大学物理：第5章 气体动理论

理学院 物理系 陈强第第5章章 气体动理论气体动理论 气压高度计的原理是使用真空膜盒或其他诸如半导体气压感应器等气压高度计的原理是使用真空膜盒或其他诸如半导体气压感应器等来感应气压的变化从而测定高度的变化。一般来说，高度越高，气压越来感应气压的变化从而测定高度的变化。一般来说，高度越高，气压越低低. .通过标定后，气压高度计可以较为精确地测定相对高度通过标定后，气压高度计可以较为精确地测定相对高度. .理学院 物理系 陈强本章内容本章内容5.1 5.1 统计规律性的基本概念统计规律性的基本概念5.2 5.2 系统的状态及其描述系统的状态及其描述5.3 5.3 理想气体的压强和温度理想气体的压强和温度5.4 5.4 能量按自由度分配的统计规律能量按自由度分配的统计规律5.5 5.5 气体分子按速率分布的统计规律气体分子按速率分布的统计规律5.6 5.6 分子数按能量分布的统计规律分子数按能量分布的统计规律5.7 5.7 气体分子平均碰撞频率及平均自由程气体分子平均碰撞频率及平均自由程理学院 物理系 陈强5.1 统计规律性的基本概统计规律性的基本概念念主要内容：主要内容：1. 统计规律统计规律2. 概率概率3. 统计平均值统计平均值理学院 物理系 陈强5.1.1 统计规律统计规律统计规律统计规律: : 大量偶然事件整体所表现出的规律大量偶然事件整体所表现出的规律. .加尔顿板实验加尔顿板实验理学院 物理系 陈强5.1.2 概率概率第第i个事件发生的总次数与全部事件发生的总次数的比个事件发生的总次数与全部事件发生的总次数的比值称为第值称为第i个事件发生的概率，即个事件发生的概率，即Pi涨落现象是统计规律的基本特征之一涨落现象是统计规律的基本特征之一定义：定义：单个小球的运动服从力学规律，大量小球按槽的分布单个小球的运动服从力学规律，大量小球按槽的分布服从统计规律服从统计规律. . 涨落：涨落：多次重复实验，每次实验结果与多次实验结果的平均多次重复实验，每次实验结果与多次实验结果的平均值都有一定的偏差，这种偏差就是单个的偶然事件相对值都有一定的偏差，这种偏差就是单个的偶然事件相对统计规律的涨落统计规律的涨落. .NNi1 iP概率分布满足归一化条件：概率分布满足归一化条件：iP理学院 物理系 陈强5.1.3 统计平均值统计平均值 n21nn2211NNNNxNxNxx iiiNNx x iiPx 统计平均值：统计平均值：算术平均值的极限算术平均值的极限. .随机变量：随机变量：某一物理量某一物理量M在一定条件下的可能取值在一定条件下的可能取值M1 、M2、M3 ， ，称为称为随机变量随机变量. .若随机变量若随机变量Mi出现的概率为出现的概率为Pi，则其统计平均值为，则其统计平均值为 iiiMPM理学院 物理系 陈强主要内容：主要内容：1. 热力学系统热力学系统2. 平衡态平衡态4. 理想气体状态方程理想气体状态方程5. 实际气体状态方程实际气体状态方程3. 状态参量状态参量5.2 系统的状态及其描述系统的状态及其描述理学院 物理系 陈强5.2.1 热力学系统热力学系统系统：系统：平衡态：平衡态：没有外界影响的情况下，系统中各部分的宏没有外界影响的情况下，系统中各部分的宏观性质不随时间发生变化的状态观性质不随时间发生变化的状态. .孤立系统：孤立系统：封闭系统：封闭系统：开放系统：开放系统：5.2.2 平衡态平衡态热力学的研究对象称为热力学系统，简称系统热力学的研究对象称为热力学系统，简称系统. . 与外界没有任何相互作用的系统与外界没有任何相互作用的系统. .有能量交换，无物质交换有能量交换，无物质交换. .既有能量交换，又有物质交换既有能量交换，又有物质交换. .理学院 物理系 陈强5.2.3 状态参量状态参量系统的状态参量：系统的状态参量：描述系统宏观性质的物理量描述系统宏观性质的物理量. .气体系统的状态参量气体系统的状态参量：（p、V、T）描述气体内部或与外界相互作用的力学状态参量描述气体内部或与外界相互作用的力学状态参量. .体积体积(V )：压强压强( p )：温度温度( T )：确定气体空间范围的几何状态参量确定气体空间范围的几何状态参量.