初中数学课堂引导探究式教学策略的研究 - 初中数学课堂引导探究

初中数学课堂引导探究式教学策略的研究一、 问题提出 研究的理论价值和实践意义二期课改强调，我们的教学要以学生的发展为本。学生是学习的主体。学生的主体作用体现在认知活动的参与功能。主体参与不是让主体消极的接受知识，而应体现在对知识的主动、积极的建构上，体现在认知活动中思维与经验的全部投入，去接受问题的挑战。这种挑战提供了主客体相互作用和经验重新组合，从而产生内驱力，给学生的参与行为注入活力。但我们平时的课堂教学中对知识的结论比较重视，对新课的引入过程，对新知识的形成过程重视不够，缺乏有效的问题设计，没有为学生提供更多的机会尝试和探究，促使学生的思维充分开放。教师在备课时，一般容易单纯地从教学内容出发，对深层次的教学目标考虑不周全或不去考虑，在这种思想指导下的教学设计往往只停留在知识内容或方法的要求上，不能兼顾到能力的培养和学生素质的提高，更不能让学生进行有效的学习。心理学研究发现，有一段时期，儿童不但对神秘现象感兴趣，而且，对现象背后的抽象因素同样有兴奋感。这个最佳时期大约只有5至7年，错过这个最佳发展期，有可能使他们失去探索意识。如何把科学思维的模式迁移到儿童发展过程中，提高当代儿童的认知水平？如何让科学思维永远留在他们心中，让科学探索成为他们心中永在的兴奋点？从幼儿园一个又一个执着而充满灵性的“为什么”，到中考备战时一遍又一遍反复背诵的知识点，学生的问题越来越少，思考的惰性越来越强。如果从校园里走出的一代又一代人都“前赴后继”地缺乏想象，缺乏问题解决意识，那么，这个民族是没有希望的民族。我们的教育工作者是否应该反思自己的教育思想和教学行为，多从科学思维中引进闪光的思想，改变学生的学习方式、思考方式？研究如何更好地引导学生进行探究的策略显得非常有必要。我们学校硬件设施比较先进齐全、软件以及师资力量比较好，在社会上具有非常好的声誉，要想到市西初级中学就读的学生越来越多，因此学校的生源也就越来越好。由于这些学生进来后，对学校的教育、教学工作提出了更高的要求，进来的学生中数学好的不乏其人，因而对数学教学提出了更高、更新的要求。怎样进行数学教学，采用什么方法进行数学教学，是摆在每个数学教师面前的一个新的课题。在校领导的关心和支持下，数学教研组的全体教师进行了学习和讨论，一致认为，在统一使用的教材基础上，要有自己的教学策略，为此要求每位教师进行教学策略的研究，以备课组为单位，对各年级的数学内容进行认真集体备课，提出各自的见解和教学的方法、策略，然后针对班级和学生的具体情况采用恰如其分的教学方法，达到最佳的教学效果。 国内外研究现状分析中国的基础教育正在从“应试教育”向“素质教育”接轨。上海更是走在了中国基础教育改革的前沿，率先进行了“二期课改”。“二期课改”的核心就是以学生为主体。但在具体的教学中学生的主体能动性则远未发挥。学校教育中以片面追求升学率为特征的“应试模式”在数学课堂教学中盛行，初中学生主体意识和参与能力不强，缺乏探究精神，许多学生在数学学习上感到困难，富有探究能力和创造力的学生难以脱颖而出。这就需要营造一种适合学生成长的氛围，以学生的发展为本，优化数学学习过程，改善数学教学结构，改革单一、呆板、程式化的被动局面，引导学生主动探究。从而点燃学生心中探求未知的好奇之火，充分挖掘出学生的潜能，使个性得到发展，创造力得以培养。综观世界教育改革，英国的数学教育改革历来十分活跃，在国际上占有重要的地位。近年来英国教育发生了一些深刻的变化。其中一个重要特点是“以学生为中心”，吸引学生的学习兴趣，发展学生探究能力。英国中学数学材料的习题多为标准题，难度不大，但是教材中常有一些供学生研究的思考题，这类题往往是经过精心设计，化整为零、中间铺设若干台阶，使学生易于入手，有浅入深。英国的教材不是由官方组织编写，而是由教师团体或个人编写。为适应不同的学生使用，一套教材往往有几个不同的系列，他们从内容选取到展开的深度都有区别。关于什么是一节好的数学活动，英国教师提出了如下建议：（1）活动的起点是每个学生易于入手的，能引导学生思考，促使学生做出决策（2）活动必须涉及学生的探究，并不应限制学生从不同方向去探究；（3）必须促进学生间的讨论和交流，鼓励学生创见和发明。二、研究目标1、教师在观念上摆脱“应试模式”的束缚，确立以提高学生的数学素养为目标，以学生发展为本的现代教育观。2、通过策略实施，使学生具有不同程度的探究能力，并帮助学生认识数学的本质规律。 三、研究主要内容（一）策略界定引导探究式策略是指教师要树立以学生发展为本的观念，并根据不同年级、不同学生、不同教材，进行指引和诱导， 培养学生的探究意识，使学生初步具有主动参与探究的能力，帮助学生认识数学的本质规律。教师的引导作用体现在他是教学活动的设计者、组织者、参与者和评估者。体现在如何引入课题，如何诱导创设情境、启迪思维，如何循序渐进的促使学生积极探究，探索数学的本质规律。（二）策略的依据建构学说强调“我们必须把学生看成一个个主体”，教师的责任就在于为学生的学习活动创造一个合适的“社会”过程，因此，教师的一项主要工作就是如何从学生的实际出发（这以深入了解学生真实的思维活动为前提），通过提供适当的问题或实例以促进学生的反思，包括引起概念的冲突， 从而最终通过其主动的建构建立起新的认知结构。教师和各个学生一起组成了一个“学习共同体”，教师应当发挥重要的“导向”作用。（三）具体教学策略1、目标指引，创设情境的教学策略所谓目标指引是指对整门课程、各教学单元、每节课进行教学目标分析，这包括了解本学科有关的“已学教材“和后继教材”的相应内容，即从教材体系上把握教学内容，弄清前后关系。