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【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【20xx新课标全国】已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ）（A） （B） （C）（D）【答案】C；【解析】，故，即，故渐近线方程为.2.【20xx新课标全国】已知椭圆 (ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点.若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为 ( )A、1B、1 C、1D、1【答案】D；3.【20xx新课标全国】为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】C；【解析】易知，过点作准线的垂线交于，可知，在线段上的射影记为，则，故，由勾股定理可知，故4.【20xx全国1高考理】已知为双曲线:的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）A. B. 3 C. D. 【答案】A5.【20xx全国1高考理第10题】已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图所示，因为，故，过点作，垂足为M，则轴，所以，所以，由抛物线定义知，选B6.【20xx高考全国1卷文】已知双曲线的离心率为2，则（ ）A. 2 B. C. D. 1【答案】D【解析】由离心率可得:，解得：7.【20xx高考全国1卷文】已知抛物线C：的焦点为,是C上一点，则（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】A8.【20xx全国II理11】已知为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设双曲线方程为，如图所示，由，则过点作轴，垂足为， 在中，故点的坐标为，代入双曲线方程可得，即有，所以.故选D9.【20xx全国I理5】已知是双曲线上的一点，是的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）.A B C D【答案】A【热点深度剖析】椭圆、双曲线、抛物线的性质综合问题是高考考试的重点，每年必考，一般是两小一大的布局，小题部分： 20xx年文理各两道，文理都考查了利用双曲线的基本性质，求双曲线的渐近线，另一道理科考查了直线与圆锥曲线的位置关系，利用中点弦，求椭圆方程，文科考查了利用抛物线的基本性质求三角形的面积；20xx年文理在小题部分都是两道，理科一道考查了利用双曲线的标准方程和简单几何性质，点到直线的距离公式，另一道考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，向量共线，文科比较简单，一道考查了双曲线的几何性质，另一道考查了利用抛物线的方程和定义.20xx年以双曲线为载体进行命题.从这三年高考试题来看，椭圆、双曲线、抛物线的性质综合问题是高考考试的热点，试题难度往往是有一道基础题，另一道是提高题，难度中等以上，有时作为把关题考查方面离心率是重点，其它利用性质求圆锥曲线方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求圆锥曲线中的最值或范围问题，过定点问题，定值问题等从近几年的高考试题来看，小题中双曲线的定义、标准方程及几何性质是高考的热点，题型大多为选择题、填空题，难度为中等偏低，主要考查双曲线的定义及几何性质，考查基本运算能力及等价转化思想，而椭圆、抛物线的性质一般，一道小题，一道解答题，难度中等，有时作为把关题存在，而且三大曲线几乎年年都考，故预测20xx年高考题中基础客观题仍会以双曲线为载体，综合性客观题有可能以椭圆与抛物线为载体进行命题，一个热点是求曲线的离心率，另一个热点是圆锥曲线中的最值或范围问题【重点知识整合】1椭圆及其标准方程：椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|，则这样的点不存在；若距离之和等于|，则动点的轨迹是线段.椭圆的标准方程：（0），（0）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.求椭圆的标准方程的方法： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.如果已知椭圆过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为或；椭圆的参数方程： 椭圆（0）的参数方程为（为参数）.说明 这里参数叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角与直线OP的倾斜角不同：； 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.2椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质：设椭圆方程为（0）.范围： -axa，-bxb，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里.对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.顶点：有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）. 线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0e1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.椭圆的第二定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e1时，这个动点的轨迹是椭圆.准线：根据椭圆的对称性，（0）的准线有两条，它们的方程为.对于椭圆（0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设（-c，0），（c，0）分别为椭圆（0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点，另一个顶点在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则三角形的周长为定值等于，面积等于，其中是短半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为3双曲线及其标准方程：双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|，则动点的轨迹是两条射线；若2a|，则无轨迹.