是热学状态参量是热学状态参量.273.16K0.01 32.02F-273.15 -459.67F0K(热力学温标、摄氏温度和华氏温标的对应关系热力学温标、摄氏温度和华氏温标的对应关系) 理学院 物理系 陈强热力学第零定律热力学第零定律分别与第三个系统处于热平衡的两个系统，它们彼分别与第三个系统处于热平衡的两个系统，它们彼此也必定处于热平衡此也必定处于热平衡. 热平衡的互通性热平衡的互通性 设设A系统和系统和B系统、系统、B系统和系统和C系统分别热平衡，系统分别热平衡，则则A系统和系统和C系统一定热平衡。系统一定热平衡。处于热平衡的两个系统，它们的温度必定相等。处于热平衡的两个系统，它们的温度必定相等。ACBACBAC理学院 物理系 陈强5.2.4 理想气体的状态方程理想气体的状态方程状态方程：状态方程：在平衡态，系统的状态参量在平衡态，系统的状态参量 p、V、T 之间之间的函数的函数关系关系. .气体的状态参量只有两个是独气体的状态参量只有两个是独立的，即立的，即 f（p, V, T）0在平衡态下理想气体的状态方程为在平衡态下理想气体的状态方程为p1(p1,V1,T1)OV2(p2,V2,T2)p -V 图中的每一点表示一个平衡态图中的每一点表示一个平衡态. . RTMmpVmol ),(TVpp ),(VpTT ),(pTVV 理学院 物理系 陈强n: 气体分子数密度气体分子数密度k: 波耳兹曼常量波耳兹曼常量设系统的总分子数为设系统的总分子数为N，摩尔分子数为，摩尔分子数为NA，每个分子的质，每个分子的质量为量为ms，则气体的总质量和摩尔质量可表示为，则气体的总质量和摩尔质量可表示为代入理想气体状态方程式代入理想气体状态方程式 可得可得 TNRVNpA nkTp A NRk u 理想气体状态方程的另一种表述理想气体状态方程的另一种表述则状态方程可以写为：则状态方程可以写为：VNn )KJ 1038. 1(123 k令令 smNmmolAs MN m理学院 物理系 陈强5.2.5 实际气体的状态方程实际气体的状态方程理想气体适用范围：理想气体适用范围：温度不太低、压强不温度不太低、压强不太大太大. .范德瓦尔斯方程：范德瓦尔斯方程：RTbVVap )(2实际气体实际气体CO2的等温线的等温线 范德瓦耳斯等温线范德瓦耳斯等温线 式中式中a,b是与气体有关的范德瓦尔斯修正量，由实验确定是与气体有关的范德瓦尔斯修正量，由实验确定. .48.1 31.1 2113p/105Pa液液汽共存气ACB73.246.52.17 10-3比容v/(m3/kg)汽pOV4813CBAAB理学院 物理系 陈强5.3 理想气体的压强和温度理想气体的压强和温度主要内容：主要内容：1. 理想气体的微观模型理想气体的微观模型2. 气体温度的微观解释气体温度的微观解释3. 气体分子的方均根速率气体分子的方均根速率理学院 物理系 陈强5.3.1 理想气体的微观模型理想气体的微观模型1. 分子力学性质假设分子力学性质假设 建立理想气体微观模型的基本思路是：系统由大量分子建立理想气体微观模型的基本思路是：系统由大量分子组成，单个分子的运动遵从经典力学规律，大量分子的集体组成，单个分子的运动遵从经典力学规律，大量分子的集体运动遵从统计规律运动遵从统计规律. . l分子大小忽略，看为质点分子大小忽略，看为质点. .l分子与分子，分子与器壁间的作用力只考虑碰撞时刻的分子与分子，分子与器壁间的作用力只考虑碰撞时刻的 弹性作用力弹性作用力. .l碰撞是完全弹性的碰撞是完全弹性的. .2. 分子集体的平衡态统计假设分子集体的平衡态统计假设l 分子在空间各处出现的概率相等分子在空间各处出现的概率相等. .l 分子速度的空间方向概率相等分子速度的空间方向概率相等. .22z2y2xzyx310 ;即：即：理学院 物理系 陈强xdSvivixdtvidt3. 压强公式推导压强公式推导:对任意形状容器，计算气体分对任意形状容器，计算气体分子施于器壁的宏观压强子施于器壁的宏观压强. .