《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第4章 时变电磁场

第4章 时变电磁场在时变的情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成电磁波，时变电磁场的能量以电磁波的形式进行传播。电磁场的波动方程描述了电磁场的波动性，本章首先对电磁场的波动方程进行讨论。在时变电磁场的情况下，也可以引入辅助位函数来描述电磁场，使一些复杂问题的分析求解过程得以简化。本章对时变电磁场的位函数及其微分方程进行了讨论。电磁能量一如其它能量服从能量守恒原理，本章将讨论电磁场的能流和表征电磁场能量守恒关系的坡印廷定理。本章在最后讨论了随时间按正弦函数变化的时变电磁场，这种时变电磁场称为时谐电磁场或正弦电磁场。4. 1 波动方程由麦克斯韦方程可以建立电磁场的波动方程，揭示了时变电磁场的运动规律，即电磁场的波动性。下面建立无源空间中电磁场的波动方程。在无源空间中，电流密度和电荷密度处处为零，即、。在线性、各向同性的均匀媒质中，和满足的麦克斯韦方程为 （4.1.1） （4.1.2） （4.1.3） （4.1.4）对式（4.1.2）两边取旋度，有将式（4.1.1）代入上式，得到利用矢量恒等式和式（4.1.4），可得到 （4.1.5）此式即为无源区域中电场强度矢量满足的波动方程。同理可得到无源区域中磁场强度矢量满足的波动方程为 （4.1.6）无源区域中的或可以通过求解式（4.1.5）或式（4.1.6）的波动方程得到。在直角坐标系中，波动方程可以分解为三个标量方程，每个方程中只含有一个场分量。例如，式（4.1.5）可以分解为 （4.1.7） （4.1.8） （4.1.9）在其它坐标系中分解得到的三个标量方程都具有复杂的形式。波动方程的解是在空间中沿一个特定方向传播的电磁波。研究电磁波的传播问题都可归结为在给定的边界条件和初始条件下求波动方程的解。当然，除最简单的情况外，求解波动方程常常是很复杂的。4. 2 电磁场的位函数在静态场中引入了标量电位来描述电场，引入了矢量磁位和标量磁位来描述磁场，使对电场和磁场的分析得到很大程度的简化。对于时变电磁场，也可以引入位函数来描述，使一些问题的分析得到简化。4.2.1 矢量位和标量位由于磁场的散度恒定于零，即，因此可以将磁场表示为一个矢量函数的旋度，即 （4.2.1）式中的矢量函数称为电磁场的矢量位，单位是。将式（4.2.1）代入方程，有即 这表明是无旋的，可以用一个标量函数的梯度来表示，即 （4.2.2）式中的标量函数称为电磁场的标量位，单位是。由式（4.2.2）可将电场强度矢量用矢量位和标量位表示为 （4.2.3）由式（4.2.1）和式（4.2.3）定义的矢量位和标量位并不是惟一的，也就是说，对于同样的和，除了可用一组和来表示外，还存在另外的和，使得和。实际上，设为任意标量函数，令 （4.2.4）则有由于为任意标量函数，所以由式（4.2.4）定义的和有无穷多组。出现这种现象的原因在于确定一个矢量场需要同时规定该矢量场的散度和旋度，而式（4.2.1）只规定了矢量位的旋度，没有规定矢量位的散度。因此，通过适当地规定矢量位的散度，不仅可以得到惟一的和，而且还可以使问题的求解得以简化。在电磁场工程中，通常规定矢量位的散度为 （4.2.5）此式称为洛仑兹条件。4.2.2 达朗贝尔方程在线性、各向同性的均匀媒质中，将和代入方程，则有利用矢量恒等式，可得到 （4.2.6）同样，将代入，可得到 （4.2.7）式（4.2.6）和式（4.2.7）是关于和得一组耦合微分方程，可通过适当地规定矢量位的散度来加以简化。利用洛仑兹条件（4.2.5），由式（4.2.6）和式（4.2.7）可得到 （4.2.8） （4.2.9）式（4.2.8）和式（4.2.9）就是在洛仑兹条件下，矢量位和标量位所满足的微分方程，称为达朗贝尔方程。由式（4.2.8）和式（4.2.9）可知，采用洛仑兹条件使矢量位和标量位分离在两个独立的方程中，且矢量位仅与电流密度有关，而标量位仅与电荷密度有关，这对方程的求解是有利的。如果不采用洛仑兹条件，而选择另外的，得到的和的方程将不同于式（4.2.8）和式（4.2.9），其解也不相同，但最终由和求出的和是相同的。