资源描述
第46课 直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲内容要求ABC直线与圆、圆与圆的位置关系1判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr相离(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式b24ac，0相交，0相切，0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两个圆的方程组成方程组的解的情况相离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r2r1|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交()(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程()解析依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为_相交两圆圆心分别为(2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d.32d32，两圆相交3(2017南京模拟)若直线3x4ym0与圆x2y22x4y40始终有公共点，则实数m的取值范围是_0,10因为(x1)2(y2)21，所以由题意得1|m5|50m10.4在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_圆心为(2，1)，半径r2.圆心到直线的距离d，所以弦长为22.5(2016全国卷)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若AB2，则圆C的面积为_4圆C：x2y22ay20化为标准方程是C：x2(ya)2a22，所以圆心C(0，a)，半径r.AB2，点C到直线yx2a即xy2a0的距离d，由勾股定理得22a22，解得a22，所以r2，所以圆C的面积为224.直线与圆的位置关系(1)直线l：mxy1m0与圆C：x2(y1)25的位置关系是_(2)已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB_.(1)相交(2)6(1)法一：圆心(0,1)到直线l的距离d10)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是_(2)(2017南京三模)在平面直角坐标系xOy中，圆M：(xa)2(ya3)21(a0)，点N为圆M上任意一点若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为_(1)相交(2)3(1)法一：由得两交点为(0,0)，(a，a)圆M截直线所得线段长度为2，2.又a0，a2.圆M的方程为x2y24y0，即x2(y2)24，圆心M(0,2)，半径r12.又圆N：(x1)2(y1)21，圆心N(1,1)，半径r21，MN.r1r21，r1r23,1MN0)x2(ya)2a2(a0)，M(0，a)，r1a.圆M截直线xy0所得线段的长度为2，圆心M到直线xy0的距离d，解得a2.以下同法一(2)由题意得圆N与圆M内切或内含，即MNON1ON2，又ONOM1，所以OM3.3a3或a0(舍)因此a的最小值为3.规律方法1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系2若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到3若两圆相交，则两圆心的连线垂直平分公共弦变式训练2若O：x2y25与O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_4由题意O1与O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，O1AOA.又OA，O1A2，OO15.又A，B关于OO1对称，AB为RtOAO1斜边上高的2倍又OAO1AOO1AC，得AC2.AB4.直线与圆的综合问题(2016江苏高考改编)如图461，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2,4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程图461解圆M的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心M(6,7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x6上，可设N(6，y0)因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0y01，圆心到直线的距离d1，故直线与圆相交2若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m_. 【导学号：62172252】9圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r11，因为圆C2的方程可化为(x3)2(y4)225m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2(m0)相交于A，B两点，且AOB120(O为坐标原点)，则r_.2如图，过点O作ODAB于点D，则OD1.AOB120，OAOB，OBD30，OB2OD2，即r2.8(2017南通模拟)过点(1，2)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为_. 【导学号：62172254】y圆(x1)2y21的圆心为(1,0)，半径为1，以2为直径的圆的方程为(x1)2(y1)21，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y10，即y.9(2017南京模拟)直线l1：yxa和l2：yxb将单位圆C：x2y21分成长度相等的四段弧，则a2b2_.2依题意，不妨设直线yxa与单位圆相交于A，B两点，则AOB90.如图，此时a1，b1，满足题意，所以a2b22.10(2017徐州联考)已知圆C：(x2)2y24，直线l：kxy2k0(kR)，若直线l与圆C恒有公共点，则实数k的最小值是_圆心C(2,0)，半径r2.又圆C与直线l恒有公共点所以圆心C(2,0)到直线l的距离dr.因此2，解得k.所以实数k的最小值为.二、解答题11(2017徐州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A(1,0)，B(3,0)，C(0,1)(1)求圆M的方程；(2)若直线l：mx2y(2m1)0与圆M交于点P，Q，且0，求实数m的值解(1)法一：设圆M的方程为x2y2DxEyF0，则解得所以圆M的方程x2y24x4y30.法二：线段AC的垂直平分线的方程为yx，线段AB的垂直平分线的方程为x2，由解得M(2,2)所以圆M的半径rAM，所以圆M的方程为(x2)2(y2)25.(2)因为0，所以PMQ.又由(1)得MPMQr，所以点M到直线l的距离d.由点到直线的距离公式可知，解得m.12已知圆C：x2y24x6y120，点A(3,5)(1)求过点A的圆的切线方程；(2)O点是坐标原点，连结OA，OC，求AOC的面积S.解(1)由圆C：x2y24x6y120，得(x2)2(y3)21，圆心C(2,3)当斜率存在时，设过点A的圆的切线方程为y5k(x3)，即kxy53k0.由d1，得k.又斜率不存在时直线x3也与圆相切，故所求切线方程为x3或3x4y110.(2)直线OA的方程为yx，即5x3y0，又点C到OA的距离d.又OA.所以SOAd.B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017南通调研一)在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，B(4,0)若直线xym0上存在点P，使得PAPB，则实数m的取值范围是_2，2法一：设满足条件PB2PA的P点坐标为(x，y)，则(x4)2y24(x1)24y2，化简得x2y24.要使直线xym0有交点，则2.即2m2.法二：设直线xym0有一点(x，xm)满足PB2PA，则(x4)2(xm)24(x1)24(xm)2.整理得2x22mxm240(*)方程(*)有解，则4m28(m24)0，解之得：2m2.2(2017泰州模拟)已知圆C1：x2y24ax4a240和圆C2：x2y22byb210只有一条公切线，若a，bR且ab0，则的最小值为_9圆C1的标准方程为(x2a)2y24，其圆心为(2a,0)，半径为2；圆C2的标准方程为x2(yb)21，其圆心为(0，b)，半径为1.因为圆C1和圆C2只有一条公切线，所以圆C1与圆C2相内切，所以21，得4a2b21，所以(4a2b2)5529，当且仅当，且4a2b21，即a2，b2时等号成立所以的最小值为9.3如图462，已知以点A(1,2)为圆心的圆与直线l1：x2y70相切过点B(2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.图462(1)求圆A的方程；(2)当MN2时， 求直线l的方程解(1)设圆A的半径为R.由于圆A与直线l1：x2y70相切，R2.圆A的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x2符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)即kxy2k0.连结AQ，则AQMNMN2，AQ1，则由AQ1，得k，直线l：3x4y60.故直线l的方程为x2或3x4y60.4(2013江苏高考)如图463，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4.设圆C的半径为1，圆心在l上图463(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围解(1)由题设，圆心C是直线y2x4和yx1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在设过A(0,3)的圆C的切线方程为ykx3.由题意，得1，解得k0或k，故所求切线方程为y3或3x4y120.(2)因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为MA2MO，所以2，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|CD21，即13.整理，得85a212a0.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以点C的横坐标a的取值范围为.
展开阅读全文