首先首先，考虑单个分子在一次碰，考虑单个分子在一次碰撞中对面积元撞中对面积元dS的作用的作用. . ixmv2)2(ddixiximStnvv第二步第二步，计算，计算dt时间内速度为时间内速度为 的分子施于器壁的冲量的分子施于器壁的冲量. .iv第三步第三步，所有速度求和，得，所有速度求和，得到各种速度的分子在到各种速度的分子在dt内对内对器壁面积元器壁面积元dS的总冲量的总冲量. . iixitSmnIdd2d2v( vix0 )i2itSmnIxidddv理学院 物理系 陈强nniixix 22vv222231vvvv zyx 22213231vvmnnmp iiixiixinmmntSIp22dddvv所以所以而而气体的压强气体的压强 讨论讨论k32Enp 其中其中(分子平均平动动能分子平均平动动能)2k21vmE 理学院 物理系 陈强5.3.2 温度的微观解释温度的微观解释5.3.3 气体分子的方均根速率气体分子的方均根速率 k32Enp nkTp kTE23k 温度温度kT23Em212 kvmol233MRTmkT vkET 讨论讨论理学院 物理系 陈强求在多高温度下，理想气体分子的平均平动动能等于求在多高温度下，理想气体分子的平均平动动能等于1 eV？例例电子伏特是近代物理中常用的一种能量单位，用电子伏特是近代物理中常用的一种能量单位，用eV表示表示. .( (是一个电子在电场中通过电势差为是一个电子在电场中通过电势差为1V 的区间时，电场力做功而获得的能量的区间时，电场力做功而获得的能量) )。 1eV1.60218921019J解解J1060. 12319 kTEk1932322 1.60 10K7.73 10 K33 1.38 10kETk由此可知，由此可知，1 eV的能量相当于的能量相当于7730K时的分子平均平动动能时的分子平均平动动能. . 在气体动理论中通常用因子在气体动理论中通常用因子kT表示热运动的能量表示热运动的能量232111.38 10290J4.0 10JeV40kT例如室温例如室温290K时时我们可根据这个数据估算是否属于热运动能量范围我们可根据这个数据估算是否属于热运动能量范围. .设气体的温度为设气体的温度为T 时，其分子的平均平动动能等于时，其分子的平均平动动能等于1 eV.理学院 物理系 陈强例例试求氢分子的方均根速率等于离开地球表面的逃逸速率时的试求氢分子的方均根速率等于离开地球表面的逃逸速率时的温度温度. . 分子的方均根速率分子的方均根速率 ，当氢分子的，当氢分子的方均根速方均根速mol23MRTv率等于离开地球表面的逃逸速率率等于离开地球表面的逃逸速率 时时，sm102 .113v解解23H311.2 10 m/sRTM由由可解出可解出 RMT3102 .112H2323311.2 102.02 10K3 8.31K1001. 14理学院 物理系 陈强5.4 能量按自由度分配的统计规律能量按自由度分配的统计规律主要内容：主要内容：3. 理想气体的内能理想气体的内能1. 分子的自由度分子的自由度2. 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理理学院 物理系 陈强zyxzyxzxzyxzyzyxCCOOO(a)(b)(c)yxzyxzyxzxzyxzyzyxCCOOO(a)(b)(c)yxzyxzyxzxzyxzyzyxCCOOO(a)(b)(c)yx5.4.1 分子的自由度分子的自由度自由度数自由度数：确定一个分子的空间位置所需要的独立坐标数目确定一个分子的空间位置所需要的独立坐标数目. .刚性分子：刚性分子：分子内原子之间的距离保持不变的分子分子内原子之间的距离保持不变的分子. .分子种类分子种类303325336HeO2HH O2OH(a)(b)(c)HeO2HH O2OH(a)(b)(c)HeO2HH O2OH(a)(b)(c)理学院 物理系 陈强5.4.2 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理2k21vmE kT23222212121zyxmmmvvvkT212kT在温度为在温度为T 的平衡态下，物质的平衡态下，物质(气体、液体和固体气体、液体和固体)分子的分子的每一个自由度都具有相同的平均动能，其值为每一个自由度都具有相同的平均动能，其值为这一结论称为能量按这一结论称为能量按自由度均分定理自由度均分定理. .kTE21k一个分子的平均平动动能为一个分子的平均平动动能为理学院 