只有综观全局，才能确定切实的教学目标。在重视教材的同时，更要重视对学生的了解、分析、和研究，即要对学生的心理特点、兴趣爱好、已有的知识结构、学习能力做到心里有数，这是确定目标必可少的前提。把具体教学目标作为教学的导向来创设问题情境。所谓问题情境，是指具有一定困难，但经过努力探索是可以解决的问题。事实表明，任何学习的愿望，总是在一定的情境中发生的。具有这种问题性的情境，才具有强大的吸引力，对学习需要具有激发作用。问题情境设置必须具有以下特征：（1）具有可行性。问题是学生可以进行探究的，是符合学生的认知水平的；其抽象性与概括性不能过低或过高，要处于同级发展水平。这样才能使教学内容被学生理解，被他们接受。（2）具有直观性。皮亚杰的认知发展阶段的理论认为，中学生的认知发展水平已由具体运算进入了抽象运算阶段，但是即使他们在整体上认知水平已经达到了抽象运算的水平，在每个新数学概念的学习过程中仍然要经历从具体到抽象的转化，他们在学习新的数学概念时仍采用具体或直观的方式去探索新概念。因此，中学数学课堂问题设计要为学生提供丰富的直观背景材料。（3）具有层次性。问题的设置要考虑到不同层次的学生的需要，使每个学生能积极参与，得到不同程度的收获；超过了一些学生数学认知结构中“最近发展区”的水平，一些学生将会由于不能理解它，产生畏惧心理，最后厌恶学习数学，产生负面影响。（4）具有探究性。苏联心理学家维果斯基认为儿童心理机能“最近发展区”的水平，表现为发展程序尚未成熟，正处于形成状态。儿童还不能独立地解决一定的靠智力解决的任务，但只要有一定的帮助和自己的努力，就有可能完成任务。探究性问题的设置就在于激发、诱导那些正待成熟的心理机能的发展，不断地使“最近发展区”的矛盾得到转化，而进入更高一级的数学认知水平。（5）具有挑战性。问题看不出答案或结论，没有现成的解决问题的程序，有一定障碍，需要某种程度的认知努力，启用相关知识和经验，分析问题并积极解决。布鲁纳曾指出，向成长中的儿童提出难题，激励他们向下一阶段发展，这样的努力是值得的。问题缺乏思考余地，没有挑战性，不能激发学生思维，内容过于简单，甚至不能满足学生学习愿望。下面就具体说明各类型课如何来创设情境。（1）定理引入的教学设计例1：三角形中位线定理的教学设计由于三角形的中位线定理是平面几何中的重要定理，三角形中位线定理的新课引入也有多种方法。在备课中确定了适合本校师生的四种方法，关键是让学生了解整个知识的发生过程。这四种方法由各任课教师进行选择，在教学后进行小结和反思，在下一次备课时进行交流，指出每种方法的成功之处和改进的地方。教师通过备课、设计、上课、小结、反思，找到适合自己和学生的定理引入的方法。要求学生首先画ABC，分别取AB、AC的中点D、E，再量出BC、DE的长，找出DE长和BC长的关系，（DEBC，DEBC）并问学生通过实验操作已经发现了规律，谁能给出数学证明。让学生画一个平行四边形ABCD，再画平行四边形的中位线EF，E在AB上，F在CD上，试问：EFAD，EF（ADBC）成立吗？又让学生画一个梯形ABCD，ADBC画出梯形的中位线EF，试问：EFAD，EF（ADBC）成立吗？当A与D重合时，梯形ABCD会变成什么样的图形，此时EFAD吗？EF（ADBC）有什么变化？请写出来。（此种引入最好再用电脑进行演示，效果将更好些）让学生画一个ABC，取AB的中点D，E是AC上一点，当E在AC上运动时，猜想点E在AC上运动何处时，DEBC？，此时DE的长度与BC的长度又有何种关系？（用电脑进行演示）请学生画一个四边形ABCD，再分别取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，试判断四边形EFGH的形状；请再画一个四边形ABCD，再分别取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，此时四边形EFGH是什么样形状的四边形？试问：当四边形ABCD的形状发生变化时，四边形EFGH的形状发生变化吗？ （2）知识发生过程课的教学设计例2：二次三项式因式分解的教学设计二次三项式的因式分解对学生来说，由于学生学过因式分解，仅对一个实际问题进行分解因式，学生是不会有困难的，但问学生为什么这样分解？二次三项式的因式分解与一元二次方程及一元二次方程的根的判别式之间有何联系时？学生就答不上来了。从这个角度出发，将学过的相关内容串联在一起，逐步提出问题，然后引入新课，使学生对相关知识有一个比较全面的了解，达到温故而知新的目的。在二次三项式的因式分解教学时，怎样引入这节课？对学生提出一个问题：因式分解在初一学过，今天我们又要学习二次三项式的因式分解，为什么二次三项式的因式分解不在初一讲结束呢？学生这样回答：因为，一元二次方程的解法是在初二学的，当一元二次方程出现无理根时，二次三项式是不易用十字相乘法分解的，因此，在初一不能对所有的二次三项式进行因式分解。再提出问题：在实数范围内怎样对进行分解因式？学生回答，只要求出一元二次方程的两个实数根x1、x2，就能进行因式分解，让学生的回答来揭示知识的发生过程，二次三项式的因式分解与一元二次方程的根之间的内在联系。从而比较顺利、也比较完美地引入新课。（3）知识铺垫课的教学设计例3：梯形中位线定理的教学设计由于梯形中位线与三角形中位线之间的关系是一般与特殊的关系，因此梯形中位线定理的设计在三角形中位线定理的基础上进行类比、转化，这些过程在教师的指导下由学生完成，使学生深深体会到用类比等方法去探索、发现、猜想。