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第三节 模拟方法（几何概型）、概率的应用 1.1.模拟方法模拟方法对于某些无法确切知道概率的问题对于某些无法确切知道概率的问题, ,常借助常借助_来估计某来估计某些随机事件发生的概率些随机事件发生的概率. .用用_可以在短时间内完成大量可以在短时间内完成大量的重复试验的重复试验. .模拟方法模拟方法模拟方法模拟方法2.2.几何概型几何概型（1 1）向平面上有限区域）向平面上有限区域( (集合集合)G)G内随机地投掷点内随机地投掷点M,M,若点若点M M落在落在_的概率与的概率与G G1 1的的_成正比，而与成正比，而与G G的的_、_无关，即无关，即P(P(点点M M落在落在G G1 1)= ,)= ,则称这种模型为几何概型则称这种模型为几何概型. .（2 2）几何概型中的）几何概型中的G G也可以是也可以是_或或_的有限区域的有限区域, ,相应的概率是相应的概率是_或或_._.子区域子区域G G1 1G G面积面积形状形状位置位置1GG的面积的面积空间中空间中直线上直线上体积之比体积之比长度之比长度之比判断下面结论是否正确（请在括号中打判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或或“”）. .(1)(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( ).( )(2)(2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的的.( ).( )(3)(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.( ).( )(4)(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形形.( ).( )（5 5）在区间）在区间-1-1，1 1内任取一个数，求取到的数是正数的概内任取一个数，求取到的数是正数的概率，该问题中的概率模型为几何概型率，该问题中的概率模型为几何概型.( ).( )【解析【解析】(1)(1)正确正确. .由随机模拟方法及几何概型可知，该说法正由随机模拟方法及几何概型可知，该说法正确确. .(2)(2)错误错误. .虽然环境相同，但是因为随机模拟得到的是某一次的虽然环境相同，但是因为随机模拟得到的是某一次的频率，所以结果不一定相等频率，所以结果不一定相等. .(3)(3)正确正确. .由几何概型的定义知，该说法正确由几何概型的定义知，该说法正确. .(4)(4)正确正确. .由几何概型的定义知，该说法正确由几何概型的定义知，该说法正确. .(5)(5)正确正确. .由几何概型的定义知，该说法正确由几何概型的定义知，该说法正确. .答案：答案：(1) (2)(1) (2) (3) (4) (3) (4) （5 5）1 1在区间在区间20,8020,80内随机取一实数内随机取一实数a a，则实数，则实数a a属于区间属于区间50,7550,75的概率是的概率是( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析【解析】选选C.C.由几何概型概率计算公式可知由几何概型概率计算公式可知712143451275 505P.80 2012构成事件的区间长试验全部结果的区间长2 2有一杯有一杯2 2升的水，其中含有一个细菌，用一个小水杯从水中升的水，其中含有一个细菌，用一个小水杯从水中取取0.10.1升水，则此小水杯中含有这个细菌的概率是升水，则此小水杯中含有这个细菌的概率是( )( )(A)0.01 (B)0.02 (C)0.05 (D)0.1(A)0.01 (B)0.02 (C)0.05 (D)0.1【解析【解析】选选C.C.试验的全部结果构成的区域体积为试验的全部结果构成的区域体积为2 2升，所求事升，所求事件的区域体积为件的区域体积为0.10.1升，故所求概率为升，故所求概率为0.11P0.05.2203.3.在区间在区间-1,2-1,2上随机取一个数上随机取一个数x x，则，则|x|1|x|1的概率为的概率为_._.【解析【解析】在区间在区间-1,2-1,2上随机取一个数上随机取一个数x x，则，则|x|1|x|1的区的区间长度为间长度为2 2，|x|1|x|1的概率为的概率为答案：答案：2.3234.4.