物理系 陈强单原子分子、刚性双原子分子、刚性多原子分子的平单原子分子、刚性双原子分子、刚性多原子分子的平均总动能分别为均总动能分别为 . .kTkTkT26,25,23能量按自由度均分定理是大量分子无规则热运动的能能量按自由度均分定理是大量分子无规则热运动的能量所遵从的统计规律量所遵从的统计规律. . iE k分子的平均总动能与自由度数有关分子的平均总动能与自由度数有关. . (2)(3) (1) 说明说明理学院 物理系 陈强 5.4.3 理想气体的内能理想气体的内能理想气体的内能理想气体的内能：气体内所有分子的动能和分子内原子间：气体内所有分子的动能和分子内原子间振动势能的总和振动势能的总和. 1mol刚性分子理想气体的内能为刚性分子理想气体的内能为 质量为质量为m、摩尔质量为、摩尔质量为Mmol的理想气体的内能为的理想气体的内能为RTiMmE2molRTiTkNiENE2)(2AkAmol刚性分子理想气体的内能刚性分子理想气体的内能：气体内所有分子的动能的总和。：气体内所有分子的动能的总和。理学院 物理系 陈强对于一定质量对于一定质量m的某种理想气体的某种理想气体, 内能与温度成正比且仅内能与温度成正比且仅是温度的单值函数是温度的单值函数. .(1) (2) (3) 说明说明理想气体的内能与气体分子的自由度数有关理想气体的内能与气体分子的自由度数有关, ,与与气体的摩气体的摩尔数有关尔数有关. .气体的温度发生变化气体的温度发生变化T 时，气体的内能的改变量为时，气体的内能的改变量为TRiMmE2mol内能变化与过程无关，内能是气体宏观状态的单值函数，内能变化与过程无关，内能是气体宏观状态的单值函数，简称为态函数简称为态函数. .理学院 物理系 陈强求求0时，时，2mol的的H2和和He理想气体分子的平均平动动能，理想气体分子的平均平动动能，平均总动能和气体的内能各是多少平均总动能和气体的内能各是多少? ?例例解解 理想气体分子的平均平动动能仅与温度有关，因而理想气体分子的平均平动动能仅与温度有关，因而H2和和He的平均平动动能为的平均平动动能为J1065. 52321kkTE氦气为单原子分子，氦气为单原子分子，i =3，故氦分子的平均，故氦分子的平均总动能为总动能为23k21331.38 10273.15J22 5.65 10JETk氦气的内能为氦气的内能为RTRTiMmE2322mol2328.31 273.15J6.81 10 J2理学院 物理系 陈强氢气分子为双原子分子，氢气分子为双原子分子，i =5，氢气分子的平均总动能为，氢气分子的平均总动能为因此氢气的内能为因此氢气的内能为k23215225 1.38 10273.15J2 9.42 10JiEkTkTmol22528.31 273.15J211.35 10 JmiERTM理学院 物理系 陈强质量为质量为0.1kg，温度为，温度为27的氮气，装在容积为的氮气，装在容积为0.01m3的容的容器中，容器以器中，容器以v =100ms-1速率作匀速直线运动，若容器突然速率作匀速直线运动，若容器突然停下来，定向运动的动能全部转化为分子热运动的内能停下来，定向运动的动能全部转化为分子热运动的内能. .例例平衡后氮气的温度和压强各增加多少？平衡后氮气的温度和压强各增加多少？求求当容器突然停下来，定向运动的动能转化为分子热运动的内当容器突然停下来，定向运动的动能转化为分子热运动的内能，使气体的温度升高，如果容器体积不变，气体的压强将能，使气体的温度升高，如果容器体积不变，气体的压强将会增大会增大. .解解常温下，氮气可视为刚性双原子分子，则质量常温下，氮气可视为刚性双原子分子，则质量m的氮气的内的氮气的内能为能为RTMmE25mol当温度改变当温度改变T 时，内能的增量为时，内能的增量为mol52mER TM理学院 物理系 陈强当系统定向运动的动能全部转化为分子热运动的内能时，有当系统定向运动的动能全部转化为分子热运动的内能时，有TRMmm2521mol2v则系统温度的变化为则系统温度的变化为232mol28 10100K6.7K55 8.31MTRv容器停止后气体体积不变，由状态方程容器停止后气体体积不变，由状态方程 RTMmpVmol可得到氮气压强的变化可得到氮气压强的变化Pa100 . 