更体会到转化的思想是何等重要，转化的力量威力无穷。提供问题背景，给学生以充分的思维时间和空间，激发学生探索的动机（1）提出问题：什么的线段叫做三角形的中位线？三角形的中位线有几条？学生回答：（2）如图，ABC的中位线DE具有哪些性质？学生回答：（3）如图，直线、被互相平行的直线AC、DF所截，分别交直线、于点A、B、C和D、E、F。当ABBC时，试问：DE与EF有何关系？学生回答：（4）线段EF可以看作梯形ABCD的什么线？学生回答：（5）究竟什么样的线段叫做梯形的中位线？梯形的中位线有几条？学生回答：确定问题，鼓励学生去实验、观察、猜想、交流。（6）请学生画一个梯形，并画出这个梯形的中位线，再画出梯形的中位线。（7）请学生猜想梯形的中位线有什么性质？学生回答：学生自主学习，小组讨论，探索解决问题的途径，发现论证的和思想方法（8）教师巡视、指导学生找到合理地转化方法，把梯形中位线转化为三角形的中位线进行证明。（9）对学生的证明进行修正、补充。（10）通过巡视、指导发现学生的证明方法，然后让学生回答出各种证明的方法。（略）（4）变式训练课的教学设计由于书本上的例习题是最经典的，它是另一些综合问题的原形。若教师不把这些例习题讲深讲透，学生就觉得这些问题并不重要，因为这些问题的解答比较简单。若把这些问题与相关问题联系在一起，即省时间，又使学生体会到书本例习题的重要性，一个问题可以引出那么多的问题，更使学生感到：学习数学，不在于做的习题多，而在于做得精，要善于联想，解后反思。因此，这节课在教师的指导下将学过的一些知识串联在一起，真正做到举一反三、触类旁通。在正方形的教学中设计了这样的一组训练题：例4：已知：正方形ABCD，E为BC上一点，AF平分DAE交CD于F，求证：AEDFBE由于问题比较简单，估计学生很快给出解答。而后提出一个问题：例1是一个非常典型的问题，与它相关的问题也有许多，我已找到了几个，请你们再找几个，看谁找得多，而且解答简单完整。学生举出了这样几个问题（在学生共同讨论及教师的指导下得出）：例2、已知：正方形ABCD，E为BC上一点，F为CD上一点， （1）若EAF45，求证：BEDFEF；（2）当AB1，EAF45时，求：BEDFBEDF的值；（3）若正方形ABCD的边长为1，CEF的周长为2，求：EAF的度数；（4）若正方形ABCD的边长为1，A到EF的距离1，求：EAF的度数；（5）若两条与边平行的线段EF、GH将正方形分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的2倍，试求：HAF的度数。（6）若E是BC上一点，过AE上一点P作AE的垂线分别交BC、DC于点F、G，且AF为BAE的平分线，求证：AG平分DAE。 （7）若正方形ABCD的边长为1，CEF得的周长为2，求：EAF的大小；AEF周长的最小值。从学生举的7个问题和详尽的解答中，使我耳目一新，学生也开了眼界，激发了学生学习数学的兴趣。真正体会到学生了不起，学生具有无限地创造力，要努力去发现和开发学生的创造力。（5）数学领悟能力课的教学设计在数学复习中，势必遇到即简单又重要的问题，若复习，学生都懂，若不复习，又不放心，更是不可以。怎么办？这是一个非常棘手的问题。复习的要点放在学习和做了这些简单又重要的问题后，学生有那些领悟。是学生从初学时的肤浅认识，到现在复习时的深一层次地认识；从初学时只是“学会” ，到现在复习时力求达到“会学”；是学生从初学时只是达到“这样解”，到现在复习时力求达到“怎样解”。数学领悟能力是学习数学不可缺少的一种能力，它依赖于对学习内容的整体认识，各部分知识的关系和对问题的理解，这种领悟能力不可能在较短的时间内习得，必须在观察分析、理解、应用等几个环节上下功夫，而且无论是简单知识，还是难度较大的知识，都应该一视同仁，知其内涵，懂其外延及应用的范围。在复习解方程时，对学生来说，可以跳过一元一次方程的解法，只复习一次方程组的应用和二次方程内容即可，但是我还是复习了一元一次方程的解法，但不是机械地重复或者是做几个练习对一下答案，而是另一种要求。例5：解方程 ，给出以下三种解法：解法1：；解法2：； 解法3： 。 试问：这三种解法有何区别？这三种解法是乎学生不屑一顾，但区别在哪里学生总是回答不全，其原因是学生未能看透解法的本质，其实三种解法的境界是完全不一样的。法1、法2是停留在“学会”的水平上，法2又比法1更进一步，而法3已是上升到“会学”的层次，理解了解方程的实质，既将未知数的系数化为1。对于一个初学者，尤其是初中学生，对新内容只能达到“这样解”，而到了总复习时，应当教会学生“怎样解”。找出问题的特征和规律，这是教师必须要达到的目的，也是学生最终要达到的目的。例6：已知，且，求：的值。解：由题设得，、是的两个实数根，则，原式，这是一种合情合理的、较好的、学生易掌握的方法，若学数学，停留在这一层次上，是乎“有进宝山而空返”的遗憾，在未找到答案前，探索时走点弯路，尽量先找到答案，但找到答案后，多了一些信息，必须进一步分析年，对问题看个透彻。又解：原式，此时领悟到是多余的。又解：原式，此时领悟到时，且，若设，则，。因此在教学中，除了与学生一起梳理所学的知识外，还时常与学生一起去领略数学的内容，领会数学的方法，领悟数学的思想，培养数学的意识。通过有限个问题的实践、分析与本质的把握，去领悟那种能解决无限个问题的数学机智。 2、独立探索，积极体验教学策略这是指将学生引入一定的问题情境后，引导学生自己分析问题，探索解决问题的方法和途径，力争自己独立解决这个问题，并在探索中积极感受，积极体验。