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，设中，设F F是横坐标与纵坐标的绝对值均是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于不大于2 2的点构成的区域，的点构成的区域，E E是到原点的距离不大于是到原点的距离不大于1 1的点构成的点构成的区域，向的区域，向F F中随机投一点，则所投的点落在中随机投一点，则所投的点落在E E中的概率是中的概率是_._.【解析【解析】如图，区域如图，区域F F表示边长为表示边长为4 4的的正方形正方形ABCDABCD的内部的内部( (含边界含边界) )，区域，区域E E表示单位圆及其内部，因此表示单位圆及其内部，因此答案：答案：21P.4 416165.5.有一根长为有一根长为1 1米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两截的长度都大于截的长度都大于 米的概率为米的概率为_._.【解析【解析】如图，将细绳八等分，如图，将细绳八等分，C,DC,D分别是第一个和最后一个分别是第一个和最后一个等分点，则在线段等分点，则在线段CDCD的任意位置剪断得到的两截细绳长度都大的任意位置剪断得到的两截细绳长度都大于于 米米. .由几何概型的计算公式，两截的长度都大于由几何概型的计算公式，两截的长度都大于 米的概米的概率为率为答案：答案：181818638P.14 34考向考向 1 1 与长度、角度有关的几何概型与长度、角度有关的几何概型【典例【典例1 1】(1)(1)（20122012辽宁高考）在长为辽宁高考）在长为12 cm12 cm的线段的线段ABAB上任上任取一点取一点C.C.现作一矩形，邻边长分别等于线段现作一矩形，邻边长分别等于线段ACAC，CBCB的长，则该的长，则该矩形面积小于矩形面积小于32 cm32 cm2 2的概率为的概率为( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)（2 2）在等腰）在等腰RtRtABCABC中，过直角顶点中，过直角顶点C C在在ACBACB内作一条射线内作一条射线CDCD与线段与线段ABAB交于点交于点D D，则，则ADACADAC的概率为的概率为_._.16132345【思路点拨【思路点拨】(1)(1)本题与长度有关，利用几何概型求概率本题与长度有关，利用几何概型求概率. .(2)(2)过点过点C C在在ACBACB内作射线内作射线CDCD与角度有关，利用几何概型的概与角度有关，利用几何概型的概率公式求解率公式求解. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选C.C.设其中一段设其中一段ACAC长为长为x cmx cm，则另一段长为，则另一段长为(12-x)cm(12-x)cm，其中，其中0 0 x12x12，由题意，由题意x(12-x)x(12-x)3232得，得，0 0 x x4 4或或8 8x12x0f(1)0的概率为的概率为_._.【解析【解析】根据已知条件，我们把根据已知条件，我们把a,ba,b分别作为横坐标和纵坐标，然后在分别作为横坐标和纵坐标，然后在直角坐标系内作图，利用面积比来直角坐标系内作图，利用面积比来求几何概型的概率值求几何概型的概率值. .如图所示，如图所示，a,ba,b满足的范围就是边长为满足的范围就是边长为4 4的正方形，而的正方形，而f(1)0f(1)0即即a+ba+b33，表，表示的是直线的右上方，即阴影部分的区域示的是直线的右上方，即阴影部分的区域. .故所求的概率为故所求的概率为答案：答案：13 32321.4 432 2332考向考向 3 3 生活中的几何概型问题生活中的几何概型问题【典例【典例3 3】(1)(1)假设车站每隔假设车站每隔1010分钟发一班车，若某乘客随机到分钟发一班车，若某乘客随机到达车站，则其等车时间不超过达车站，则其等车时间不超过3 3分钟的概率为分钟的概率为_._.(2)(2013(2)(2013西安模拟西安模拟) )甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的. .如如果甲船停泊时间为果甲船停泊时间为1 h1 h，乙船停泊时间为，乙船停泊时间为2 h2 h，求它们中的任意，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率一艘都不需要等待码头空出的概率. .