2Pa01. 010287 . 631. 81 . 043molTVMmRp思考题思考题: 容器作匀速直线运动时容器作匀速直线运动时,气体的内能改变吗气体的内能改变吗(为什么为什么?)理学院 物理系 陈强5.5 气体分子数按速率分布的统计规律气体分子数按速率分布的统计规律主要内容：主要内容：4. 麦克斯韦速率分布的实验验证麦克斯韦速率分布的实验验证3. 与分子速率有关的物理量的统计平均值与分子速率有关的物理量的统计平均值1. 速率分布函数速率分布函数2. 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律理学院 物理系 陈强5.5.1 速率分布函数速率分布函数 : :vf (v)d( )dNfNvv设一定量的气体设一定量的气体(总分子数为总分子数为N)在给定的温度下处于平衡在给定的温度下处于平衡态态,把速率分成许多相等的区间，若速率分布在某一速率把速率分成许多相等的区间，若速率分布在某一速率区间区间vvdv内的分子数为内的分子数为dN，则，则dN/N表示分布在这一表示分布在这一速率区间内的分子速率区间内的分子数数占总分子数的百分比占总分子数的百分比. .理学院 物理系 陈强5.5.2 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律1. 麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数2223224)(vvvkTmekTmf某一时刻某个分子的某一时刻某个分子的速率有大有小，是偶然的速率有大有小，是偶然的. .但对大量分子的总体而言，在但对大量分子的总体而言，在平衡态下，分子速率遵从麦克斯韦速率分布律平衡态下，分子速率遵从麦克斯韦速率分布律. . f (v) 说明说明理学院 物理系 陈强vd2. 麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线pv)(vfvo2v01d)(vvf在在v1v2区间的曲线下面积区间的曲线下面积21d)(vvvvfNN曲线下的窄条面积元曲线下的窄条面积元vv d)(dfNN1v函数曲线形象地反映了平衡态下理想气体分子按速率的分布情况函数曲线形象地反映了平衡态下理想气体分子按速率的分布情况. .理学院 物理系 陈强 3. 麦克斯韦速率分布曲线的特征麦克斯韦速率分布曲线的特征 pmol21.41kTRTmMv 0d)(dvvf由求极值的条件由求极值的条件 可求得可求得 pv)(vfvo)理学院 物理系 陈强f (v)vOT2(T1T2m2)vf (v)ol温度降低时温度降低时, vp减小，减小，曲线变得较为凸起曲线变得较为凸起; ;l分子质量减小时分子质量减小时, , vp增大，曲线变得较为平坦增大，曲线变得较为平坦. .理学院 物理系 陈强5.5.3 与分子速率有关的物理量的统计平均值与分子速率有关的物理量的统计平均值1. 最概然速率最概然速率mkT2pvmol41. 1MRT2.2.平均速率平均速率与分子速率与分子速率 v 有关的任意力学量有关的任意力学量 g(v) 的统计平均值的统计平均值mkT800d)(d)(vvvvvvvfNNf0d)()()(vvvvfgg022d)(2121vvvvfmm例如：例如：molMRT60. 1理学院 物理系 陈强022d )(vvvvfmkT3mkT32vmol73. 1MRT3.3.方均根速率方均根速率在相同条件在相同条件(T、m 或或Mmol相同相同)下下: 2004006008001 0001 200 v(m/s)f(v)(10-3s/m)vvp2.01.00.002v2vvvp理学院 物理系 陈强(1)由由 确定常数确定常数C. .0v(2)求粒子的平均速率和方均根求粒子的平均速率和方均根速率速率. .