DC，DA，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，C(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1,1,2)，(1,0，1)，(0,1，1)，(1,1,1)，(1,1,1)(1,0，1)0，所以，即PB1PC.又(1,1,1)(0,1，1)0，所以，即PB1PA.又PAPCP，PA，PC?平面PAC，所以PB1平面PAC.类型三证明面面垂直问题例3三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，BAC90，A1A平面ABC，A1A，ABAC2A1C12，D为BC的中点证明：平面A1AD平面BCC1B1.考点向量法求解平面与平面的位置关系题点向量法解决面面垂直证明方法一如图，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)D为BC的中点，D点坐标为(1,1,0)，(1,1,0)，(0,0，)，(2,2,0)，1(2)12000，0(2)0200，BCAD，BCAA1.又A1AADA，A1A，AD?平面A1AD，BC平面A1AD.又BC?平面BCC1B1，平面A1AD平面BCC1B1.方法二同方法一建系后，得(0,0，)，(1,1,0)，(2,2,0)，(0，1，)设平面A1AD的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量为n2(x2，y2，z2)由得令y11，则x11，z10，n1(1，1,0)由得令y21，则x21，z2，n2.n1n21100，n1n2，平面A1AD平面BCC1B1.反思与感悟证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直跟踪训练3在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点(1)求证：平面AED平面A1FD1；(2)在直线AE上求一点M，使得A1M平面AED.考点向量法求解平面与平面的位置关系题点向量法解决面面垂直(1)证明以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，(2,0,0)，(2,2,1)，(0,1，2)设平面AED的一个法向量为n1(x1，y1，z1)由得令y11，得n1(0,1，2)同理平面A1FD1的一个法向量为n2(0,2,1)n1n2(0,1，2)(0,2,1)0，n1n2，平面AED平面A1FD1.(2)解由于点M在直线AE上，因此可设(0,2,1)(0,2，)，则M(2,2，)，(0,2，2)要使A1M平面AED，只需n1，即，解得.故当AMAE时，A1M平面AED.1下列命题中，正确命题的个数为()若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2；若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n20；若n是平面的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面平行，则na0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直A1B2C3D4考点向量法求解平面与平面的位置关系题点向量法解决面面垂直答案C解析中平面，可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知正确2已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为()Aa(1,0,0)，b(3,0,0)Ba(0,1,0)，b(1,0,1)Ca(0,1，1)，b(0，1,1)Da(1,0,0)，b(1,0,0)考点向量法求解直线与直线的位置关系题点向量法解决线线垂直答案B解析因为a(0,1,0)，b(1,0,1)，所以ab0110010，所以ab，故选B.3若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为(2,0，4)，则()AlBlClDl与斜交考点向量法求解直线与平面的位置关系题点向量法解决线面垂直答案B解析a，l.4平面的一个法向量为m(1,2,0)，平面的一个法向量为n(2，1,0)，则平面与平面的位置关系是()A平行B相交但不垂直C垂直D不能确定考点向量法求解平面与平面的位置关系题点向量法解决面面垂直答案C解析(1,2,0)(2，1,0)0，两法向量垂直，从而两平面垂直5在三棱锥SABC中，SABSACACB90，AC2，BC，SB，则直线SC与BC是否垂直_(填“是”“否”)考点向量法求解直线与直线的位置关系题点向量法解决线线垂直答案是解析如图，以A为坐标原点，AB，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则由AC2，BC，SB，得B(0，0)，S(0,0，2)，C，.因为0，所以SCBC.空间垂直关系的解决策略几何法向量法线线垂直(1)证明两直线所成的角为90.(2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直两直线的方向向量互相垂直线面垂直对于直线l，m，n和平面(1)若lm，ln，m?，n?，m与n相交，则l.(2)若lm，m，则l(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量面面垂直对于直线l，m和平面，(1)若l，l?，则.(2)若l，m，lm，则.(3)若平面与相交所成的二面角为直角，则证明两个平面的法向量互相垂直一、选择题1设直线l1，l2的方向向量分别为a(2,2,1)，b(3，2，m)，若l1l2，则m等于()A2B2C6D10考点向量法求解直线与直线的位置关系题点方向向量与线线垂直答案D解析因为ab，故ab0，即232(2)m0，解得m10.2若平面，的法向量分别为a(1,2,4)，b(x，1，2)，并且，则x的值为()A10B10C.D考点向量法求解平面与平面的位置关系题点向量法解决面面垂直答案B解析因为，所以它们的法向量也互相垂直，所以ab(1,2,4)(x，1，2)0，解得x10.3已知点A(0,1,0)，B(1,0，1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若PA平面ABC，则点P的坐标为()A(1,0，2) B(1,0,2) C(1,0,2) D(2,0，1)考点向量法求解直线与平面的位置关系题点向量法解决线面垂直答案C解析由题意知(1，1，1)，(2,0,1)，(x，1，z)，又PA平面ABC，所以有(1，1，1)(x，1，z)0，得x1z0,(2,0,1)(x，1，z)0，得2xz0，联立得x1，z2，故点P的坐标为(1,0,2)4在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()AACBBDCA1DDA1A考点向量法求解直线与直线的位置关系题点方向向量与线线垂直答案B解析以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1.