4. 3 电磁能量守恒定律电场和磁场都具有能量，在线性、各向同性的媒质中，电场能量密度与磁场能量密度能量密度分别为 (4.3.1) (4.3.2) 在时变电磁场中，电磁场能量密度等于电场能量密度与磁场能量密度之和，即 (4.3.3) 当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随时间改变，从而引起电磁能量流动。为了描述能量的流动状况，引入了能流密度矢量，其方向表示能量的流动方向，其大小表示单位时间内穿过与能量流动方向相垂直的单位面积的能量。能流密度矢量又称为坡印廷矢量，用表示，其单位为（瓦/米2）。电磁能量一如其它能量服从能量守恒原理。下面将讨论表征电磁场能量守恒关系的坡印廷定理，以及描述电磁能量流动的坡印廷矢量的表达式。坡印廷定理可由麦克斯韦方程组推导出来。假设闭合面包围的体积中无外加源，媒质是线性和各向同性的，且参数不随时间变化。分别用点乘方程、点乘方程，得将以上两式相减，得到在线性、各向同性的媒质中，当参数不随时间变化时于是得到再利用矢量恒等式可得到 (4.3.4) 在体积上，对式(4.3.4)两端积分，并应用散度定理，即可得到 (4.3.5) 这就是表征电磁能量守恒关系的坡印廷定理。在式(4.3.5)中，右端第一项是在单位时间内体积中所增加的电磁场能量；右端第二项是在单位时间内电场对体积中的电流所作的功，在导电媒质中，即为体积内总的损耗功率。根据能量守恒关系，式(4.3.5)左端的则是单位时间内通过曲面进入体积的电磁能量，所以矢量是一个与垂直通过单位面积的功率相关的矢量。因此，我们将定义为电磁能流密度矢量，即 (4.3.6) 这样，若已知某点的和，由式(4.3.6)即可求出该点的能流密度矢量。由式(4.3.6)可知，既垂直于也垂直于，又由于和也是相互垂直的，因此、三者是相互垂直的，且成右旋关系，如图4.3.1所示。由此可知，任一时刻、空间任以点的能流密度矢量的大小为 (4.3.7) 由于式中的和都是瞬时值，所以能流密度也是瞬时值，只有当和同时达到最大值时，能流密度才达到最大。若某一时刻，或为零，则能流密度也为零。例4.3.1 同轴线地内导体半径为、外导体地内半径为，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为，导体中流过的电流为。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率；（2）当导体的电导率为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。解：（1）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量，只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内外导体之间的电场和磁场分别为 （） （）内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量为电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源向负载，如图4.3.2所示。穿过任意横截面的功率为与电路中的分析结果相吻合。可见同轴线传输的功率是内外导体间的电磁场传递到负载，而不是经过导体内部传递的。图4.3.2 同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（理想导体情况）（2）当导体的电导率为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电场内根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即内z。因此，在内导体表面外侧的电场为磁场则仍为内导体表面外侧的坡印廷矢量为 由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量，如图4.3.3所示。