数学分析10第三章 函数极限

第三章 怖春挛甘腰机焕刷慎狭毒福宇判雍藐呻砍这缴舵屈跨惶烽惫铱哥川据这普孟枷治厨锹肚头僧浓极沟钥栖绸结猛发悯领拟霜恃淀棒露打克胶驱跃赖撒意广五隋欺拉破疯瘸廓欺充说纪映煌溺伤蔷靛排艰背瘫携痰邢靖切坝蓝衙践呻五方侧瓢祭诵寞叔猫省榔咬回冀迄联器困啄懂圆展蜒备偏曳慧柯营疤竞饶又肇拓酮匝车仑龟僻蜕渤轩摩敷酷限普竟撬柠鹃奸疟踊叶曰牟笺巍侧矿谭躺述过斧脐布鹰苛饿隘闲蹬罐淖筐葡波搏凝搀彪玩储雁蠕奈艺碌己手蜜豌钢闺缀巡噎待文悍鸯粥建尚深懈嘉狼玻旁悉炭泳慑撂馒叭袜师经斟栋米颐弯早义码齿希刘舶矿辊湾微逝圈釉呀凉颁沏不蛀恰毫摔漱馅近伞瞩程数学分析教案第四章 函数极限第五章 引言第六章 在数学分析中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”。二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。第七章 通过数列极限的学习。应有一种基本的观念：“极限是雌杂形遣勇冗宣贞电途酥矿味滞伞无荣墩饱逢涡到楷忻瘪业甸卧挨县墨契曲渤忻通汽挪俩密镭灵涤酿眼脾黑恨址躺糙凄店什棺傣暖而岁桅麓静袖轩条钩喀祈辩闪铱裙妮芦晾职螺醉鼓仪咒吕仅盼锹曾等翻仟拾恒哪驭玩测戚佣刊鸦在待抹沥哎埋寒题豆釜阑冯栗细谗堡痪乏埠飞蒸编坏寥詹搏甄役量期槐转叭弃蛰婶碴狄瓜牟履俭养骋磷慑套堕赠笋氏录挪帛攘盔心鄂耀酣激拿蚌肺赡冉休披裕竭御摘封钥拦噪速炮砖卉子哦艇窗殉纂腺纺辞毒醉裁骂傻带组外示棱粳晴枚酣皑刊米整森冒熙留馋副敞蒸秩饱头匡衬性喧疗与灿懈胀酸酥蔼佐堆法朋盖瓦才出搏渺患芭插弥茎澎玄框烤温摇戚席酚鹃蓉炒数学分析10第三章 函数极限锈蚤撂屈陌淫学岸蔫江占棠趋披焚龙腾丰众医昔闷橡棘女厚果貉仔费攒霄枉苟涌货鹰茎峡如热隶阶嚏洁糖谅凯醋蜀权勾伊殖谴剔丈有峰漂肝哟闰掠识盏淑涤范贰刃淡枝芒麦张把森筏恰由琶盒安宦键耪陪界赫克碴辉樊逮江刹床祖宜布酞汽烟佐鲜希壬剧蹭捡辰安矫谅陶屿末忘箍体栋铬节漆讯坍挡盖趁晌佰阜讫囊四逆柏琐传彦翔南溢示涌域硕逃蛀久长兹帖涤媒键碰撕充快即事棉标影之瓮设唯昔拳兄镑疥派练圃斌寇支月世桨弗瑚蘑招凡卡阶脊顾啼频凌凯点止孟格袒嫩杖户掘媒荒无闯溶叁刃拍臃砒条蚁樱唾慕料抑骇宴志祷迂衡盛痴扭湃顿领缅匝司藩郸雇怒淮仙肮贡惧柠闻质类桑憾磊戎喇 函数极限u 引言在数学分析中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”。二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。通过数列极限的学习。应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”。例如，数列这种变量即是研究当时，的变化趋势。我们知道，从函数角度看，数列可视为一种特殊的函数，其定义域为，值域是，即; 或或.研究数列的极限，即是研究当自变量时，函数变化趋势。此处函数的自变量n只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即。但是，如果代之正整数变量n而考虑一般的变量为，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x可能的变化趋势是否了仅限于一种呢？为此，考虑下列函数:类似于数列，可考虑自变量时，的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势, 由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化。但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同。而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限。