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章末复习课第2章推理与证明学习目标1.了解合情推理的含义，能利用归纳、类比进行简单的推理.2.了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法，并会利用分析法和综合法证明简单的问题.3.了解反证法的思想，并能灵活应用.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识梳理1.合情推理(1)归纳推理定义：从个别事实中推演出 的结论的推理称为归纳推理.归纳推理的思维过程大致是： .特点：由 到整体、由 到一般的推理.(2)类比推理定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理.类比推理的思维过程为： .特点：类比推理是由 到 的推理.一般性实验、观察概括、推广猜测一般性结论部分个别观察、比较联想、类推猜测新的结论特殊特殊(3)合情推理合情推理是根据 、 、 ，以及个人的 和直觉等推测某些结果的推理过程. 和 都是数学活动中常用的合情推理.2.演绎推理(1)演绎推理由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法叫演绎推理.简言之，演绎推理是由 到 的推理.已有的事实正确的结论实验和实践的结果经验归纳推理类比推理一般特殊(2)“三段论”是演绎推理的一般模式大前提已知的 ；小前提所研究的 ；结论根据一般原理，对 作出的判断.3.直接证明(1)综合法定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.思维过程：由因导果.一般原理特殊情况特殊情况(2)分析法定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止，这种证明方法常称为分析法.思维过程：执果索因.4.间接证明用反证法来证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题).题型探究题型探究例例1(1)有一个奇数列1,3,5,7,9，现在进行如下分组：第一组含一个数1；第二组含两个数3,5；第三组含三个数7,9,11；第四组含四个数13,15,17,19；，试观察每组内各数之和f(n)(nN*)与组的编号数n的关系式为_.类型一合情推理的应用解析解析由于113 ,35823，79112733,131517196443，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)n3.f(n)n3答案解析解答(2)在平面几何中，对于RtABC，ACBC，设ABc，ACb，BCa，则a2b2c2；cos2Acos2B1；把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明.解解选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为，则cos2cos2cos21.设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体下面对的猜想进行证明.如图在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，面ABC，面ABD，面ACD为三个两两垂直的侧面.设ABa，ACb，ADc，即所证猜想为真命题.(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法.(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性.反思与感悟跟踪训练跟踪训练1(1)观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图形中有_个小正方形.答案解析解析解析第1个图有3个正方形记作a1，第2个图有33个正方形记作a2，第3个图有64个正方形记作a3，第4个图有105个正方形记作a4，正方形的个数构成数列an，则a2a13，(1)a3a24, (2)a4a35, (3) anan1n1，(n1)(1)(2)(n1)，得ana1345(n1)，(2)若数列an为等差数列，Sn为其前n项和，则有性质“若SmSn(m，nN*且mn)，则Smn0.”类比上述性质，相应地，当数列bn为等比数列时，写出一个正确的性质：_.答案 数列bn为等比数列，Tm表示其前m项的积，若TmTn(m，nN*，mn)，则Tmn1类型二综合法与分析法证明证明证明方法一(综合法)因为a0，b0，ab1，方法二(分析法)因为a0，b0，ab1，所以原不等式成立.反思与感悟分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.跟踪训练跟踪训练2已知x0，y0，求证：(x2y2) (x3y3) . 证明1312证明证明要证明(x2y2) (x3y3) ，只需证(x2y2)3(x3y3)2.只需证x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6，只需证3x4y23x2y42x3y3.又x0，y0，x2y20，只需证3x23y22xy.3x23y2x2y22xy，3x23y22xy成立，故(x2y2) (x3y3) .12121313类型三反证法证明因为x0且y0，所以1x2y且1y2x，两式相加，得2xy2x2y，所以xy2.这与已知xy2矛盾.反思与感悟反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题时，也常用反证法.跟踪训练跟踪训练3已知：ac2(bd).求证：方程x2axb0与方程x2cxd0中至少有一个方程有实数根.证明证明证明假设两方程都没有实数根，则1a24b0与2c24d0，有a2c22ac，即acbc，ab0，bc0，ac0，且acabbc.故k的最大正整数为4.3.已知在ABC中，ADBC于D，三边是a，b，c，则有accos Bbcos C.类比上述推理结论，写出下列条件下的结论：在四面体PABC中，ABC，PAB，PBC，PCA的面积分别是S，S1，S2，S3，二面角PABC，PBCA，PACB的度数分别是，则S_.23451答案S1cos S2cos S3cos 4.如图，这是一个正六边形的序列：23451则第n个图形的边数为_.答案5n1解析解析解析图(1)共6条边，图(2)共11条边，图(3)共16条边，其边数构成以6为首项，5为公差的等差数列，则图(n)的边数为an6(n1)55n1.23451证明证明证明因为ab，所以ab0，平方得|a|2|b|22|a|b|2(|a|2|b|2)，只需证|a|2|b|22|a|b|0成立.即只需证(|a|b|)20，它显然成立.故原不等式得证.规律与方法直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用.间接证明的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.本课结束
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