求求解解(1)由由f(v)与与v 的函数曲线可知的函数曲线可知 Cfv00vv 0vf)(0vv 由速率分布函数由速率分布函数f(v)的归一化条件可确定常数的归一化条件可确定常数C。 1d0vvf可写成可写成：所以有所以有若大量粒子的速率分布曲线如图所示（当若大量粒子的速率分布曲线如图所示（当 时，粒子数时，粒子数为零）为零）0vv 例例01vC1d00vvCf(v)vv00C理学院 物理系 陈强平均速率为平均速率为 200200202231d1dd000vvvvvvvvvvvvvCf方均根速率为方均根速率为 302vv (2) 2d1dd00000000vvvvvvvvvvvvvCf理学院 物理系 陈强例例在温度为在温度为300K时，空气中速率在时，空气中速率在 (1)vp附近；附近；(2)(2)1010vp附近，附近，速率区间速率区间v1m/s 内的分子数占分子总数的比率是多少？内的分子数占分子总数的比率是多少？麦克斯韦速率分布为麦克斯韦速率分布为解解式中式中vp 为最概然速率为最概然速率 mkT2pv当当T=300K时时，空气分子的，空气分子的最概然速率为最概然速率为p3mol222 8.31 300m/s415m s29 10kTRTmMvvvvvvvvv2p223p22223424eekTmNNkTm理学院 物理系 陈强(1)(1)在在v= vp附近，附近，v1m/s内单位速率区间的分子数占分子内单位速率区间的分子数占分子总数的比率为总数的比率为22p213p441ee1415 0.0020.2%NNvvvvv(2)在在v= 10vp 附近，附近， v1m/s 的速率区间内的分子数的速率区间内的分子数占分子总数的比率为占分子总数的比率为22pp2( 10)p3p1004442(10)4e4100e12.0 104152.0 10%NN vvvvv理学院 物理系 陈强u105mol空气中的总分子数空气中的总分子数 N=6.021023105 ，在，在vp附附近，近，v = 1 m/s 区间内的分子数为区间内的分子数为 26523102 . 1%2 . 0101002. 6%2 . 0Nu 在在10vp 附近，附近， v = 1m /s 区间内的分子数为区间内的分子数为0102 . 1%102101002. 6102154252342N 讨论讨论分子出现在分子出现在 vp 附近的概率最大附近的概率最大理学院 物理系 陈强vv )(fNNsm300vsm10 vmkT2pvmol2MRTsm377vvv222/3224kTmekTmNN)()(4p)(23p2pvvvvvve)37710()377300(42)377300(23e%0 . 2理学院 物理系 陈强 解题思路解题思路利用麦克斯韦速率分布律处理实际问题是本章的难点与重利用麦克斯韦速率分布律处理实际问题是本章的难点与重点，正确理解和掌握速率分布函数与麦克斯韦分布律的物点，正确理解和掌握速率分布函数与麦克斯韦分布律的物理意义是关键理意义是关键. .例如例如NNfdd)(vv表示平衡态下，处在速率间隔表示平衡态下，处在速率间隔vvdv 内的分子数占总分内的分子数占总分子数的比率子数的比率NNfdd)(vv表示平衡态下，处在速率间隔表示平衡态下，处在速率间隔vvdv 内的分子数内的分子数2121dd)(vvvvvvNNf表示平衡态下，处在速率间隔表示平衡态下，处在速率间隔v1v2内的分子数内的分子数. . 理学院 物理系 陈强典型的问题有以下几类：典型的问题有以下几类：1. 根据麦克斯韦分布律求在某速率区间内的分子数根据麦克斯韦分布律求在某速率区间内的分子数. .vvvkTmekTmNN22232242. 已知速率分布函数，求与速率有关的任意物理量的统计已知速率分布函数，求与速率有关的任意物理量的统计平均值平均值0d)()()(vvvvfgg理学院 物理系 陈强5.5.4 麦克斯韦速率分布的实验验证麦克斯韦速率分布的实验验证 验证麦克斯韦速率分布的实验装置及数据验证麦克斯韦速率分布的实验装置及数据理学院 物理系 陈强5.6 分子数按能量分布的统计规分子数按能量分布的统计规律律主要内容：主要内容：1. 玻耳兹曼能量分布律玻耳兹曼能量分布律2. 重力场中微粒按高度的分布重力场中微粒按高度的分布理学院 物理系 陈强5.6.1 玻耳兹曼能量分布玻耳兹曼能量分布1.