进入每单位长度内导体的功率为 式中是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。图4.3.3 同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）以上分析表明电磁能量是电磁场传输的，导体仅起着定向引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。4. 4 惟一性定理在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦克斯韦方程的解的惟一问题。惟一性定理指出：在以闭曲面为边界的有界区域内，如果给定时刻的电场强度和磁场强度的初始值，并且在时，给定边界面上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在时，区域内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。下面利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域内的解不是惟一的，那么至少存在两组解、和、满足同样的麦克斯韦方程，且具有相同的初始条件和边界条件。令、则时，在区域内，和的初始值为零；在时，边界面上电场强度的切向分量为零或磁场强度的切向分量为零，且、满足麦克斯韦方程因此，根据坡印廷定理，应有根据或的边界条件，上式左端的被积函数为所以，得由于和的初始值为零，将上式两边在上对积分，可得上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有，即，这就证明了惟一性定理。惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的应用。4. 5 时谐电磁场在时电磁场中，如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。在工程上，应用最多的就是时谐电磁场，同时任意的时变场在一定的条件下可通过傅立叶分析方法展开为不同频率的时谐场的叠加。因此，研究时谐电磁场具有重要意义。4.5.1 时谐电磁场的复数表示对于时谐电磁场可采用复数方法使问题的分析得以简化。设是一个以角频率随时间呈时谐变化的标量函数，其瞬时表示式为 （4.5.1）式中为振幅，它仅为空间坐标的函数，为角频率，是与时间无关的初相位。利用复数取实部表示方法，可将式（4.5.1）写成 （4.5.2）式中称为复振幅，或称为的复数形式。为了区别复数形式与实数形式，这里用打“”的符号表示复数形式。任意时谐矢量函数可分解为三个分量，每一个分量都是时谐标量函数，即 它们可用复数表示为 于是 （4.5.3）其中 （4.5.4）称为时谐矢量函数的复矢量。式（4.5.3）是瞬时矢量与复矢量的关系。对于给定的瞬时矢量，由式（4.5.3）可写出与之相应的复矢量；反之，给定一个复矢量，由式（4.5.3）可写出与之相应的瞬时矢量。必须注意，复矢量只是一种数学表示方式，它只与空间有关，而时间无关。复矢量并不是真实的场矢量，真实的场矢量是与之相应的瞬时矢量。而且，只有频率相同的时谐场之间才能使用复矢量的方法进行运算。例4.5.1 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式（1）（2）解：（1）由于根据式（4.5.3），可知电场强度的复矢量为（2）因为 所以例4.5.2 已知电场强度复矢量，其中和为实常数。写出电场强度的瞬时矢量。解：根据式（4.5.3），可得电场强度的瞬时矢量4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程对于一般的时变电磁场，麦克斯韦方程组为 在时谐电磁场中，对时间的导数可用复数形式表示为利用此运算规律，可将麦克斯韦方程组写成将微分算子“”与实部符号“”交换顺序，有由于以上表示式对于任何时刻均成立，故实部符号可以消去，于是得到 （4.5.5） （4.5.6） （4.5.7） （4.5.8）这就是时谐电磁场的复矢量所满足的麦克斯韦方程，也称为麦克斯韦方程的复数形式。