2017年 江西省重点中学协作体高三下学期第一次联考数学（理）试题

2017届 江西省重点中学协作体高三下学期第一次联考数学（理）试题考试用时：120分 全卷满分：150分 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设集合，则（ ）A. B. C. D. 3. 已知变量呈现线性相关关系，回归方程为，则变量是（ ）A线性正相关关系 B由回归方程无法判断其正负相关关系 C线性负相关关系 D不存在线性相关关系 4. 若直线过三角形内心（三角形内心为三角形内切圆的圆心），则“直线平分三角形周长”是“直线平分三角形面积”的（ ） 条件A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要5. 如果执行如图所示的程序框图，输入正整数和实数，输出，则（ ）A+为，的和 B和分别是，中最大的数和最小的数 C为，的算术平均数 D和分别是，中最小的数和最大的数6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D7. 若一个空间几何体的三视图如右图所示，且已知该几何体的体积为 ，则其表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，且，则的最大值（ ） A2 B4 C5 D69. 已知函数和函数在区间上的图像交于 三点，则的面积是（ ） A. B. C. D.10. 等差数列的前项和为，若公差，则（） A B C D11. 我国古代数学家祖暅是著名数学家祖冲之之子，祖暅原理叙述道 :“夫叠棋成立积，缘 幂势既同，则积不容异。”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体被平行于这两个 平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积 相等。其最著名之处是解决了“牟合方盖”中的体积问题，其核心过程为：如下图正方 体 ，求图中四分之一圆柱体和四分之一圆柱体 公共部分的体积 ，若图中正方体的棱长为2，则（ ） （在高度 处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为 ，截得正方体所得面积为 ，截得锥体所得面积为 ， ，） A B C D12. 设、分别为双曲线的左、右顶点，是双曲线上关于轴对称的不同两点，设直线的斜率分别为，则取得最小值时，双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13二项式的展开式中第四项的系数为 14如右图所示矩形边长，抛物线顶点为边的中点，且两点在抛物线上，则从矩形内任取一点落在抛物线与边围成的封闭区域（包含边界上的点）内的概率是 15. 已知向量满足：，且，若，其中且，则最小值是 16已知锐角中，内角所对应的边分别为，且满足：，则的取值范围是 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）数列满足，（1）设，证明是等差数列，并求的通项公式；（2）设，求数列的前项和18. （本小题满分12分）2016年11月20日-22日在江西省南昌市举行了首届南昌国际马拉松赛事，赛后某机构用“10分制”调查了很多人（包括普通市民，运动员，政府官员，组织者，志愿者等）对此项赛事的满意度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的满意度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若满意度不低于9.5分，则称该被调查者的满意度为“极满意”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极满意”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据，若从该被调查群体(人数很多)任选3人，记表示抽到“极满意”的人数，求的分布列及数学期望.19. （本小题满分12分）如图，在棱台中，与分别是棱长为1与2的正三角形，平面平面，四边形为直角梯形，点为的重心，为中点，（1）当时，求证：/平面；（2）若直线与所成角为，试求二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆的左右焦点分别为，过点作直线交椭圆于 两点，若且（1）求椭圆的方程；（2）已知圆为原点，圆与椭圆交于两点，点为椭圆上一动点，若直线与轴分别交于点求证：为常数.21.（本小题满分12分）若总有则称为与在上的一个“严格分界函数”.（1）求证：是和在上的一个“严格分界函数”；（2）函数，若存在最大整数使得在恒成立，求的值.（是自然对数的底数，）请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（）写出曲线的极坐标方程；（）设点的极坐标为（），过点的直线与曲线相交于两点，若，求的弦长23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲选修4-5：不等式选讲设，（）（1）求证：；（2）若不等式对任意非零实数恒成立，求的取值范围.江西省重点中学协作体2017届高三第一次联考数学（理科）试卷参考答案一、选择题1-5: DBCCB 6-10: BACCB 11、12：AD12.详解：解析：设点则，所以，即，又，即，所以，则，令则，考查函数，由，知时单调递减，时单调递减，所以当时，取得唯一极小值即为最小值，此时，所以二、填空题13. 14. 15. 16. 16.详解：由得，则，所以，可化为，则，又为锐角三角形，所以，又，所以，则，所以，解得三、解答题17.解：（1）由，得，即，所以为等差数列，且5(分) （2）因为，8(分)所以，则12(分)18.解：（1）众数：8.6；中位数：8.75 2(分) （2）由茎叶图可知，满意度为“极满意”的人有4人。设表示所取3人中有个人是“极满意”，至多有1人是“极满意”记为事件， 6(分) （3）从16人的样本数据中任意选取1人，抽到“极满意”的人的概率为，故依题意可知，从该顾客群体中任选1人，抽到“极满意”的人的概率.的可能取值为0，1，2，3； 9(分) 所以的分布列为 . 另解：由题可知， 所以=.12(分)19.解：（）连延长交于，因为点为的重心，所以又，所以，所以/；3(分)为中点，为中点, /,又/，所以/，得四点共面/平面6(分)（）平面平面，平面，连接易得，以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，则，设， ，因为与所成角为，所以，得，8(分)设平面的法向量，则，取，平面的法向量，所以二面角的余弦值12(分)20.解：(1)设，则， 则有，解得3(分)，于是，在中，所以，所以，椭圆的方程为.6(分)(2)由条件可知、两点关于轴对称，设，则，所以，直线的方程为，9(分)令得点的横坐标，同理可得点的横坐标.于是，所以，为常数12(分)21.解：（1）证明：令，当时，故在区间上为减函数，因此，故2(分)再令，当时，故在区间上为增函数，所以，故是和在上的一个“严格分界函数”5(分)（2） 由（1）知.又，7分)令解得，易得在单调递减，在单调递增，则9(分)又在存在使得，故在上先减后增，则有，则，所以，则12(分)22.解析：（1）由（为参数），得，即，所以5(分)（2）设直线的参数方程是（为参数）（1）曲线的直角坐标方程是，（2）联立方程可得，所以，且，所以，则或，所以10(分)23.解析：（1） 4(分)（2）即，化简或或解得或，即为所求10(分)- 12 -