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第四节 简单线性规划1.1.二元一次不等式（组）表示的平面区域二元一次不等式（组）表示的平面区域（1 1）直线）直线l：ax+by+cax+by+c=0=0平面区域平面区域一侧平面一侧平面区域区域直线上直线上另一侧另一侧平面区域平面区域满足条件满足条件 ax+by+cax+by+c0 0_ax+by+cax+by+c=0=0ax+by+cax+by+c0 0(2)(2)二元一次不等式二元一次不等式ax+by+cax+by+c00在平面直角坐标系中表示直线在平面直角坐标系中表示直线ax+by+cax+by+c=0=0某一侧的某一侧的_且不含边界，作图时边界直线画且不含边界，作图时边界直线画成成_，当我们在坐标系中画不等式，当我们在坐标系中画不等式ax+by+c0ax+by+c0所表示的平所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，此时边界直线画成面区域时，此区域应包括边界直线，此时边界直线画成_._.平面区域平面区域虚线虚线实线实线(3)(3)由于对直线由于对直线ax+by+cax+by+c=0=0同一侧的所有点（同一侧的所有点（x,yx,y），把点的坐），把点的坐标（标（x,yx,y）代入）代入ax+by+cax+by+c, ,所得到实数的符号都所得到实数的符号都_，所以只需，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（在此直线的某一侧取一个特殊点（x x0 0,y,y0 0），从），从axax0 0+by+by0 0+c+c的的_即可判断即可判断ax+by+cax+by+c 0 0（0 0）表示直线哪一侧的平面区域）表示直线哪一侧的平面区域. .当当c0c0时，常取时，常取_作为特殊点作为特殊点. .相同相同正正负负原点原点2.2.线性规划的有关概念线性规划的有关概念名称名称意义意义约束条件约束条件由由x x，y y的的_不等式组成的不等式组不等式组成的不等式组 目标函数目标函数关于两个变量关于两个变量x x，y y的一个的一个_函数函数 可可 行行 解解满足约束条件的满足约束条件的_可可 行行 域域所有可行解组成的所有可行解组成的_ _ 最优解最优解使目标函数取得使目标函数取得_或或_的可的可行解行解 二元线性规划二元线性规划问题问题在约束条件下求目标函数的在约束条件下求目标函数的_或或_问题问题一次一次线性线性解解(x(x，y)y)集合集合最大值最大值最小值最小值最大值最大值最小值最小值3.3.解二元线性规划问题的一般步骤解二元线性规划问题的一般步骤（1 1）在平面直角坐标系中画出）在平面直角坐标系中画出_._.（2 2）分析）分析_的几何意义，将目标函数进行变形的几何意义，将目标函数进行变形. .（3 3）确定）确定_._.（4 4）求出）求出_._.可行域可行域目标函数目标函数最优解最优解最值或范围最值或范围判断下面结论是否正确（请在括号中打判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或或“”）. .（1 1）不等式）不等式Ax+By+CAx+By+C00表示的平面区域一定在直线表示的平面区域一定在直线Ax+By+CAx+By+C=0=0的上方的上方.( ).( )（2 2）任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域）任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域. .( )( )（3 3）线性目标函数的最优解可能是不唯一的）线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( ).( )（4 4）线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界）线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上上.( ).( )（5 5）目标函数）目标函数z=ax+by(b0)z=ax+by(b0)中，中，z z的几何意义是直线的几何意义是直线ax+by-zax+by-z=0=0在在y y轴上的截距轴上的截距.