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第49课 双曲线 最新考纲内容要求ABC中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质1双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2(F1F22c0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a0，c0.当2aF1F2时，M点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中ca，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率为e.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a_.1依题意，e2，2a，则a21，a1.3(2017泰州中学高三摸底考试)若双曲线x21的焦点到渐近线的距离为2，则实数k的值是_8由题意得b2kb28.4(2016江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1的焦距是_2由双曲线的标准方程，知a27，b23，所以c2a2b210，所以c，从而焦距2c2.5(2016北京高考改编)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为(，0)，则双曲线的方程为_x21由于2xy0是1的一条渐近线，2，即b2a.又双曲线的一个焦点为(，0)，则c，由a2b2c2，得a2b25，联立得a21，b24.所求双曲线的方程为x21.双曲线的定义及应用已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)则APF周长的最小值为_. 【导学号：62172269】32由双曲线方程x21可知，a1，c3，故F(3,0)，F1(3,0)，当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知PFPF12.所以PFPF12，从而APF的周长APPFAFAPPF12AF.因为AF15为定值，所以当(APPF1)最小时，APF的周长最小，A，F1，P三点共线又因为APPF1AF1AF15.所以APF周长的最小值为1515232.规律方法1.应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时需注意定义的转化应用2在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将PF1PF22a平方，建立PF1PF2间的联系变式训练1(1)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上若F1A2F2A，则cosAF2F1_.(2)已知双曲线x21的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点若PF1PF2，则F1PF2的面积为_(1)(2)24(1)由e2得c2a，如图，由双曲线的定义得F1AF2A2a.又F1A2F2A，故F1A4a，F2A2a，cosAF2F1.(2)由双曲线的定义可得PF1PF2PF22a2，解得PF26，故PF18，又F1F210，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此SPF1F2PF1PF224.双曲线的标准方程(1)已知双曲线C：1的离心率e，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为_(2)(2016天津高考改编)已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为_(1)1(2)y21(1)由焦点F2(5,0)知c5.又e，得a4，b2c2a29.双曲线C的标准方程为1.(2)由焦距为2得c.因为双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，所以.又c2a2b2，解得a2，b1，所以双曲线的方程为y21.规律方法1.确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2By21(AB0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线为_. 【导学号：62172270】(1)(2)xy0(1)如图，因为MF1x轴，所以MF1.在RtMF1F2中，由sinMF2F1得tanMF2F1.所以，即，即，整理得c2aca20，两边同除以a2得e2e10.解得e(负值舍去)(2)由题设易知A1(a,0)，A2(a,0)，B，C.因为A1BA2C，所以1，整理得ab.因此该双曲线的渐近线为yx，即xy0.规律方法1.(1)求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；(2)求离心率的关键是确定含a，b，c的齐次方程，但一定注意e1这一条件2双曲线中c2a2b2，可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系.抓住双曲线中“六点”、“四线”、“两三角形”，研究a，b，c，e间相互关系及转化，简化解题过程变式训练3(1)(2017无锡期末)设ABC是等腰三角形，ABC120，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为_(2)双曲线x2my21的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为_(1)(2)x2y0(1)设ABx，则BCx，ACx，2axx,2cx，e.(2)由题意可知a21，b2m，由于b2a，故m4，m4.由x24y20得x2y，即x2y0.双曲线的渐近线方程为x2y0.思想与方法1求双曲线标准方程的主要方法：(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程(2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2By21(AB0)的一条渐近线为xy0，则a_. 【导学号：62172271】双曲线y21的渐近线为y，已知一条渐近线为xy0，即yx，因为a0，所以，所以a.3双曲线1的离心率为_a24，b25，c29，e.4若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为_. 【导学号：62172272】由双曲线的渐近线过点(3，4)知，.又b2c2a2，即e21，e2，e.5已知点F1(3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为_1(x0)由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为1(x0，a0，b0)，由题设知c3，a2，b2945.所以点P的轨迹方程为1(x0)6已知F为双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为_由双曲线方程知a23m，b23，c.不妨设点F为右焦点，则F(，0)又双曲线的一条渐近线为xy0，d.7(2016全国卷改编)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是_(1,3)原方程表示双曲线，且两焦点间的距离为4.则因此1n0，即2m4.10过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则AB_. 【导学号：62172273】4由题意知，双曲线x21的渐近线方程为yx，将xc2代入得y2，即A，B两点的坐标分别为(2,2)，(2，2)，所以AB4.11已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是_由题意知a，b1，c，F1(，0)，F2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)0，(x0)(x0)y0，即x3y0.点M(x0，y0)在双曲线上，y1，即x22y，22y3y0，y00，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2AB3BC，则E的离心率是_2如图，由题意知AB，BC2c.又2AB3BC，232c，即2b23ac，2(c2a2)3ac，两边同除以a2，并整理得2e23e20，解得e2(负值舍去)B组能力提升(建议用时：15分钟)1已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为_44由双曲线C的方程，知a3，b4，c5，点A(5,0)是双曲线C的右焦点，且PQQAPA4b16，由双曲线定义，得PFPA6，QFQA6.PFQF12PAQA28，因此PQF的周长为PFQFPQ281644.2已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是_(1,2)由题意易知点F的坐标为(c,0)，A，B，E(a,0)，ABE是锐角三角形，0，即0，整理得3e22ee4，e(e33e31)0，e(e1)2(e2)1，e(1,2)3(2016北京高考)双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2，则a_.2双曲线1的渐近线方程为yx，易得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性知1.又正方形OABC的边长为2，所以c2，所以a2b2c28，因此a2.4已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为_x21由双曲线的渐近线yx，即bxay0与圆(x2)2y23相切，则b23a2.又双曲线的一个焦点为F(2,0)，a2b24，联立，解得a21，b23.故所求双曲线的方程为x21.5(2017南通三模)在平面直角坐标系xOy中，双曲线y21与抛物线y212x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为_yx抛物线y212x的焦点为(3,0)，a219，a2.双曲线的两条渐近线方程为yx.6(2016天津高考改编)已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为_1由题意知双曲线的渐近线方程为yx，圆的方程为x2y24，联立解得或即第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，故2b，得b212.故双曲线的方程为1.
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