若时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程：和（a0，b0）.这里，其中|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，不一定大于，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.如果已知双曲线过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为或4双曲线的简单几何性质双曲线的实轴长为，虚轴长为，离心率1，离心率e越大，双曲线的开口越大.双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中k是一个不为零的常数.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是和.在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有与的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.在双曲线中，如果一个三角形的两个顶点是焦点，另一个顶点在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则面积等于，其中是虚半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为5抛物线的标准方程和几何性质抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线.这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线.需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线.抛物线的方程有四种类型：、.对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向.抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例（1）范围：x0；（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；（3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；（5）准线方程；（6）焦半径公式：抛物线上一点，F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p0）： （7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式.设过抛物线y2=2px（pO）的焦点F的弦为AB，A，B，AB的倾斜角为，则有或，以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求.在抛物线中，以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物的对应准线相切；【应试技巧点拨】焦点三角形问题的求解技巧(1)所谓焦点三角形，就是以椭圆或双曲线的焦点为顶点，另一个顶点在椭圆或双曲线上的三角形(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识：椭圆或双曲线的定义；勾股定理或余弦定理；基本不等式与三角形的面积公式离心率的求法双曲线与椭圆的离心率就是的值，有些试题中可以直接求出的值再求离心率，在有些试题中不能直接求出的值，由于离心率是个比值，因此只要能够找到一个关于或的方程，通过这个方程解出或，利用公式求出，对双曲线来说，对椭圆来说，.求圆锥曲线方程的方法(1)定义法：在所给的条件满足圆锥曲线的定义时或已知圆锥曲线的焦点及其上一点的坐标时常用此方法(2)待定系数法：顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为或()，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时不具有的几何意义中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为 ()，双曲线方程可设为 ()这样可以避免繁琐的计算利用以上设法，根据所给圆锥曲线的性质求出参数，即得方程4最值或范围问题的解决方法解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下几种：(1)利用函数，尤其是二次函数求最值；(2)利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值；(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值；(4)利用判别式求最值；(5)利用数形结合，尤其是切线的性质求最值5求定值问题的方法定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解方法是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题6 有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，则所得弦长或，其中求与时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：，.当斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算【考场经验分享】1.圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础.因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求，双曲线的定义中要求.2区分双曲线中的大小关系与椭圆关系，在椭圆中，而在双曲线中.3双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率4.