这里为了突出复数形式与实数形式的区别，用打“”符号表示复数形式。由于复数形式的公式与实数形式的公式之间存在明显的区别，将复数形式的“”去掉，并不会引起混淆。因此以后用复数形式时不再打“”符号，并略去下标，故将麦克斯韦方程的复数形式写成 （4.5.9） （4.5.10） （4.5.11） （4.5.12）4.5.3 复电容率和复磁导率实际的媒质都是有损耗的，电导率为有限值的导电媒质存在欧姆损耗，电介质的极化存在电极化损耗，磁介质的磁化存在磁化损耗。损耗的大小除与媒质的材料有关外，也与场随时间变化的快慢有关。一些媒质在低频场中损耗可以忽略，而在高频场中损耗往往就不能忽略了。在时谐电磁场中，对于介电常数为、电导率为的导电媒质，式（4.5.9）可写为 （4.5.13）式中 （4.5.14）由此可见，这类导电媒质的欧姆损耗以负虚数形式反映在媒质的本构关系中。因此，称为等效复介电常数或复电容率。类似地，对于存在电极化损耗的电介质，表征其电极化特性的介电常数是一个复数 （4.5.15）称为复介电常数或复电容率。表征电介质中的电极化损耗，是大于零的正数。在高频时谐场中，和都是频率的函数。当媒质同时存在电极化损耗和欧姆损耗时，其等效复介电常数可写为 （4.5.16）在工程上，通常采用损耗角正切来表征电介质的损耗特性，其定义为 （4.5.17）对于导电媒质，其损耗角正切为 （4.5.18）描述了导电媒质中的传导电流与位移电流的振幅之比。当（通常取）时，媒质中传导电流的振幅远远小于位移电流的振幅，因此称为弱导电媒质或良绝缘体。而当（通常取）时，媒质中传导电流的振幅远远大于位移电流的振幅，因此称为良导体。应当注意，同一种媒质在低频时可能是良导体，而在很高的频率时就可能变得类似于绝缘体了。与电介质的情形相似，对于存在磁化损耗的磁介质，表征其磁化特性的磁导率也是一个复数 （4.5.19）称为复磁导率。其中，表征磁介质中的磁化损耗，是大于零的正数。磁介质的损耗角正切定义为 （4.5.20）例4.5.3 海水的电导率、相对电容率。求海水在频率和时的等效复电容率。解 当时 当时 4.5.4 亥姆霍兹方程对于时谐电磁场，将、，则由式（4.1.5）和式（4.1.6）可得到 （4.5.21）式中 （4.5.22）式（4.5.21）即为时谐电磁场的复矢量和在无源空间中所满足的波动方程，通常又称为亥姆霍兹方程。如果媒质是有损耗的，即介电常数或磁导率为复数，则也相应地变为复数。对于电导率的导电媒质，用式（4.5.14）中的等效复介电常数代替式（4.5.22）中的，得到 （4.5.23）波动方程（4.5.21）形式不变，只是将替换为。4.5.5 时谐场的位函数对于时谐电磁场的情形，矢量位和标量位都可改用复数，即 （4.5.24）洛仑兹条件变为 （4.5.25）达朗贝尔方程变为 （4.5.26） （4.5.27）其中。由洛仑兹条件（4.5.25），可将标量位表示为代入式（4.5.24），则可得到 （4.5.28）4.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量前面讨论的坡印廷矢量是瞬时值矢量，表示瞬时能流密度。在时谐电磁场中，一个周期内的平均能流密度矢量（即平均坡印廷矢量）更有意义。式(4.3.6)的平均值为 (4.5.29) 第 一 章 式中为时谐电磁场的时间周期。也可以直接由场矢量的复数形式来计算。对于时谐电磁场，坡印廷矢量可写为代入式(4.5.29)，可得到 (4.5.30) 其中“”表示取共轭复数。类似地，可以得到电场能量密度和磁场能量密度的时间平均值分别为 (4.5.31) (4.5.32) 由麦克斯韦方程组的复数形式可以导出复数形式的坡印廷定理。设介质的介电常数和磁导率都是复数。由恒等式和， 得即将上式对体积积分，并应用散度定理将左边体积分变为面积分，得由于于是得到 （4.5.33)）式中、分别是单位体积内的磁损耗、介电损耗和焦耳热损耗的平均值。式（4.5.33）即为复数形式的坡印廷定理，其右端的两项分别表示体积内的有功功率和无功功率。