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专题五 立体几何第 3讲 立体几何中的向量方法主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题1.以多面体以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考为载体，考查空间中平行与垂直的证明，常出现在解答题的第查空间中平行与垂直的证明，常出现在解答题的第(1)问问中，考查空间想象能力，推理论证能力及计算能力，属中，考查空间想象能力，推理论证能力及计算能力，属低中档问题低中档问题.2.以多面体以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考为载体，考查空间角查空间角(主要是线面角和二面角主要是线面角和二面角)的计算，是高考的必的计算，是高考的必考内容，属中档题考内容，属中档题.3.以已知结论寻求成立的条件以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题或是否存在问题)的探索的探索性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题考情解读3主干知识梳理1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线设直线l的方向向量为的方向向量为a(a1，b1，c1).平面平面、的法向的法向量分别为量分别为(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)(以下相同以下相同).(1)线面平行线面平行laa0a1a2b1b2c1c20.(2)线面垂直线面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行面面平行vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直面面垂直vv0a2a3b2b3c2c30.2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线设直线l，m的方向向量分别为的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2).平面平面、的法向量分别为的法向量分别为(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同以下相同).(1)线线夹角线线夹角(2)线面夹角线面夹角(3)面面夹角面面夹角设半平面设半平面、的夹角为的夹角为(0)，提醒提醒求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析角的补角，要注意从图中分析.3.求空间距离求空间距离直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离，点点到平面的距离，点P到平面到平面的距离：的距离：d (其中其中n为为的法向量，的法向量，M为为内任一点内任一点). 热点一 利用向量证明平行与垂直 热点二 利用向量求空间角 热点三 利用空间向量求解探索性问题热点分类突破例1如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ADEBCF中，面中，面ABFE和面和面ABCD都是正方形都是正方形且互相垂直，且互相垂直，M为为AB的中点，的中点，O为为DF的中点的中点.运用向量方法证明：运用向量方法证明：(1)OM平面平面BCF；热点一 利用向量证明平行与垂直思维启迪 从从A点出发的三条直线点出发的三条直线AB、AD，AE两两垂直两两垂直,可建立空间直角坐标系可建立空间直角坐标系.证明方法一由题意，得方法一由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以两两垂直，以A为原点建立如图所示的空为原点建立如图所示的空间直角坐标系间直角坐标系.棱柱棱柱ADEBCF是直三棱柱，是直三棱柱，AB平面平面BCF， 是平面是平面BCF的一个法向量，的一个法向量，且且OM 平面平面BCF，OM平面平面BCF.(2)平面平面MDF平面平面EFCD.证明 设平面设平面MDF与平面与平面EFCD的一个法向量分别为的一个法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2).同理可得同理可得n2(0,1,1).n1n20，平面平面MDF平面平面EFCD.又又OM 平面平面BCF，OM平面平面BCF.(2)由题意知，由题意知，BF，BC，BA两两垂直，两两垂直，OMCD，OMFC，又，又CDFCC，OM平面平面EFCD.又又OM 平面平面MDF，平面平面MDF平面平面EFCD.(1)要证明线面平行，只需证明向量要证明线面平行，只需证明向量 与平面与平面BCF的的法向量垂直；另一个思路则是根据共面向量定理证法向量垂直；另一个思路则是根据共面向量定理证明向量明向量 与与 ， 共面共面.(2)要证明面面垂直，只要证明这两个平面的法向量要证明面面垂直，只要证明这两个平面的法向量互相垂直；也可根据面面垂直的判定定理证明直线互相垂直；也可根据面面垂直的判定定理证明直线OM垂直于平面垂直于平面EFCD，即证，即证OM垂直于平面垂直于平面EFCD内内的两条相交直线的两条相交直线,从而转化为证明向量从而转化为证明向量 与与 向向量、量、 垂直垂直.思维升华变式训练1如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，中，PA平平面面ABCD，底面，底面ABCD是菱形，是菱形，PAAB2，BAD60，E是是PA的中点的中点.(1)求证：直线求证：直线PC平面平面BDE；证明设设ACBDO.因为因为BAD60，AB2，底面，底面ABCD为菱形，为菱形，所以所以BO1，AOCO ，ACBD.