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤：(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)；(3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解5.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程6.求解圆锥曲线的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数7.求解抛物线中的最值问题要注意定义的灵活运用，即抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离相等，解该题的关键就是利用此定义将问题转化为求解圆上的点到定点距离的最值问题【名题精选练兵篇】1. 【20xx届陕西省西北工大附中高三第四次适应性考试】已知为椭圆的左、右焦点，若为椭圆上一点，且的内切圆的周长等于，则满足条件的点有（ ）A0个 B1个 C2个 D4个【答案】C2【20xx届河南省洛阳市一中高三下学期第二次模拟】设为抛物线的焦点，为该抛物线上不同的三点，为坐标原点，且的面积分别为，则（ ）A.2 B.3 C.6 D.9【答案】B【解析】由题意可知，设，则，由得，即，又在抛物线上，所以，所以，故选B.3【20xx届湖北省沙市中学高三下第三次半月考】已知双曲线的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2. 若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（ ）A B C D【答案】A【解析】由已知，两边平方且由得，两边同除以，得，解得，故.4【20xx届河北省邯郸一中高三下第一次模拟】已知为双曲线的左焦点，定点，若双曲线上存在一点满足，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】A5【20xx届陕西省西安一中等八校高三下联考】已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，的内切圆与轴相切于点，则的值为（ ）A B C D【答案】B【解析】在双曲线上,可得，设内切圆与轴相切于点，与圆切与于，由双曲线的定义可知，由切线长定理知，即，可得,解得，故选B.6【20xx届辽宁省沈阳东北育才学校高三上二模】设抛物线的焦点为F，经过点P（2，1）的直线与抛物线相交于 两点，点P恰为的中点，则|+|=（ ）A.8 B.10 C.14 D.16【答案】A【解析】抛物线的准线为直线，设两点到准线的距离分别为，则有，到准线的距离为，所以7【20xx届青海省平安一中高三4月月考】椭圆左右焦点分别为，为椭圆上任一点且最大值取值范围是，其中，则椭圆离心率的取值范围（ ）A B C D【答案】B8【20xx届河北省衡水中学高三下学期一模考】已知点在椭圆，点满足（其中为坐标原点，为椭圆的左焦点），则点的轨迹为（ ）A圆 B抛物线 C双曲线 D椭圆【答案】D【解析】因为点满足（其中为坐标原点，所以点是的中点，设，由于为椭圆的左焦点，则，故，由点在椭圆上，则点的轨迹方程为，故选D.9【20xx届宁夏六盘山高中高三第二次模拟】已知椭圆与x轴负半轴交于点C，A为椭圆第一象限上的点，直线OA交椭圆于另一点B，椭圆的左焦点为F，若直线AF平分线段BC，则椭圆的离心率等于（ ）A B C D【答案】A10【20xx届福建省漳州市高三下学期第二次模拟】已知抛物线的准线与坐标轴交于点，为抛物线第一象限上一点，为抛物线焦点，为轴上一点，若，则=（ ）（A） （B） （C） （D） 2【答案】【解析】设，则转化到到准线的距离，在直角三角形中，易知，则.11.【20xx届浙江省嘉兴市高三9月学科基础知识测试】经过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线与A，B两点，交双曲线的渐近线于P，Q两点，若，则双曲线的离心率是（ ）A B C D【答案】D【解析】由题意可知，离心率12. 【20xx届河南省商丘市高三第一次模拟考试】已知抛物线4x与双曲线（a0，b0）有相同的焦点F，点A，B是两曲线的交点，若（）0，则双曲线的离心率为（ ）.A2 B1 C1 D1【答案】D13. 【20xx届辽宁省朝阳市三校协作体高三下学期开学联考】过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，则（ ）A B C D【答案】D【解析】根据题意，抛物线的焦点为，设直线的方程为，直线的方程为：,代入得:,由韦达定理得:,所以:,同理:,所以,所以答案为D14. 【20xx届湖南省怀化市高三第一次模考】已知双曲线 , 、是实轴顶点,是右焦点，是虚轴端点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是A B C D【答案】B15【20xx届安徽省安庆五校联盟高三下学期3月联考】已知、是双曲线（）的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为A B C D【答案】C【解析】如图所示，关于渐近线的对称点为，连接、，线段交渐近线于点，则，所以，又因为，所以16. 已知点在渐近线方程为的双曲线上，其中，分别为其左、右焦点若的面积为16且，则的值为 【答案】【名师原创测试篇】1已知抛物线一条过焦点的弦，点在直线上，且满足，在抛物线准线上的射影为，设是中的两个锐角，则 ( ) A B C D不确定【答案】C【解析】由抛物线知识可知是直角三角形，则，故选C.2. 若双曲线的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为，直线恰好经过点，则双曲线方程为 .【答案】3. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. D.由直线的斜率决定【答案】C【解析】若轴，则，所以；若直线的斜率存在，则设，与抛物线方程联立，消去，可得，设，则有.因为，所以.所以，故选C.4. 过双曲线的右焦点的一条直线交双曲线的左支于点，若线段的中点到坐标原点的距离为，则该双曲线的离心率的取值范围是 .【答案】5. 点为双曲线的右焦点，点为双曲线左支上一点，线段与圆相切于点，且，则双曲线的离心率等于（ ） ABCD2 【答案】C【解析】设左焦点，由，所以是线段的中点,连接，则，且，则，在中，由勾股定理得,所以，两边平方得，解得，6. 若函数（且）的图像经过定点，且过点的直线被抛物线截的弦长为，则直线的斜率为（ ）A. 0或-1 B.2或 C.-2或 D.【答案】D.
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