无外力场时分子按动能的分布规律无外力场时分子按动能的分布规律分子数按速率的分布分子数按速率的分布代入速率分布式可得到按动能分布的规律代入速率分布式可得到按动能分布的规律23/222d4()ed2mkTNmNkTvvv2k21vmE vv ddkmE kk2ddmEEvmEk2vk3/21/2kkkd2()()edEkTNf EkTENE在动能在动能Ek附近单位动能区间内的分子数占总分子数附近单位动能区间内的分子数占总分子数的比率的比率. .理学院 物理系 陈强2. 有外力场时分子按能量的分布规律有外力场时分子按能量的分布规律分子处于保守力场中时，分子能量既有动能又有势能分子处于保守力场中时，分子能量既有动能又有势能 分子动能是分子速度的函数，分子势能一般是位置的函数，分子动能是分子速度的函数，分子势能一般是位置的函数，分子数按能量分布关系与速度有关，也和空间位置有关分子数按能量分布关系与速度有关，也和空间位置有关. .(p)3k20d()edddd d d2EEkTxyzmNnxyzkTvvv其中其中n0 表示表示Ep=0=0处气体分子的数密度处气体分子的数密度. .（玻耳兹曼分子按能量分布定律）（玻耳兹曼分子按能量分布定律）p222p2pk)(2121EmEmEEEzyxvvvv理学院 物理系 陈强(2) 玻尔兹曼分布与负指数因子玻尔兹曼分布与负指数因子 成正比，按照统计分成正比，按照统计分布，布，分子总是优先占据低能量的状态，即分子处于低能分子总是优先占据低能量的状态，即分子处于低能量状态的概率大量状态的概率大. .kpeEEkT(1) 麦克斯韦速率分布律不考虑外力场的作用，气体分子在麦克斯韦速率分布律不考虑外力场的作用，气体分子在空间的分布是均匀的空间的分布是均匀的. .但如果但如果有外力场（保守力场）存在，有外力场（保守力场）存在，需要考虑分子的势能，分子在空间的分布不均匀需要考虑分子的势能，分子在空间的分布不均匀. .玻耳兹玻耳兹曼给出了气体分子按能量的分布规律曼给出了气体分子按能量的分布规律. . 说明说明(3) 玻耳兹曼分布律是一个普遍的规律玻耳兹曼分布律是一个普遍的规律，它对任何物质微粒，它对任何物质微粒(气体、液体和固体分子等气体、液体和固体分子等)在任何保守力场中的运动都在任何保守力场中的运动都成立成立. .理学院 物理系 陈强5.6.2 重力场中微粒按高度分布重力场中微粒按高度分布根据麦克斯韦速度分布函数的归一化性质根据麦克斯韦速度分布函数的归一化性质则玻耳兹曼分布可以写为：则玻耳兹曼分布可以写为：（粒子数密度按势能的分布）（粒子数密度按势能的分布）3k2- ()eddd12EkTxyzmkT vvvp- 0ded d dEkTNnxyzzyxNnddddP0eEkTnn分子按势能的分布规律是玻耳兹曼分布律的另一常用形式分子按势能的分布规律是玻耳兹曼分布律的另一常用形式. .理学院 物理系 陈强如果保守外力场为重力场，势能为如果保守外力场为重力场，势能为 Ep=mgz （z为高度），则为高度），则(重力场中粒子数密度按高度的分布重力场中粒子数密度按高度的分布)将其代入理想气体状态方程有将其代入理想气体状态方程有0emgzkTpn kT- 0emgzkTnn- 0emgzkTp 0eMRTgzp此式称为等温气压公式，对其取对数，可导出高度公式此式称为等温气压公式，对其取对数，可导出高度公式ppgMRTppmgkTz0mol0lnln只要测出大气压强随高度的变化，可估算出爬山和航空中上升的高度只要测出大气压强随高度的变化，可估算出爬山和航空中上升的高度. . 理学院 物理系 陈强5.7 气体分子平均碰撞频率及平均自由程气体分子平均碰撞频率及平均自由程主要内容：主要内容：1. 气体分子平均碰撞频率气体分子平均碰撞频率2. 