如图，以如图，以O为坐标原点，以为坐标原点，以OB，OC所所在直线分别为在直线分别为x轴，轴，y轴，过点轴，过点O且平行且平行于于PA的直线为的直线为z轴，建立空间直角坐标轴，建立空间直角坐标系系Oxyz，(1)设平面设平面BDE的法向量为的法向量为n1(x1，y1，z1)，所以所以PC平面平面BDE.故故BDPC.(2)求证：求证：BDPC；例2如图，五面体中，四边形如图，五面体中，四边形ABCD是矩形，是矩形，ABEF，AD平面平面ABEF，且且AD1，AB EF2，AFBE2 ，P、Q分分别为别为AE、BD的中点的中点.(1)求证：求证：PQ平面平面BCE；热点二 利用向量求空间角思维启迪 易知易知PQ为为ACE的中位线；的中位线；证明连接连接AC，四边形四边形ABCD是矩形，且是矩形，且Q为为BD的中点，的中点，Q为为AC的中点，的中点，又在又在AEC中，中，P为为AE的中点，的中点，PQEC，EC 面面BCE，PQ 面面BCE，PQ平面平面BCE.(2)求二面角求二面角ADFE的余弦值的余弦值.思维启迪 根据根据AD平面平面ABEF构建空间直角坐标系构建空间直角坐标系.解如图，取如图，取EF的中点的中点M，则，则AFAM，以以A为坐标原点，以为坐标原点，以AM、AF、AD所在直所在直线分别为线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系.则则A(0,0,0)，D(0,0,1)，M(2,0,0)，F(0,2,0).令令x1，则，则y1，z2，故故n(1,1,2)是平面是平面DEF的一个法向量的一个法向量.由图可知所求二面角为锐角，由图可知所求二面角为锐角，(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：建立恰当的空间直角坐标系；建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点求出相关点的坐标；的坐标；写出向量坐标；写出向量坐标；结合公式进行论结合公式进行论证、计算；证、计算；转化为几何结论转化为几何结论.思维升华(2)求空间角注意：求空间角注意：两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角不一定是直线的方向向量的夹角不一定是直线的方向向量的夹角，即，即cos |cos |.两平面的法向量的夹角不一定是所求两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角的二面角，有可能为两法向量夹角的补角.直直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化函数名称的变化.思维升华变式训练2 如图，已知三棱锥如图，已知三棱锥OABC的侧棱的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且两两垂直，且OA1，OBOC2，E是是OC的中点的中点.(1)求求O点到面点到面ABC的距离；的距离；解以以O为原点，为原点，OB、OC、OA所在直线所在直线分别为分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，轴建立空间直角坐标系，如图如图.则有则有A(0,0,1)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、E(0,1,0).设平面设平面ABC的法向量为的法向量为n1(x，y，z)，取取n1(1,1,2)，(2)求二面角求二面角EABC的正弦值的正弦值.设平面设平面EAB的法向量为的法向量为n(x，y，z)，取取n(1,2,2).由由(1)知平面知平面ABC的一个法向量为的一个法向量为n1(1,1,2).例3如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，中，ABBC2AA1，ABC90，D是是BC的中点的中点.(1)求证：求证：A1B平面平面ADC1；热点三 利用空间向量求解探索性问题由由ABCA1B1C1是直三棱柱，得四边形是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，为矩形，O为为A1C的中点的中点.证明连接连接A1C，交，交AC1于点于点O，连接，连接OD.又又D为为BC的中点，的中点，所以所以OD为为A1BC的中位线，的中位线，所以所以A1BOD.因为因为OD 平面平面ADC1，A1B 平面平面ADC1，所以所以A1B平面平面ADC1.(2)求二面角求二面角C1ADC的余弦值；的余弦值；解由由ABCA1B1C1是直三棱柱，且是直三棱柱，且ABC90，得得BA，BC，BB1两两垂直两两垂直.以以BC，BA，BB1所在直线分别为所在直线分别为x，y，z轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.设设BA2，则，则B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,1)，D(1,0,0)，易知平面易知平面ADC的一个法向量为的一个法向量为v(0,0,1).因为二面角因为二面角C1ADC是锐二面角，是锐二面角，所以二面角所以二面角C1ADC的余弦值为的余弦值为 .(3)试问线段试问线段A1B1上是否存在点上是否存在点E，使，使AE与与DC1成成60角？若存在，确定角？若存在，确定E点位置；若不存在，说明理由点位置；若不存在，说明理由.解假设存在满足条件的点假设存在满足条件的点E.因为点因为点E在线段在线段A1B1上，上，A1(0,2,1)，B1(0,0,1)，故可设故可设E(0，1)，其中，其中02.因为因为AE与与DC1成成60角，角，所以当点所以当点E为线段为线段A1B1的中点时，的中点时，AE与与DC1成成60角角.空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断只需通过坐标运算进行判断.解题时，把要成立解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在是否存在”问题转化为问题转化为“点的坐标是否有解点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解决更简单、有效，应善于运用这一方法.