学生学习数学只有先通过自身的操作活动和主动参与的“做”才可能有效。没有自身体验的东西是不深刻的，不可能内化为学生自己的知识结构。也不可能更好的参与到协作学习当中去。例：一个章节、一个单元结束后，有必要上一节或几节习题课，若只是机械地重复，学生肯定不欢迎，其效果是不言而语的，但好题、妙题在讲授新课时基本都讲过。因此，想在题型和解法上做文章，使学生有常见常新的感觉。使学生通过有限个问题的解决，达到具有解决无限个问题的机智和能力。开阔了学生的视野，提高了学生分析问题和解决问题的能力。习题课作用也是不可低估的，习题课可以练习些经典习题、解决实际问题的题、以及开放性问题等，一题多解同样也是比较好地训练方式。在相似三角形的判定教学后上了这样一节习题课：例7：已知：ABC，ADBC于D，BAC45，BD3，CD2，求：ABC的面积。（至少用三种方法解答）教师与学生讲，这道题有多种解法，看你们能找到几种解法？谁的解答简单、新颖。学生们在热烈地讨论中给出了这样七种解法。解法1：作CEAB于E，设AD，得方程： ，可求得：6，15。解法2：作CEAB于E，设AE，BE得方程组： 可求得：，15。解法3：在AD上取点E、F，使DEDB3，DFDC2，设AE，则ABECAF， 可求得：3，15。解法4：将ACD、ABD分别向外翻折，可证四边形APQR为正方形，设AD，得方程： 可求得：6，15。解法5：作BFAB交AC延长线于F，于，FEBC交BC的延长线于E，可证：ACDFCE，设AD，得方程： （其余略）解法6：设AB，AC，AD得方程组： 可求得：6，15解法7：，设AD，得方程可求得：6，15。练习的习题必须经过精心挑选，既能巩固所学的新知识，又具有思考价值，既要减轻学生的学习负担，又提高学生学习数学的积极性，培养学生的思维能力和创造精神。通过这样的练习，学生赞叹不一，学生学习数学的积极性一下子高涨起来。课上、课后，学生间讨论异常热烈，我也从中获益匪浅。例8：有关正方形的剪拼问题情景1：给你一个边长为2的正方形，你能否剪拼成一个等积的等腰梯形？如果能，请剪拼出来；如果不能，请说明理由。教师：将事先准备好的正方形纸片发给学生。学生：都在积极思考，有的独立操作，有的是几个学生在合作讨论，共同操作完成。教师：请把你们剪拼好的图形拿上来投影。学生：都争先恐后的上来展示。教师：请你们说出是怎样剪拼的？拼成的图形一定是等腰梯形。学生：主要是从等腰梯形是轴对称图形，两个直角三角形能拼成一个矩形或拼成一个平行四边形，也可以考虑图形的平移、翻折、旋转，从这几方面思考就可以得到等腰梯形。教师：回答得很好，那么，共有多少种拼法？学生：有无数种拼法，可以从第四种拼法中得到。学生通过独立思考想出了很多办法，为后面的合作学习做好了准备。3、协作学习，营造民主气氛的教学策略这是指在个人自主学习的基础上开展小组讨论、协作，通过不同观念的交流，深化对问题的理解。可采取三四人一组或同桌协作等方式。这种讨论是带有探讨性的思维活动，是打开学生思维的手段。沟通和合作可以帮助学习者激活原有的知识经验，从他人那里获得启发和补充，促使学习者对不同观念、不同的思维进行分析和鉴别，发展自己的见解，并在合作中检验和综合各种见解，以便深化对问题的理解。数学中有许多开放型问题，初学者很难把握，甚至连题意都难以理解，为了使学生逐步解决这样的问题，设计了怎样使学生学会解数学题。通过一个问题，在条件不变的情况下，尽可能多地得出一些结论，并给予解答，使学生体会到，条件不变，结论开放的题就是这样产生的。因此学生也就不惧怕开放性问题了，同时知道了开放性问题的由来，更增添了学生解决问题的信心。师生共同归纳出解题的方法和原则，为学生学好数学打下了基础。怎样使学生学会解数学题众所周知，解数学题是学习数学的重要手段，不做练习，学不好数学。特别是中学阶段，学生必须通过一定的练习题的训练，巩固学得的知识，以提高能力。然而，学习数学并不是做的题越多，数学学得越好，解题能力越强，有时适得其反。首先要弄清楚解题的实质，就是把数学的一般原理（定义、公理、定理、法则、公式等）应用于习题的条件或条件的推论而进行的一系列推理，直到求出习题的答案为止的过程。其核心任务就是找出这一系列正确的推理序列。还应明确解题的目的，除了为巩固和加深理解所学的知识外，更重要的是学会运用这些知识，提高自己对问题的分析、判断、想象、综合、独立思考和独创性的能力。数学能力是数学知识和技能组成的。解题不是教会的，而是自己通过在将数学知识与实际问题相结合的实践活动中学会的。例9：已知：RtABC，ACB90，CDAB于D，O、O1、O2分别是ABC、ACD、BCD的内心，r1、r2、r分别是ACD、BCD、ABC的内切圆半径。试问：你能得出多少结论？首先由学生回答出以下2个熟悉的结论：（1）ACDCBDABC；（2）AC2ADAB，CD2ADBD，BC2BDAB；又由学生回答出以下2个结论：（3）；（4）ACBCABCD；通过启发和引导，让学生去探究分别得到以下9个结论：（5）COO1O2； （6）O1OO2C； （7）CO1O2O； （8）COO1O2；（9）r12r22r2； （10）DO1O2ABC；（11）若CD交O1O2于K，则；（12）若直线O1O2交AC于M，交BC于N，SABC2SCMN；（13）若直线PQ同时平分ABC的面积和周长，则必过的内心O。能独立解出这13个问题的学生的几乎没有，但在进行分组学习后，通过不同观念的交流，在老师的指导下，学生深化了对问题的理解，学生解答出了这13个问题。