气体分子平均自由程气体分子平均自由程理学院 物理系 陈强5.7.1 气体分子的平均碰撞频率气体分子的平均碰撞频率 平均碰撞频率：平均碰撞频率：一个分子在单位时间内与其他分子碰撞的平一个分子在单位时间内与其他分子碰撞的平均次数，用均次数，用 表示表示. .Z理学院 物理系 陈强分子以平均速率分子以平均速率 运动运动 v t 时间内时间内路程：路程： tv曲折圆柱体的体积为：曲折圆柱体的体积为： tdv2d2dv假定只有我们追踪的分子以平均速率运动，而其它分子是假定只有我们追踪的分子以平均速率运动，而其它分子是静止不动的，静止不动的， u 平均碰撞频率的推导平均碰撞频率的推导曲折圆柱体内总分子数：曲折圆柱体内总分子数： tdnv2理学院 物理系 陈强考虑其他分子也在运动，气体分子的平均相对速率考虑其他分子也在运动，气体分子的平均相对速率平均碰撞频率平均碰撞频率 vv22dnttdnZv2u平均碰撞频率平均碰撞频率 ndZv22 说明说明l气体单位体积中的分子数越多，分子间的碰撞越频繁气体单位体积中的分子数越多，分子间的碰撞越频繁. .l气体分子平均速率越大，分子间的碰撞越频繁气体分子平均速率越大，分子间的碰撞越频繁. .l气体分子有效直径越大，分子间的碰撞越频繁气体分子有效直径越大，分子间的碰撞越频繁. .理学院 物理系 陈强5.7.2 气体分子的平均自由程气体分子的平均自由程ndZ221vpdkT22平均自由程：平均自由程：分子在连续两次碰撞之间所通过的自由路程分子在连续两次碰撞之间所通过的自由路程的平均值的平均值, , 用用 表示表示 平均自由程与分子的有效直径平均自由程与分子的有效直径d 的平方及单位体积内的分的平方及单位体积内的分子数子数n成反比，而与分子的平均速率无关成反比，而与分子的平均速率无关. . 温度一定时，分子的平均自由程与气体的压强成反比温度一定时，分子的平均自由程与气体的压强成反比. .理学院 物理系 陈强氢分子在标准状态下平均速率，平均碰撞频率及平均自由程氢分子在标准状态下平均速率，平均碰撞频率及平均自由程. .例例由题意知由题意知 解解已知氢分子的有效直径是已知氢分子的有效直径是210-10m. .求求kg1000. 23molMK15.273TapP10013. 15m10210d氢分子的平均速率为氢分子的平均速率为 mol60. 1MRTv分子的平均自由程为分子的平均自由程为pdkT222372051.38 10273.15m2.10 10 m1.41 3.14 4.00 101.013 10138.31 2.73.151.60m s2.00 1013sm1070. 1分子的平均碰撞频率为分子的平均碰撞频率为Zv319171.70 10s8.1 10 s2.10 10标准状态下，标准状态下，1秒钟内，一个氢分子平均要与周围分子碰撞秒钟内，一个氢分子平均要与周围分子碰撞八十亿次八十亿次。 理学院 物理系 陈强K273TPa10013. 15p138 8.31 273m s3.14 32 101426 m skTpn 53231.013 10m1.38 10273325m1069. 2ndzv2219s1028. 4zv9426m4.28 10m1095. 98mol8MRTv理学院 物理系 陈强本章小结本章小结1. 理想气体状态方程理想气体状态方程2. 理想气体压强公式理想气体压强公式3.温度的统计意义温度的统计意义4. 能量均分定理能量均分定理RTMmpVmolnkTp 22132vmnpk32Enp kTE23kkTiE2k理学院 物理系 陈强5. 理想气体的内能理想气体的内能RTiMmE2mol6. 麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数222/3224)(vvvkTmekTmf(1) 最概然速率最概然速率mol2MRT7. 三种特征速率三种特征速率(2) 平均速率平均速率(3) 方均根速率方均根速率mkT8vmkT32vmkT2pvmol8MRTmol3MRT理学院 物理系 陈强- 0emgzkTnn6. 玻耳兹曼能量分布律玻耳兹曼能量分布律p0eEkTnn- 0eMRTgzpp(1) 分子数密度按势能分布分子数密度按势能分布(2) 分子数密度按高度分布分子数密度按高度分布(3) 等温气压公式等温气压公式7. 气体分子平均碰撞频率及平均自由程气体分子平均碰撞频率及平均自由程ndZv22pdkT22nd221理学院 物理系 陈强C C6060（足球烯）微观结构示意图（足球烯）微观结构示意图