【思路点拨【思路点拨】(1)(1)本题为实际问题，可将其转化为一数学模型，本题为实际问题，可将其转化为一数学模型，由于发车时间长度为由于发车时间长度为1010分钟，等车时间不超过分钟，等车时间不超过3 3分钟，且时间分钟，且时间是连续的，乘客何时到达是随机的、等可能的，因此为几何概是连续的，乘客何时到达是随机的、等可能的，因此为几何概型型. .(2)(2)要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h1 h以上或乙比甲早到达以上或乙比甲早到达2 h2 h以上，时间是连续的，两船何时到以上，时间是连续的，两船何时到达是随机的、等可能的，因此为几何概型达是随机的、等可能的，因此为几何概型. .【规范解答【规范解答】(1)(1)要使得等车的时间不超过要使得等车的时间不超过3 3分钟，即到达的时分钟，即到达的时刻应该是图中刻应该是图中A A包含的时间点故所求概率包含的时间点故所求概率答案：答案：0.30.3A3P0.3.S10的长度的长度(2)(2)这是一个几何概型问题这是一个几何概型问题. .设甲、乙两艘船到达码头的时刻分设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为别为x x与与y y，A A为为“两船都不需要等待码头空出两船都不需要等待码头空出”，则，则0 x24, 0 x24, 0y24,0y24,要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达早到达1 h1 h以上或乙比甲早到达以上或乙比甲早到达2 h2 h以上以上, ,即即y yx1x1或或x xy2.y2.故所求事件构成集合故所求事件构成集合A=(x,y)|yA=(x,y)|yx1x1或或x xy2,y2,xx0,240,24,y,y0,240,24.A A为图中阴影部分，全部结果构成集合为图中阴影部分，全部结果构成集合为边长是为边长是2424的正方形的正方形及其内部及其内部. .所求概率为所求概率为 AP A 的面积的面积2221124 1242506.51 01322.245761 152【拓展提升【拓展提升】生活中的几何概型度量区域的构造方法生活中的几何概型度量区域的构造方法(1)(1)审题：通过阅读题目，提炼相关信息审题：通过阅读题目，提炼相关信息. .(2)(2)建模：利用相关信息的特征，建立概率模型建模：利用相关信息的特征，建立概率模型. .(3)(3)解模：求解建立的数学模型解模：求解建立的数学模型. .(4)(4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论. .【提醒【提醒】当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决. .【变式训练【变式训练】甲、乙两人因工作需要每天都要上网查资料，已甲、乙两人因工作需要每天都要上网查资料，已知他们每天上网的时间都不超过知他们每天上网的时间都不超过2 2小时，则在某一天内，甲上小时，则在某一天内，甲上网的时间不足乙上网的时间的一半的概率是网的时间不足乙上网的时间的一半的概率是( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)12131423【解析【解析】选选C.C.由题意知本题是一个几何由题意知本题是一个几何概型，设甲、乙两人每天上网时间分别概型，设甲、乙两人每天上网时间分别为为x x小时、小时、y y小时小时. .试验包含的所有事件试验包含的所有事件=(x,y)|0 x2,0y2=(x,y)|0 x2,0y2，事件事件对应的集合表示的面积是对应的集合表示的面积是S S正方形正方形=4=4，满足条件的事件是满足条件的事件是A=(x,y)|0 x2,0y2, A=(x,y)|0 x2,0y0)0)的正方形内画一个半圆，其半径的正方形内画一个半圆，其半径为为 向该正方形内随机投一点，则所投的点落在半圆向该正方形内随机投一点，则所投的点落在半圆内部的概率为内部的概率为_ar(0r)2，【解析【解析】记记A A 所投的点落在半圆内部所投的点落在半圆内部 因为因为S S正方形正方形a a2 2，所以所以 故所投的点落在半圆内部的概率是故所投的点落在半圆内部的概率是答案：答案：221rSr22半圆， 2222rr2P A.a2a22r.2a22r2a
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