结论（3）是通过面积或相似和勾股定理进行的；结论（4）用完全平方公式很简单证得，要比用纯几何的方法证明简单得多；结论（5）、（6）、（7）、（8）的证法相似，得出一个结论后，其余几个就迎刃而解；结论（9）用相似三角形的性质证明非常方便；结论（10）的证明要通过几次中间比的转化才能证得；结论（11）要首先证明两条线段相等才能证得；结论（12）、（13）是通过以前做过的习题联想到的。在学生回答和证明过程中可以看出学生的基本功比较扎实，大多数学生非常有潜力。但是，在解题过程中，学生分析、思考问题的速度和能力，解决问题的方法和能力存在着明显的差距，通过分组学习学生从他人那里获得启发和补充，促使他们对不同观念、不同的思维进行分析和鉴别，发展自己的见解，并在合作中检验和综合各种见解，以便深化对问题的理解。4、反思评价，意义建构的教学策略 在协作学习之后，对别人或自己的体会、发现进行反思、评价找出其中的不足和问题，使认识深化，促进意义建构。所谓反思指的是通过思维过程的再现，澄清理论或解题方法是在怎样的数学方法或数学观念指导下想出来的。加强反思能使学生洞察数学的本质。评价是对学生行为变化或倾向变化给予评价判断的过程。这包括学生的自评和他评（学生、教师的评价）。评价是课堂教学必不可少的手段，通过评价，应使学生明确解决问题中成败得失，思维优劣。通过评价，使学生有反思的机会。当学生在探索过程中得出正确的结论时，教师要给予热情的赞赏，当学生在探索过程中出现新奇的结论，教师要给予肯定性的评价；同时当学生思维受阻时，教师更要给予充分的鼓励，并适当的给予帮助。总之，对学生的点滴进步都要给予激励性评价。意义建构是指在学习过程中帮助学生对当前学习内容所反映的事物的性质、规律以及该事物与其它事物之间的内在联系达到较深刻的理解。教学设计围绕这“意义建构”这个中心展开，不论是学生的独立探究、协作学习还是教师的引导，都从属于这个中心。在上面例9解题后让学生对这次学习作了反思，不能解决问题的原因在哪里呢？学生通过反思深深体会到：（1） 数学知识越丰富，解题的思路也就越宽阔，反之，数学知识越贫乏，就越感到对习题无计可施。（2） 也不是数学知识多的人解题能力一定强，如不注意总结归纳和应用，不注意寻找规律，解题能力就不会有很大提高。（3） 教材中的典型习题是基本习题，其他问题最后都可以化为这些典型习题，我们一定要认真对待，为自己数学能力的升华准备好必要的条件。解典型习题，应当注意以下几点：（1） 牢记所学的基础知识，如一般法则、公式、定义、定理。要解出任何一个典型习题，首先要鉴别它的类型，这就需要熟记所学的法则和原理。（2） 理解并记忆基本公式、定理的推导过程。有些公式、定理的推导本身就是一道典型习题。（3） 要学会把一般法则、公式、定义、定理运用到解答相应习题的步骤中去。只要能牢固掌握学过的所有法则、公式、定义、定理及其来龙去脉，并能熟练、迅速地把它们运用到相应类型习题的解答步骤中去，那么遇到习题就不会感到无路可走了。尽管习题的内容各异、形式也千差万别，若要解这些习题，在制定解题的方针和策略时还是有一定的规律可循，即遵循一定的原则，解题的原则一般有四条：（1） 熟悉化原则，就是把习题转化为自己熟悉的有关的问题，以便利用熟悉的知识来解决问题。要能把不熟悉的习题化归为熟悉的习题，一个极其重要的条件就是必须把已经解过的习题归纳、分类，分析这些习题是采用何种方式解的，要在头脑中尽量记住以往接触过的解题方法，尤其是那些基本方法。（2） 简单化原则，就是把较复杂的问题转化为较简单的问题。（3） 具体化原则，就是把问题中的各种概念之间的关系具体明确，将一般原理、一般规律应用于具体问题，找到解决问题的途径。从特殊到一般是人们认识客观事物的常用的方法，对一般性问题，常通过它的特殊情况寻找解决方法。（4） 和谐化原则，就是利用“数”和“形”之间和谐统一的特点，建立各种必要的联系，促使问题的转化和解决。这四条解题原则是互相联系、相辅相成、彼此不能割裂开的。总之，通过解题应当达到以下四个目的：（1） 加深理解和牢固掌握基础知识和基本技能。（2） 提高观察能力、分析能力、判断能力，发展空间想象能力和逻辑思维能力。（3） 加强理论和实际的联系，培养运用知识解决实际问题的能力。（4） 培养意志品质，锻炼过细的作风。这样的反思对激发学生学习数学的兴趣，提高学生分析、判断、猜想、解决问题的能力大有益处，只有这样才能使学生学会怎样解数学题，真正达到举一反三，触类旁通之目的。同时能培养学生刻苦钻研、独立思考和创新精神。（四）案例分析下面就以课堂几个案例具体说明如何在课堂上实施这些教学策略的整个过程。有关正方形的剪拼一、“有关正方形剪拼”的教学设计背景对于一个数学特色班，学生特别爱好数学，尤其喜欢做数学竞赛题，学生的学习方法好，学习效率高，每天都有许多时间放在数学学习上，同学之间时常在讨论数学问题。他们的数学成绩和解题能力是不言而语的，对于这样一个具有数学天赋的学生组成的班级，怎样进行数学教学是一个值得探讨的永久性的话题，但至今没有找到一个比较好的教学模式。1、 对以前教学方法的反思对数学特色班的数学教学以往是加快进度，对每一个问题加深、加难，做难的习题，在参加考试或数学竞赛前强化训练，学生成天在那里解数学题，几乎成了解题的机器人。在这样的教学下，学生对有规律的、具有一定特点的数学问题是能顺利解决的，但对新的规律还是未知的问题，需要探索创新发现的问题学生似乎没有好的方法，甚至束手无策。学生虽然聪明伶俐、反映快，但是学生十分依赖老师，他们都喜欢老师告诉结论，给出好的解题方法。长此以往，学生不是成了装东西的布袋吗？哪里还有创新思维、继续学习的能力？这种状况不能再继续下去了。