式（4.5.33）左端的面积分是穿过闭合面的复功率，其实部为有功功率，即功率的时间平均值，被积函数的实部即为平均能流密度矢量。例4.5.4在无源（、）的自由空间中，已知电磁场的电场强度复矢量式中和为常数。求：(1) 磁场强度复矢量；(2) 瞬时坡印廷矢量；(3) 平均坡印廷矢量。解：（1）由，得（2）电场、磁场的瞬时值为所以，瞬时坡印廷矢量为（3）由式(4.5.30)，可得平均坡印廷矢量或由式(4.5.29)计算思考题4.1 在时变电磁场中是如何引入动态位和的？和不惟一的原因何在？4.2 什么是洛仑兹条件？为何要引入洛仑兹条件？在洛仑兹条件下，和满足什么方程？4.3 坡印廷矢量是如何定义的？它的物理意义是什么？4.4 什么是坡印廷定理，它的物理意义是什么？4.5 什么是时变电磁场的惟一性定理？它有何重要意义？4.6 什么是时谐电磁场？研究时谐电磁场有何意义？4.7 时谐电磁场的复矢量是如何定义的？它与瞬时场矢量之间是什么关系？4.8 时谐电磁场的复矢量是真实的场矢量吗？引入复矢量的意义何在？4.9 时谐场的平均坡印廷矢量是如何定义的？如何由复矢量计算平均坡印廷矢量？4.10 时谐场的瞬时坡印廷矢量与平均坡印廷矢量有何关系？是否有？4.11 试写出复数形式的麦克斯韦方程组。它与瞬时形式的麦克斯韦方程组有何区别？4.12 复介电常数的虚部描述了介质的什么特性？如果不用复介电常数，如何表示介质的损耗？4.13 如何解释复数形式的坡印廷定理中各项的物理意义？习 题4.1证明以下矢量函数满足真空中的无源波动方程，其中，为常数。（1）；（2）；（3）4. 2 在无损耗的线性、各向同性媒质中，电场强度的波动方程为已知矢量函数，其中和是常矢量。试证明满足波动方程的条件是，这里。4. 3 已知无源的空气中的磁场强度为利用波动方程求常数的值。4.4 证明：矢量函数满足真空中的无源波动方程，但不满足麦克斯韦方程。4.5 证明：在有电荷密度和电流密度的均匀无损耗媒质中，电场强度和磁场强度的波动方程为：，4.6 在应用电磁位时，如果不采用洛仑兹条件，而采用库仑条件，导出和所满足的微分方程。4.7 证明在无源空间（，）中，可以引入矢量位和标量位，定义为并推导和的微分方程。4.8给定标量位及矢量位，式中。（1）试证明：；（2）求、和；（3）证明上述结果满足自由空间的麦克斯韦方程。4.9 自由空间中的电磁场为式中。求：（1）瞬时坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量；（3）任一时刻流入如题4. 9图所示的平行六面体（长、横截面积为）中的净功率。4. 10 已知某电磁场的复矢量为式中，为真空中的光速，是波长。求：（1）、各点处的瞬时坡印廷矢量；（2）以上各点处的平均坡印廷矢量。4. 11 在横截面为的矩形金属波导中，电磁场的复矢量为式中、和都是实常数。求：（1）瞬时坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。4. 12 在球坐标系中，已知电磁场的瞬时值式中为常数，。试计算通过以坐标原点为球心、为半径的球面的总功率。4.13 已知无源的真空中电磁波的电场 证明，其中是电磁场能量密度的时间平均值，为电磁波在真空中的传播速度。4.14设电场强度和磁场强度分别为 和 证明其坡印廷矢量的平均值为4.15在半径为、电导率为的无限长直圆柱导线中，沿轴向通以均匀分布的恒定电流，且导线表面上有均匀分布的电荷面密度。（1）导线表面外侧的坡印廷矢量；（2）证明：由导线表面进入其内部的功率等于导线内的焦耳热损耗功率。4.16 由半径为的两圆形导体平板构成一平行板电容器，间距为，两板间充满介电常数为、电导率为的媒质，如题4.16题所示。设两板间外加缓变电压，略去边缘效应，试求：题4.16题（1）电容器内的瞬时坡印廷矢量和平均坡印廷矢量；（2）进入电容器的平均功率；（3）电容器内损耗的瞬时功率和平均功率。4.17 已知真空中两个沿方向传播的电磁波的电场为其中为常数、。证明总的平均坡印廷矢量等于两个波的平均坡印廷矢量之和。4.18 试证明电磁能量密度和坡印廷矢量在下列变换下都具有不变性：，其中为常数、。17