( ).( )（6 6）目标函数）目标函数z=(x-a)z=(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2的几何意义是点的几何意义是点(x,y(x,y) )与与(a,b(a,b) )的距离的距离.( ).( )【解析【解析】（1 1）错误）错误. .不等式不等式Ax+By+CAx+By+C00表示的平面区域也可能表示的平面区域也可能在直线在直线Ax+By+CAx+By+C=0=0的下方，这要取决于的下方，这要取决于A A与与B B的符号的符号. .（2 2）错误）错误. .不一定，如果二元一次不等式组的解集为空集，它不一定，如果二元一次不等式组的解集为空集，它就不表示任何区域就不表示任何区域. .（3 3）正确）正确. .当目标函数对应的直线与可行域的某一条边界直线当目标函数对应的直线与可行域的某一条边界直线平行时，最优解可能有无数多个平行时，最优解可能有无数多个. .（4 4）正确）正确. .线性目标函数都是通过平移直线，在与可行域有公线性目标函数都是通过平移直线，在与可行域有公共点的情况下，其最值即在边界或端点处取到，因此其取得最共点的情况下，其最值即在边界或端点处取到，因此其取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上值的点一定在可行域的顶点或边界上. .（5 5）错误）错误. .由由ax+by-zax+by-z=0=0可得可得 才是该直线才是该直线在在y y轴上的截距轴上的截距. .（6 6）错误）错误. .其几何意义应该是点其几何意义应该是点(x,y(x,y) )与与(a,b(a,b) )的距离的平方的距离的平方. .答案：答案：（1 1） （2 2） （3 3） （4 4） （5 5） （6 6）a11yxzzbbb ，所以1.1.若点若点(m,1)(m,1)在不等式在不等式2x+3y-502x+3y-50所表示的平面区域内，则所表示的平面区域内，则m m的的取值范围是取值范围是( )( )(A)m1 (B)m1(A)m1 (B)m1(C)m(C)m11【解析【解析】选选D.D.依题意有依题意有2m+3-502m+3-50，解得，解得m1.m1.2.2.若若x,yx,y满足约束条件满足约束条件 则则z=3x-yz=3x-y的最小值是的最小值是( )( )(A)-2 (B)-3 (C)-4 (D)-5(A)-2 (B)-3 (C)-4 (D)-5【解析【解析】选选C.zC.z=3x-y=3x-yy=3x-z,y=3x-z,作出可行域，由图可知过作出可行域，由图可知过A A点时点时z z取最小值，把点取最小值，把点A(0,4)A(0,4)代入，代入，可得可得z=-4.z=-4.xy0 xy400 x4，3.3.已知点已知点P P（x,yx,y）的坐标满足条件）的坐标满足条件 则则x x2 2+y+y2 2的最大值的最大值为为( )( )(A)(A) (B) (C)8 (D)10 (B) (C)8 (D)10 xy4,yx,x1.102 2【解析【解析】选选D.D.画出不等式组对应的画出不等式组对应的可行域如图所示：易得可行域如图所示：易得A A（1 1，1 1），），OAOA B B（2 2，2 2），），C C（1 1，3 3），）， 故故|OP|OP|的的最大值为最大值为 即即x x2 2+y+y2 2的最大值的最大值等于等于1010，故选，故选D.D.2，OB2 2，OC10，10，4.4.某厂要将某厂要将100100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4 4辆甲型货车和辆甲型货车和8 8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400400元，可装洗元，可装洗衣机衣机2020台；每辆乙型货车运输费用台；每辆乙型货车运输费用300300元，可装洗衣机元，可装洗衣机1010台，台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )( )(A)2 000(A)2 000元元 (B)2 200(B)2 200元元(C)2 400(C)2 400元元 (D)2 800(D)2 800元元【解析【解析】选选B.B.设甲型货车使用设甲型货车使用x x辆，辆，乙型货车使用乙型货车使用y y辆辆. .