2、 教学方法的探索学生对有规律的或者具有一定特点的数学问题，他们总能想方设法解出来，所以学生具有一定地钻研精神。对于一个数学问题，是否有规律，即使有规律，但还未找到规律，让学生去探究，用所学的知识去解决问题，不是更好吗？很有可能学生思维方法别具一格，学生的方法比老师多而好，这种一举多得的好事何乐而不为呢？由此去摸索一套较好的且适合学生的教学方法。3、 为什么将正方形的剪拼作为研究的载体首先图形的剪拼要求学生对问题进行多方面、多角度、多层次地探索，它能检测学生思维的灵活性、发散性、创造性，这正好符合这些学生的特点，他们非常喜欢这种动手、动脑的问题。他们具有打破沙锅问到底，不解决问题决不罢休的决心和勇气。特别是图形的剪拼问题已作为初中数学教学内容纳入了教学大纲，要求也不同了，切不可按照劳技课的要求去教学，让学生去剪拼，更不能盲目行事，乱画、乱剪、乱拼。必须要求学生用学过的知识进行一算、二剪、三拼来达到目的。因为这类问题中蕴涵着许多数学问题，可以看出学生能否应用所学的知识、能否挖掘问题中的数学原理去解决实际问题。正方形具有许多重要的、特殊的性质，尽管在初二第一学期学生还未学习四边形这一章，但是学生对正方形仍是比较熟悉的，所以选择正方形的剪拼这一课题。4、学生情况分析（1）学生已自学并掌握了特殊四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定等知识。（2）学生对几何的计算与证明还不是很熟练，对几何图形的剪拼比较陌生，更是缺乏解题经验。（3）对一般数学问题的讨论，特别是分类讨论，学生仍残缺不全，对既要观察、又要计算、还要动手剪拼的问题，可以说是难上加难。 二、“有关正方形的剪拼”的教学研究（一） 教学目标1、 知识目标应用勾股定理、特殊四边形的判定和性质等进行图形的剪拼。2、 能力目标（1） 在图形的剪拼中提高学生的动手操作能力；（2） 培养学生的分析、观察和解决问题的能力；（3） 培养学生的口头表达能力和探究能力。3、 情感目标（1） 培养和提高学生的合作交流能力；（2） 在问题的解决中提高学生学习数学的兴趣。（二） 教学过程1、 引入（1） 同学们，在日常生活中你们见过或做过图形的剪拼吗？（2） 你们想过或问过为什么这样剪拼吗？（学生举例，教师补充。）教师：要弄清着为什么还不是一件易事，这里蕴涵着许多数学知识和原理，必须掌握许多数学知识才能回答。今天我们只讨论有关正方形的剪拼。2、 新授问题1：给你一个边长为2的正方形，你能否剪拼成一个等积的等腰梯形？如果能，请剪拼出来；如果不能，请说明理由。教师：将事先准备好的正方形纸片发给学生。学生：积极思考，独立操作，学生可以合作讨论，共同操作完成。教师：请把你们剪拼好的图形拿上来投影。学生：上来展示。教师：请你们说出是怎样剪拼的？拼成的图形一定是等腰梯形。学生：主要是从等腰梯形是轴对称图形，两个直角三角形能拼成一个矩形或拼成一个平行四边形，也可以考虑图形的平移、翻折、旋转，从这几方面思考就可以得到等腰梯形。教师：回答得很好，那么，共有多少种拼法？学生：有无数种拼法，可以从第四种拼法中得到。教师：在拼剪过程中两腰的长有何限制？学生：腰长应小于，这可以从第六种拼法中可以得到。教师：在剪拼过程中保持不变的量是什么？变化的是什么？ 学生：变化的图形的形状，不变的是图形的面积。教师：我们已将正方形剪拼得到一个等腰梯形，那么能否由其它图形键拼得到一个正方形呢？问题2：有一个每边长都是1的十字形纸片，你能否拼出一个面积为5的正方形吗？学生：合作讨论，估计有的学生因没有找到而拼不出正方形，有的学生因找到了，不但拼出了正方形，而且找到了几种拼法。教师：谁能把拼好的图形拿上展示？ 学生：三个小组的代表展示拼出的图形。 教师：三个同学拼出的图形正确吗？在拼时关键要找到什么？学生：关键要找到。教师：怎样找到？学生：直角边长为1和2的直角三角形的斜边长为。小结：教师：今天我们讨论了图形的剪拼，象这样的问题，我们不能盲目去剪拼，一定要通过计算后，画出图形，再去剪拼，否则将事倍功半。学生：我们对书本上的知识是非常熟悉的，做一些证明或计算题是没有什么困难的，而今天要我们自己去寻找条件，动手操作，得出结果就不那么容易，而看到别人做出来，自己也能理解，也能去做，这充分说明我们一定要改进以前的学习方法。若要使学到的知识能灵活应用，希望多上一些类似于这样的课。教师：你们讲得很好，你们以前的学习，只重视结果，不重视过程，希望你们今后善于观察、分析 、思考、发现问题、解决问题，有所创造。作业：1、在边长为的正方形内挖去一个边长为的等腰直角三角形，剩下的面积能否与一个正方形的面积相等？若能，请作出这样的正方形；若不能，请说明理由。2、将边长分别为和的两个正方形（），剪拼成一个面积为的正方形。3、将一个正方形纸片剪成5块，拼成两个正方形，使他们的边长之比为2：1。 教后反思：1、从课的设计看选这节课主要是从学生的实际出发，因为学生的知识基础比较好，若选一般的课，可能没有这节课好，这节课思维性强，具有可操作性，学生比较感兴趣。第一次设计的教案不太合理，通过第一次实践后，作了许多修改，第二次实践的效果有明显提高，又作了第二次修改，第三次实践，但仍有许多需要修改的地方。2、从问题的铺垫看问题的铺垫是一个关键问题，虽然反复考虑，经过多次修改，仍觉得铺垫要么过高，要么过低，在问题情景2中，由于铺垫不好，致使学生不易找到，从而学生盲目去剪拼，达不到目的，这是我们需要进一步探讨的。