思维升华变式训练3如图，在三棱锥如图，在三棱锥PABC中，中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC，点，点D为为BC的中点的中点.(1)求二面角求二面角APDB的余弦值；的余弦值；解ACBC，PAPB，PCPC，PCAPCB，PCAPCB，PCAC，PCCB，又又ACCBC，PC平面平面ACB，且，且PC，CA，CB两两垂直，两两垂直，故以故以C为坐标原点，分别以为坐标原点，分别以CB，CA，CP所在直线为所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，轴建立空间直角坐标系，则则C(0,0,0)，A(0,2,0)，D(1,0,0)，P(0,0,2)，设平面设平面PAD的一个法向量为的一个法向量为n(x，y，z)，设二面角设二面角APDB的平面角为的平面角为，且，且为钝角，为钝角，(2)在直线在直线AB上是否存在点上是否存在点M，使得，使得PM与平面与平面PAD所成角的正弦值为所成角的正弦值为 ，若存在，求出点，若存在，求出点M的位置；的位置；若不存在，说明理由若不存在，说明理由.解方法一存在，方法一存在，M是是AB的中点或的中点或A是是MB的中点的中点.解得解得x1或或x2，M(1,1,0)或或M(2,4,0)，在直线在直线AB上存在点上存在点M，且当，且当M是是AB的中点或的中点或A是是MB的中点时，的中点时，使得使得PM与平面与平面PAD所成角的正弦值为所成角的正弦值为 .方法二存在，方法二存在，M是是AB的中点或的中点或A是是MB的中点的中点.M是是AB的中点或的中点或A是是MB的中点的中点.在直线在直线AB上存在点上存在点M，且当，且当M是是AB的中点或的中点或A是是MB的中点时，的中点时，使得使得PM与平面与平面PAD所成角的正弦值为所成角的正弦值为 .空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算非运算”问题问题“运算运算”化，即通过直线的方向向量化，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把立体几何中的平行、垂直关系，和平面的法向量，把立体几何中的平行、垂直关系，各类角、距离以向量的方式表达出来，把立体几何问各类角、距离以向量的方式表达出来，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题题转化为空间向量的运算问题.应用的核心是充分认识应用的核心是充分认识形体特征，进而建立空间直角坐标系，通过向量的运形体特征，进而建立空间直角坐标系，通过向量的运算解答问题，达到几何问题代数化的目的，同时注意算解答问题，达到几何问题代数化的目的，同时注意运算的准确性运算的准确性.本讲规律总结提醒三点：提醒三点：(1)直线的方向向量和平面的法向量所成直线的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值是线面角的正弦值，而不是余角的余弦值的绝对值是线面角的正弦值，而不是余弦值弦值.(2)求二面角除利用法向量外，还可以按照二面角的求二面角除利用法向量外，还可以按照二面角的平面角的定义和空间任意两个向量都是共面向量的平面角的定义和空间任意两个向量都是共面向量的知识，我们只要是在二面角的两个半平面内分别作知识，我们只要是在二面角的两个半平面内分别作和二面角的棱垂直的向量，并且两个向量的方向均指向和二面角的棱垂直的向量，并且两个向量的方向均指向棱或者都从棱指向外，那么这两个向量所成的角的大小棱或者都从棱指向外，那么这两个向量所成的角的大小就是二面角的大小就是二面角的大小.如图所示如图所示. 真题感悟 押题精练真题与押题真题感悟(2014北京北京)如图，正方形如图，正方形AMDE的边长为的边长为2，B，C分别为分别为AM，MD的中点，在五棱锥的中点，在五棱锥PABCDE中，中，F为棱为棱PE的中点，平面的中点，平面ABF与棱与棱PD，PC分别交于分别交于点点G，H.真题感悟(1)求证：求证：ABFG；证明在正方形在正方形AMDE中，因为中，因为B是是AM的中点，的中点，所以所以ABDE.又因为又因为AB 平面平面PDE，DE 平面平面PDE，所以所以AB平面平面PDE.因为因为AB 平面平面ABF，且平面，且平面ABF平面平面PDEFG，所以所以ABFG.真题感悟(2)若若PA底面底面ABCDE，且，且PAAE，求直线，求直线BC与与平面平面ABF所成角的大小，并求线段所成角的大小，并求线段PH的长的长.解因为因为PA底面底面ABCDE，所以所以PAAB，PAAE.如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系Axyz，则则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)， (1,1,0).真题感悟设平面设平面ABF的一个法向量为的一个法向量为n(x，y，z)，令令z1，则，则y1，所以，所以n(0，1,1).设直线设直线BC与平面与平面ABF所成角为所成角为，真题感悟设点设点H的坐标为的坐标为(u，v，w).即即(u，v，w2)(2,1，2)，所以所以u2，v，w22.真题感悟即即(0，1,1)(2，22)0，押题精练如图所示，已知正方形如图所示，已知正方形ABCD和矩形和矩形ACEF所在的所在的平面互相垂直，平面互相垂直，AB ，AF1.(1)求直线求直线DF与平面与平面ACEF所成角的正弦值；所成角的正弦值；解以以C为坐标原点，分别以为坐标原点，分别以CD，CB，CE所在直线为所在直线为x轴，轴，y轴，轴，z轴，建立如图所示轴，建立如图所示的空间直角坐标系，的空间直角坐标系，押题精练因为平面因为平面ABCD平面平面ACEF，且平面，且平面ABCD平面平面ACEFAC，押题精练押题精练
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