则则 所花运费为所花运费为z=400 x+300y.z=400 x+300y.画出可行域（如图），画出可行域（如图），由图可知当直线由图可知当直线z=400 x+300yz=400 x+300y经过点经过点A(4,2)A(4,2)时，时，z z取最小值，最取最小值，最小值为小值为z zminmin=2 200=2 200，故选，故选B.B.0 x40y820 x10y100，5.5.已知实数已知实数x x，y y满足满足 则此不等式组表示的平面区则此不等式组表示的平面区域的面积为域的面积为_._.【解析【解析】作可行域为作可行域为所求面积为所求面积为答案：答案：3 3x2y30yx，1116 33 13 33.222 考向考向 1 1 平面区域的相关问题平面区域的相关问题【典例【典例1 1】（1 1）（）（20132013太原模拟）已知不等式组太原模拟）已知不等式组 (a0)(a0)表示的平面区域的面积是表示的平面区域的面积是 则则a a等于等于( )( )(A)(A) (B)3 (C) (D)2 (B)3 (C) (D)2(2)(2)（20122012福建高考）若直线福建高考）若直线y=2xy=2x上存在点上存在点(x,y(x,y) )满足约束条满足约束条件件 则实数则实数m m的最大值为的最大值为( )( )(A)-1 (B)1 (C) (D)2(A)-1 (B)1 (C) (D)23xy0 xay2，32，xy30 x2y30 xm，3232【思路点拨【思路点拨】（1 1）先画出不等式组所表示的平面区域，由于）先画出不等式组所表示的平面区域，由于a0a0，其形状基本确定，是一个三角形，然后根据三角形的面，其形状基本确定，是一个三角形，然后根据三角形的面积公式求解积公式求解. .(2)(2)画出不等式组所表示的平面区域，然后结合函数画出不等式组所表示的平面区域，然后结合函数y=2xy=2x的单的单调性及图象特征确定区域边界点的位置，从而求出调性及图象特征确定区域边界点的位置，从而求出m m的值的值. .【规范解答【规范解答】（1 1）选）选A.A.画出平面区域，可知该区域是一个三画出平面区域，可知该区域是一个三角形，设该三角形高为角形，设该三角形高为h h，其面积等于，其面积等于 所以所以解方程组解方程组 选选A.A.132h22，3h.22233xyya3233xay2aa33，得，所以，解得，(2)(2)选选B.B.如图，如图，当当y=2xy=2x经过且只经过经过且只经过x+y-3=0 x+y-3=0和和x=mx=m的交点时，即三条曲线的交点时，即三条曲线有唯一公共点时，有唯一公共点时，m m取到最大值，取到最大值，此时，此时，(m,2m)(m,2m)在直线在直线x+y-3=0 x+y-3=0上，上，则则m=1m=1【互动探究【互动探究】本例题（本例题（2 2），若约束条件中的），若约束条件中的m=0m=0，那么当函数，那么当函数y=2y=2x x+h+h的图象上存在点满足约束条件时，实数的图象上存在点满足约束条件时，实数h h的取值范围是的取值范围是_._.【解析【解析】画出可行域，由图形可知，当函数画出可行域，由图形可知，当函数y=2y=2x x+h+h的图象经过的图象经过点（点（0,30,3）和点）和点(3,0)(3,0)时，和区域只有一个公共点，此时时，和区域只有一个公共点，此时h h的值的值分别等于分别等于2 2和和-8-8，因此要使函数图象上存在点满足约束条件，因此要使函数图象上存在点满足约束条件，实数实数h h的取值范围应是的取值范围应是-8h2.-8h2.答案：答案：-8h2-8h2【拓展提升【拓展提升】平面区域问题的求解思路平面区域问题的求解思路求解平面区域与函数图象、曲线方程等一些综合问题时，要以求解平面区域与函数图象、曲线方程等一些综合问题时，要以数形结合思想方法为核心，充分利用函数图象与方程曲线的特数形结合思想方法为核心，充分利用函数图象与方程曲线的特征（增减性、对称性、经过的定点、变化趋势等），与平面区征（增减性、对称性、经过的定点、变化趋势等），与平面区域的位置和形状联系起来，对参数的取值情况分析讨论，进行域的位置和形状联系起来，对参数的取值情况分析讨论，进行求解求解. .