3、从学生的学习兴趣与效果看由于很少上这样的课，学生也可能出于好奇或者这样的课确实适合学生，把学生的学习积极性都调动起来了，学生非常感兴趣，在动手操作中想了许多剪拼的方法，有些学生想到的方法在教学设计中没有考虑到，这充分说明在教学中，要以学生为本，更要以学生的发展为本，教师知识一个组织者和引导者，只有把学生的学习积极性和兴趣都调动起来，才能使课堂气愤融洽，师生配合默切，达到教学设计的目的，提高教学质量。4、从教师的行为和理念看（1）教学设计的转变平时的教学设计的重点都放在怎样教，每节课教多少知识，补充多少内容，要讲多少习题等，而现在设计时关注的是：课题的引入，问题的情景设计，学生的参与，教师何时介入，怎样进行提问等，提高和发展学生的创造性思维。（2）教学观念的转变从关注教师怎样教转变为教会学生怎样学，怎样使学生多参与，怎样调动学生的学习积极性，在学生的最近发展区进行教学，从单一 追求知识目标转变为追求三维目标：即知识目标，情感目标，能力目标。提高学生的综合素质。下面是这节课中学生的作品： 点评：1、所选的两个问题比较直观，也可以动手操作，对初二学生来说，完全可以用所学的知识去解决，因而为学生创设了有利于思考问题的氛围和空间，能激励学生思考，能反映出学生能否应用已学过的知识去解决问题，也能为以后学习作点铺垫，特别是思考问题的方法等。2、由于这节的内容和设计都比较新颖，加上学生的数学素养比较好，学生思维敏捷，积极思考，争着发言，这可以从问题1、2中学生的讨论、剪拼后的图形展示看，学生确实动了一翻脑筋，特别是学生的发言和展示的图形虽然结果相同，但思考问题的思路却不一样，着足以说明学生是在独立思考。其实这个班的学生好胜性强，都想争第一，他们平时也是这样，独立思考是他们一贯的的风格和学习的方法。因此他们也能取得成绩。3、由于这节的内容比较新颖，也比较难，靠个人的力量可能不解决问题，必须要共同讨论，才能解决一些问题，这可以从问题1、2中学生的回答中可以看出，学生的答案不齐全，找不到解决问题的关键，如问题1中，共有多少种拼的方法；问题2中，找边长为的正方形等。通过同一组的学生的补充，才答得计较完整，这充分说明，课堂上需要学生独立思考、合作、讨论，加上教师的指导和引领，活跃了课堂气氛，4、这节课是通过个人备课后，集体讨论、改进，再修改教案，经过第一次试上，课题组和教研组全体教师点评后，第二次上课，其实经过了，三次备课，两次反思，两次上课的过程。由于教室时一个由几十个学生和教师组成的一个活的实验室，因此，没有两节完全相同的课，也没有一节完美的课，需要反思和改进的地方还很多，像这样的课应该如何设计、如何上？其他的课又应该如何设计、如何上？这是一个永久的课题，也是一个研究不完的课题。全等三角形判定的应用关于“全等三角形判定的应用”的设计背景1、 对以往教学方法的反思全等三角形是平面几何的重要内容，在此以前学到的平面几何知识都可以在这一章中得到应用。涉及的知识较多，应用也较多。学生知道全等三角形的判定方法，能解决一般的证明题或计算题，为了使学生较熟练地掌握全等三角形判定的应用，以往的教学方法是多上几节练习课，让学生反复地练习来巩固、掌握所学的知识。因此，学生上数学课只知道做数学题，时间一长，学生学习数学的兴趣大打折扣，学生虽然做了很多习题，他们不知道做习题的目的是什么，能解决什么问题，一旦遇到实际问题要解决时，他们束手无策。根本谈不上创新思维，由于学生一味地做题，也逐渐开始怕动脑筋，依赖老师讲，随着年级的升高，知识难度的增加，学生觉得学习数学枯燥乏味，学习成绩在下降，许多学生对学习数学失去了信心。怎样改变这种状况呢？唯一的方法就是改变教学方法，激发学生学习数学的兴趣。2、 教学方法的探索初一的学生刚刚接触平面几何，虽然掌握了平面几何的一些概念、性质和定理，能做一些简单的习题，但是还不知道平面几何要解决什么问题，能够解决什么问题，几何与实际生活之间有什么关系，只是跟着老师依葫芦画瓢，做一些几何题。在这种情况下，学生能有目的地去学习吗？能学好平面几何吗？只有让学生知道平面几何与实际生活之间的关系，平面几何要解决什么问题，能够解决什么问题，注意观察、分析、抽象、化归，将实际问题化归为数学问题，用所学的知识去解决实际问题，提高学生学习数学的积极性，使学生悟出有关道理，初步尝试摸索出一套怎样学习平面几何，怎样解决几何问题，怎样解决实际问题的方法。3、 学生情况分析由于学生好学上进，大多数学生已自学了许多数学知识，在学习新知识时，他们会提出许多问题，大多数问题都超出所学的内容。在讲全等三角形的判定时，由于学生提出的问题，已补充了许多全等三角形判定的习题，因此对于全等三角形的一般问题，学生是得心应手的。4、 为什么将“全等三角形判定的应用”作为研究的载体由于全等三角形的判定是平面几何重要内容，涉及的知识较多，以前学到的知识都可以在全等三角形中得到应用，而这部分内容掌握的比较好，若讲全等三角形的应用时，再将几道证明题或计算题，对学生来说已不解渴了，学生是不感兴趣的。怎样调动学生学习的积极性，又能起到复习巩固所学知识的作用，同时有能提高学生分析问题、解决问题、特别是解决实际问题的能力，必须已全新面目出现，使学生在问题的情景中自然而然地进入到全等三角形判定的应用中。因此采用了从实际问题出发进行探究学习。 一.教材分析(一)教学内容:上海市九年制义务教育初一第十八章-全等三角形.(二)本章与平几其他内容的关系及作用:1.全等三角形是平面几何中的重要内容,以前学过的平几知识在本章中都要运用.本章学习得如何直接影响到以后平几的学习,可以说全等三角形是一章承上启下的内容.2.全等三角形与实际生活密切相关,图形的平移、旋转、翻折都与全等相关,因此要善于观察、分析、思考。 3.