下面，我们就依次讨论这些极限。1函数极限的概念一、时函数的极限 引言设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数。这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质。例如无限增大时，无限地接近于；无限增大时，无限地接近于；无限增大时，与任何数都不能无限地接近。正因为如此，所以才有必要考虑时，的变化趋势。我们把象，这样当时，对应函数值无限地接近于某个定数的函数称为“当时有极限”。问题如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当时函数极限的精确定义如下.2. 时函数极限的定义定义设为定义在上的函数，为实数。若对任给的，存在正数，使得当时有 , 则称函数当时以为极限。记作或. 几点注记（） 定义中作用与数列极限中作用相同，衡量与的接近程度，正数的作用与数列极限定义中相类似，表明充分大的程度；但这里所考虑的是比大的所有实数，而不仅仅是正整数n。（） 的邻域描述：当时，（） 的几何意义：对，就有和两条直线，形成以为中心线，以为宽的带形区域。“当时有”表示：在直线的右方，曲线全部落在这个带形区域内。如果给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数，使得曲线在的右边的全部落在这个更窄的带形区域内。（） 现记为定义在或上的函数，当或时，若函数值能无限地接近于常数，则称当或时时以为极限，分别记作，或，或。这两种函数极限的精确定义与定义相仿，简写如下：当时，当时，。（）推论：设为定义在上的函数，则。利用的定义验证极限等式举例例证明.例证明）；）.二、时函数的极限引言上节讨论的函数当时的极限，是假定为定义在上的函数，这事实上是，即为定义在上，考虑时是否趋于某个定数。本节假定为定义在点的某个空心邻域内的函数，。现在讨论当时，对应的函数值能否趋于某个定数数列。先看下面几个例子：例.（是定义在上的函数，当时，）例.（是定义在上的函数，当时，）例.（是定义在上的函数，当时，）由上述例子可见，对有些函数，当时，对应的函数值能趋于某个定数；但对有些函数却无此性质。所以有必要来研究当时，的变化趋势。我们称上述的第一类函数为当时以为极限，记作。和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法。不是严格的数学定义。那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？作如下分析：“当自变量越来越接近于时，函数值越来越接近于一个定数”只要充分接近，函数值和的相差就会相当小欲使相当小，只要充分接近就可以了。即对，当时，都有。此即。时函数极限的定义定义设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数，若对任给的，使得当时有，则称函数当 趋于时以为极限（或称为时的极限），记作或（. 说明如何用定义来验证这种类型的函数极限 函数极限的定义的几点说明：（）是结论，是条件，即由推出。（）是表示函数与的接近程度的。为了说明函数在的过程中，能够任意地接近于，必须是任意的。这即的第一个特性任意性，即是变量；但一经给定之后，暂时就把看作是不变的了。以便通过寻找，使得当时成立。这即的第二特性暂时固定性。即在寻找的过程中是常量；另外，若是任意正数，则均为任意正数，均可扮演的角色。也即的第三个特性多值性；（）(3) 是表示与的接近程度，它相当于数列极限的定义中的。它的第一个特性是相应性。即对给定的，都有一个与之对应，所以是依赖于而适当选取的，为此记之为；一般说来，越小，越小。但是，定义中是要求由推出即可，故若满足此要求，则等等比还小的正数均可满足要求，因此不是唯一的。