则C(0,1,0)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，C1(0,1，1)，A1(1,0,1)，E，(1,1,0)，(1，1,0)，(1,0，1)，(0,0，1)，(1)(1)010，CEBD.5已知平面内有一个点A(2，1,2)，的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1,1) B.C.D.考点直线的方向向量与平面的法向量题点法向量求解线面垂直答案B解析要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即n是否为0，因此，要对各个选项进行检验对于选项A，(1,0,1)，则n(1,0,1)(3,1,2)50，故排除A；对于选项B，则n(3,1,2)0，故B正确；同理可排除C，D.故选B.6在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，则()AEF至多与A1D，AC中的一个垂直BEFA1D，EFACCEF与BD1相交DEF与BD1异面考点直线的方向向量与平面的法向量题点求直线的方向向量答案B解析以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(1,0，1)，(1,1,0)，(1，1,1)，0，0，从而EFBD1，EFA1D，EFAC，故选B.7两平面，的法向量分别为(3，1，z)，v(2，y，1)，若，则yz的值是()A3B6C6D12考点向量法求解平面与平面的位置关系题点向量法求解面面垂直答案B解析，v0，即6yz0，即yz6.二、填空题8.如图所示，在三棱锥ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DBDC，E为BC的中点，则_.考点向量法求解直线与直线的位置关系题点方向向量与线线垂直答案0解析因为BEEC，故()，在三棱锥ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DBDC，故()(22)0.9已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量其中正确的是_(填序号)考点向量法求解直线与直线的位置关系题点向量法解决线线垂直答案解析(1,2，1)(2，1，4)122(1)(1)(4)0，APAB，即正确(1,2，1)(4,2,0)1422(1)00.APAD，即正确又ABADA，AB，AD?平面ABCD，AP平面ABCD，即是平面ABCD的一个法向量，正确10在ABC中，A(1，2，1)，B(0，3,1)，C(2，2,1)若向量n与平面ABC垂直，且|n|，则n的坐标为_考点向量法求解线面垂直问题题点向量法求解线面垂直答案(2,4,1)或(2，4，1)解析据题意，得(1，1,2)，(1,0,2)设n(x，y，z)，n与平面ABC垂直，即可得|n|，解得z1或z1.当z1时，y4，x2；当z1时，y4，x2，故n(2,4,1)或(2，4，1)三、解答题11.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中点证明：CD平面PAE.考点向量法求解直线与平面的位置关系题点向量法解决线面垂直证明如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz.设PAh，则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0，0，h)所以(4,2,0)，(2,4,0)，(0,0，h)因为8800，0，所以CDAE，CDAP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE.12.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PAAB1，AD，点F是PB的中点，点E在边BC上移动求证：无论点E在BC边的何处，都有PEAF.考点向量法求解直线与直线的位置关系题点方向向量与线线垂直证明以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,1,0)，F，D，设BEx(0x)，则E(x,1,0)，(x,1，1)0，所以当x0， 时都有PEAF，即无论点E在BC边的何处，都有PEAF.13.如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点求证：(1)ACPB；(2)PB平面AEC.考点向量法求解直线与直线的位置关系题点方向向量与线线垂直证明(1)如图，以A为坐标原点，AC，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，设ACa，PAb.则有A(0,0,0)，B(0，b,0)，C(a,0,0)，P(0,0，b)，(a,0,0)，(0，b，b)从而0，ACPB.(2)由已知得D(a，b,0)，E，.设平面AEC的一个法向量为n，则n且n，可得n(0,1,1)n0，nPB.又PB平面AEC，PB平面AEC.四、探究与拓展14.如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BFPE时，AFFD的比为()A12B11C31D21答案B解析以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设正方形边长为1，PAa，则B(1,0,0)，E，P(0,0，a)设点F的坐标为(0，y,0)，则(1，y,0)，.因为BFPE，所以0，解得y，即点F的坐标为，所以F为AD的中点，所以AFFD11.15.如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AEFC11.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)若点G在BC上，BG，点M在BB1上，GMBF，垂足为H，求证：ME平面BCC1B1.考点向量法求解直线与平面的位置关系题点向量法解决线面垂直证明(1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则B(0,0,0)，E(3,0,1)，F(0,3,2)，D1(3,3,3)则(3,0,1)，(0,3,2)，(3,3,3)，故，共面又它们有公共点B，E，B，F，D1四点共面(2)设M(0,0，z)，则，而(0,3,2)，由题设得3z20，得z1.M(0,0,1)，E(3,0,1)，(3,0,0)，又(0,0,3)，(0,3,0)0，0，从而MEBB1，MEBC.又BB1BCB，BB1，BC?平面BCC1B1，故ME平面BCC1B1.
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