通过本章的学习可以培养学生的逻辑思维能力、推理论证能力以及表达能力,养成良好的学习习惯和严谨的学风。(三)教学目标 1.认知目标: (1)知道判定两个三角形全等至少要三个条件。 (2)正确运用全等三角形的判定方法判定两个三角形全等,使过程简明扼要。 (3)让学生学会挖掘题中隐含着的条件、补全条件，获得最多的结论。 (4)知道证得全等三角形不是最终目的,掌握有关应用。 2.能力目标: (1)从实际问题的解决中,培养学生数学应用的意识和创新意识。 (2)在问题的解决中,培养和提高学生的分析能力、逻辑思维能力和推理论证能力。 (3)培养学生的口头表达能力,探索思考,合作交流的能力,从而获得知识形成技能。 (4)让学生从实际问题的操作中探索规律,再进行论证,有所发现、有所发明、有所创造。 3.情感目标 (1)为学生提供问题的情境,激发学生学习数学的兴趣。 (2)通过合作学习,学会交流、相互评价,提高合作的意识和能力。 (3)通过问题情境的创设,使学生意识到数学来源于实际生活,通过抽象、概括,上升为理论,最后又回到实际生活中去解决实际问题,认识到学习数学不能脱离实际生活,要关心生活中的数学,注意观察分析思考。二.教学过程教师:我们学过哪几种全等三角形的判定方法?学生1:一般三角形有:SAS,ASA,AAS,SSS,SSA五种判定方法,直角三角形还有HL.学生2:学生1说错了一种,SSA不成立。教师：SSA到底是成立,还是不一定成立？还是不成立？ HL其实质就是SSA,不是成立的吗?谁还能说出SSA在什么情况下成立?学生3:当这个角为直角或钝角时,这两个三角形全等。学生4:当这两个三角形是等腰三角形时,这两个三角形全等。学生5:若这个角的对边恰好是这两边中的大边,这两个三角形全等。教师:回答得很好，从你们的回答中可以看出,对这两个三角形加以一定的限制后,这两个三角形就能全等,所以我们考虑问题要周全,回答问题要确切。问题情境1在ABC中，BD、CE交于（如图所示），从OB=OC,OBE=OCD,BE=CD中取出两个条件，能推出ABC为等腰三角形的有哪几种情形?如果能推出请写出来并进行证明;如果推不出,请画出反例(不写作法,保留作图痕迹,并说明结果)学生6:从3个条件中选2个条件共有三种情况: (A)OB=OC,OBE=OCD (B)BE=CD,OBE=OCD (C)OB=OC,BE=CD 其中，（A）、（B）能推出AB=AC，（C）不一定能推出AB=AC.教师:回答正确,对(C)谁能画出反例?学生6:不能.教师:以前我们在解释“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”不一定成立时,有这样的一个反例:在ABC和ACD中AC=AC,BC=DC,A=A但ABC与ACD不全等.学生7:如图BE=CD,OB=OC OBE与OCD不全等,EBODCO,ABCACB其实BE=BE,OBEDOC，EBO=DCO ABC=ACB,AB=AC AB+AAAB,ACAB教师:回答很全面,讲到了关键之处.问题情境2 有一块长方形铁片，但已剪掉了一个小长方形（如图所示），甲想沿一直线剪开，使两块面积相等. 你认为甲的做法能实现吗?若不能,请说明理由;若能请设计一种方案.学生8:能.通过测量计算，再画出这条直线.学生9:能.连结BE即可,沿BE剪开.学生10:学生9的剪法不正确,学生8的剪法可行,但太繁不可取. 应该这样找出直线(如图),沿PQ剪开.教师:学生10的剪法正确吗?大家异口同声:正确. 你的依据是什么?学生10:O1、O2是两个小长方形的对角线的交点，经过O1、O2的直线分别将两个小长方形面积平分。因而将图形面积平分。教师:回答完全正确.谁能证明经过平行四边形ABCD对角线 交点O的直线EF将平行四边形ABCD面积平分.学生11:只要证出AOECOF,再证明ABCCDA即可证得。教师:学生11证明正确,这样的直线是否是唯一的一条吗?学生12:不唯一,我还可画出两条.老师:学生10、12画出三条,这样的直线还有吗?学生13:有，共有无数多条，如图所示。教师:你的依据是什么?学生13:POMQON,O为PQ的中点,因为PQ平分铁片面积,所以MN平分铁片面积.教师:回答完全正确,谁能对这个问题小结一下。学生14:确定一条直线至少要有两点,这两点正好是两个小长方形的对称中心,即对角线交点。 善于将实际问题化为数学问题。 本题看似只画一条直线,其实质是全等三角形的应用,我们不能孤立地讨论数学题,要将学到的知识应用到实际生活中去,这才是学习数学的归宿。问题情境3(与学生一起操作)任画MON,在OM上取点A、B,在ON上取点C、D且OA=OC,OB=OD,连结AD、BC交于P,作射线OP.请用量角器量出AOP,COP的度数,并比较大小.学生15:AOP与COP有可能相等.学生16:我又重新画了一次,都有AOP=COP.教师:你能证明吗?学生16:不能.学生17:能.可以通过全等三角形证明. 首先证明AODCOB.(SAS)得出ADO=CBO 再证明APBCPD(AAS)得出PA=PC. 最后证明AOPCOP得出AOP=COP,即OP平分MON.教师:很好,条理清楚. 大家做了这道题后,可以悟出点什么?学生18:要说明OP平分MON不是很容易的,要证三次三角形全等,以后我们解答问题不能草草了事.学生19:通过解答此题,以后在没有圆规和量角器的情况下只要有直尺就能画出角平分线.教师:用四根木条和钉子等组成一个分角器(演示)(笑声不断) 数学并不枯燥,非常有用,学好数学,终身受益.问题情境4(学生练习)如图，AB=