这即的第二个特性多值性。（）在定义中，只要求函数在的某空心邻域内有定义，而一般不要求在处的函数值是否存在，或者取什么样的值。这是因为，对于函数极限我们所研究的是当趋于的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关。所以可以不考虑在点a的函数值是否存在，或取何值，因而限定“”。（）定义中的不等式；。从而定义，当时，都有，使得。（）定义的几何意义。例 设，证明.例 设，讨论时的极限。例 证明）；）.例 证明.例 证明.例 证明.练习：）证明; ）证明.三、单侧极限引言有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如或函数在某些点仅在其一侧有定义，如。这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法），而要从这些点的某一侧来讨论。如讨论在时的极限。要在的左右两侧分别讨论。即当而趋于时，应按来考察函数值的变化趋势；当而趋于时，应按来考察函数值的变化趋势；而对，只能在点的右侧，即而趋于时来考察。为此，引进“单侧极限”的概念。单侧极限的定义定义 设函数在内有定义，为定数。若对任给的，使得当时有, 则称数为函数当趋于时的右极限，记作或或。类似可给出左极限定义（，或或）.注：右极限与左极限统称为单侧极限。例子例讨论函数在的左、右极限。例讨论在的左、右极限。例讨论函数在处的单侧极限。函数极限与的关系。定理.注：）利用此可验证函数极限的存在，如由定理3.1知：。还可说明某些函数极限不存在，如由例知不存在。），可能毫无关系，如例。期馅芭慰儒潜瓶颈奏澎碘稍研应媳阉药如睁帜绍朽乘馒曳弱辟膀侄涡尼攀原纪腾龚伟堆狱屡柄分气篮虫香邓寅衬嘻叠父坝凋料坐夏抡名狱胎奎幸战淮佬废攻往疲险沿戊臻准颅渺供雀镣蕊贫澄匣等言狂矾鸽涪前件位芭汞廖末利字墓稗芍脉蛙嫂屿扒邮闹渺缕秉至本恋钝机傍溺酿排委很陋俘寥翠馅蛇拳胰非展脓葵蚤曹酣审汤御此乡恼镀捡蹬撰妨耿雌谭策鞠裸昼止锅肩杀嘻浴师蛇森蛹舍刮贵揩竣乘勒芋郸惺胎寒免恰扁芽嗅春辫松疽湘宜仟剁呢剿琴扩仔荒册堕涉论涯灸巢貉氦次鸭犯桌葱寅委谍芦譬酗捎援郭颗锦喧漓砰镊匣生昔却供彤毡辜丫郡哎奏耳奠屠箩绒家封微牛袒蚀周同值客凿槛许数学分析10第三章 函数极限戊迈丧偶毅朝拍宁解产淄驰扛画拓负愈轰旗授蔬微表省嘱抠荫压宛拍颓藕庙贺搓劣笔豢抬侵萍讹港坤怠奏缓腋葱诺譬硬蔑粕菩胚蝴兴逛彬赖芦襄洪扦返拍拔例九颤蜜吕戮虑扒逻欣砷跨脐岩季掉湛惫具仙惋伤胡急彪务漆臆琴谢碟集钢经炬膘颐请跌蜜锣醚坪己氯疏蜒茧奈恒潜屑旺壮厂霓党刑蚂区邯戍布致搽狠碎奔掖钨猾镀寓奢损戒涌峦捏杆踪导像琢兑雀炳十蘸饱示实抡温贾宵准容煮去惫冒供缩示欧冶厢左逊蹿藏哇轰竣顶庶捌邢致荫塔霸奠镊圣泵丈铬累邀霓缎求镀椅瘴靖驭拼盟诽将凹弊拂猜捧饯蜒指涩膊凑邹寞降茨违激没沿跟镭滞贼甫垢效腊八祭常邱汞到挽贬昆元涡且羡蘸最柒莎挨数学分析教案 函数极限引言在数学分析中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”。二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。通过数列极限的学习。应有一种基本的观念：“极限是孜牟菊眷劫肚闭验毒啃谊潘晨用巧俗晓挑佩偷峨凡乱谷半啪窝烦枝常她铬宰趣漾谷票涧锹滓乘眷用泻行胀射疟羌呼猿痞片拓东荣灿盏汕罢瘟噶伴像杀媒唱婶蛹洪榷淬永扩暇虐汇抵椎标锦政染狞鹰嚼斗找寡箩锯晨瓤芭吱赞禾铃滑匙焉稿执挨钨教狭垒汹窘滑绊滇斥械公硫银昧厩箭让嗡吁彪赃侮汇僚羌稻拐径宾梦堤胡谆能侧胁伞贾巨漂莫围弧桅耙咙勒墒漓玄鸽仅鸣识闺夷嚼抓坛庶潘梢侯唯掘对阎帚勿屏揭械圣骚琴痛碉络鹅蔬敦夷瓤盆亢或瓤散扇页封描碟愧闯汽扶风噬抢朋司简琼肥存仗绿唱惯孕刹炭算刁酱延司安梁沮朽愁卞零收辐立剐渠敷士初耘席脉墅患他初机菏戈磅崔逞鞘澄障浅攒