【变式备选【变式备选】若不等式组若不等式组 表示的平面区域为表示的平面区域为M M，当抛物线当抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)与平面区域与平面区域M M有公共点时，实数有公共点时，实数p p的取值的取值范围是范围是( )( )(A)(0,2(A)(0,2 (B) (B) (C)(C) (D) (D)x1y1xy30，1,)41,)21,24【解析【解析】选选D.D.作出平面区域（如图），可以求得作出平面区域（如图），可以求得A(1,2),B(2,1)A(1,2),B(2,1)，代入抛物线方程可得，代入抛物线方程可得p=2, p=2, 所以所以1p4，1p,2 .4 考向考向 2 2 线性规划的相关问题线性规划的相关问题【典例【典例2 2】（1 1）（）（20132013铜川模拟）设点铜川模拟）设点M M（x x，y y）是不等式）是不等式组组 表示的平面区域表示的平面区域内一动点，内一动点， 则则 （O O为坐标原点）的最大值为为坐标原点）的最大值为( )( )(A)8 (B)6 (C)4 (D)2(A)8 (B)6 (C)4 (D)20 x3y3x3y，A31（， ），OM OA （2 2）设变量）设变量x,yx,y满足约束条件：满足约束条件： 则则 的最的最大值为大值为( )( )(A)(A) (B) (C)1 (D) (B) (C)1 (D)不存在不存在（3 3）（）（20132013宁波模拟）已知实数宁波模拟）已知实数x,yx,y满足满足 目标目标函数函数z=ax-yz=ax-y的最小值和最大值分别为的最小值和最大值分别为-2-2和和2 2，则，则a a的值为的值为_._.yx1yx10y1 ，yzx21412x2y20yx，【思路点拨【思路点拨】（1 1）将）将 用用x x，y y表示后，利用解决线性规表示后，利用解决线性规划问题的一般步骤解题划问题的一般步骤解题. .（2 2）非线性目标函数，借助斜率模型进行求解）非线性目标函数，借助斜率模型进行求解. .（3 3）线性规划逆向性问题，可行域已经确定，可对目标函数）线性规划逆向性问题，可行域已经确定，可对目标函数中的参数中的参数a a进行分类讨论，确定最优解，从而求出进行分类讨论，确定最优解，从而求出a a的值的值. .OM OA 【规范解答【规范解答】（1 1）选）选B. B. 作出可行域为作出可行域为当直线当直线l： 过点过点 时时z z取最大值取最大值OM OA3xy,z3xy 令，3xyzB3 3（， ）maxz3336.（2 2）选）选B.B.画出可行域（如图），又画出可行域（如图），又 表示表示(x,y(x,y) )与定与定点点P(-2,0)P(-2,0)连线的斜率，所以当连线的斜率，所以当(x,y(x,y) )在点在点A(0,1)A(0,1)时时 取取到最大值到最大值yzx2yzx21.2（3 3）画出可行域（如图所示）画出可行域（如图所示）. .由由z=ax-yz=ax-y得得y=ax-zy=ax-z，显然当，显然当a=0a=0时，时，z z的最大值和最小值分别为的最大值和最小值分别为0 0和和-2-2，不合题意，不合题意. .若若a0a0，则，则z=ax-yz=ax-y在在A(2,2)A(2,2)处取得最大值处取得最大值2 2，在在 处取得最小值处取得最小值-2-2，因此有因此有 解得解得a=2a=2，符合题意；，符合题意；若若a0a0a0）表示的平面区域的面积为）表示的平面区域的面积为5 5，且直线且直线mx-y+mmx-y+m=0=0与该平面区域有公共点，则与该平面区域有公共点，则m m的最大值是的最大值是( )( )(A) (B) (C)0 (D) (A) (B) (C)0 (D) x2y0,2xy0,xa433413【解析【解析】选选A.A.画出可行域（如图），画出可行域（如图），可求得可求得A(a,2a)A(a,2a)， 三角形三角形区域的面积为区域的面积为 所以所以 解得解得a=2a=2，这时，这时A(2,4).A(2,4).而直线而直线mx-y+mmx-y+m=0=0可化为可化为y=m(x+1)y=m(x+1)，它经过定点它经过定点P(-1,0)P(-1,0)，斜率为，斜率为m m，由图形知，当直线经过点，由图形知，当直线经过点A A时，斜率时，斜率m m取最大值，且取最大值，且 故故m m的最大值是的最大值是aB(a,)2，15aa22，15aa522 ，AP404k213 ，4.3
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