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第十三节定积分与微积分大体定理考纲传真1.了解定积分的实际背景，了解定积分的大体思想，了解定积分的概念.2.了解微积分大体定理的含义.抓基础自主学习|知识慌理1.定积分的概念与性质(1)定积分的概念给定一个在区间a,b上的函数y=f(x),将a,b区间分成n份，分点为：a=XoXlX2Xn10,.T=3.明考向题型突破|例若问11定积分的计算计算以下定积分.(K 4-S1H x)dx；(2) 2|1-x|dx.0解(1)二23 11x2dx= 2023.2(x 1)dx112分(2)2|1x|dx=1(1-x)dx+oo12112.2=x2x|+2xx|11919=1-20+2X2222X12-1=1.规律方式1.运用微积分大体定理求定积分时要注意以下几点:(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)关于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分；(4)注意用“Fxl=f(x)”查验积分的对错.2.依照定积分的几何意义，可利用面积求定积分.变式训练1(1)(2017石家庄质检(二)1(x2+1-x2)dx=.-12 x设f(x)= 1 xx 01(e为自然对数的底数)，那么ef(x)dx的值为0九2(1)2 + 3(2)33(1)原式=1 x2dx+ 1 1 -1-11 1 x2dx = x3| +3-11 1 x2 dx= | +3-11 卜1 -x2 dx-11 J1二x2 dx等于半径为-11的圆面积的2,即1Y1 -x2dx=2,故原-1才一匚上2式-2+3.，xC0,1,(2).f(x)=ef(x)dx=o1x2dx+o1 33x| +ln x| o1=3+ln e= 3.I考向2 I利用定积分求平面图形的面积例(1)曲线y=-x+2,v=爪与x轴所围成的面积为(2)已知曲线y=x2与直线y=kx(k0)所围成的曲边图形的面积为那么k3【导学号1(1)6(2)2(1)如下图，由丫=4及y=x+2可得交点横坐标为x=1.由定积分的几何意义可知，由y=也，y=-x+2及x轴所围成的封锁图形的面积为1076.231x22Wdx+2(x+2)dx=,x2|+2x一万|=13o2iy=x2,x=0,x=k,由y=kx,得丫=0或y=k2,那么曲线y=x2与直线v=kx(k0)所围成的曲边梯形的面积为k2k213k(kxx2)dx=2x3x3k3 1.3=2 3k =435即k3=8,.k=2.规律方式利用定积分求平面图形面积的步骤(1)依照题意画出图形；(2)借助图形确信出被积函数，求出交点坐标，确信积分的上、下限；(3)把曲边梯形的面积表示成假设干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案.易错警示：利用定积分求曲边图形面积时，必然要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时，要分不同情形讨论.变式训练2(1)(2016山东威海一模)曲线y=sinx(0x力与x轴围成的封锁区域的面积为.(2)抛物线y2=4x与直线y=2x4围成的平面图形的面积为.【导学号1兀(1)2(2)9(1)由题意知封锁区域的面积S=&inxdx=cosx|=一cos兀-(-cos0)=1(1)=2.由y2=4x, y=2x 4,x= 1,y= - 2x = 4, y = 4.画出草图如下图.选用x为积分变量所求面积为12日一(一2/X)dx+4(2a/X2x+4)dxoi3134422一22=4X-xz|+2X-xz|xI考向3I定积分在物理中的应用卜例kr 一辆汽车在高速公路上行驶,由于碰到紧急情形而刹车,一以九度v(t)25 =73t +币(t的单位：s, v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()【导学号111A. 1 + 25ln 5B. 8+25lnv3C. 4+25ln 5D. 4+50ln 2258C 由v(t) = 73t+E =0,可得t=4t= 3舍去，因此汽车从刹车到停25止一共行驶了 4 s,此期间行驶的距离为4v(t)dt= 4 73t+初 d00十t7t-2t2 + 25ln 1 + t ： = 4 + 25ln 5.0规律方式定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，若是变速直线运动物体的速度为v=v(t),那么从时刻t = a到t = b所通过白路程s= bv(t)dt.a(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x= a移思想与方式1.求定积分的两种经常使用方式：(1)利用微积分大体定理求定积分，其步骤如下：求被积函数f(x)的一个原函数F(x);计算F(b) F(a).(2)利用定积分的几何意义求定积分.2.关于求平面图形的面积问题，应第一画出平面图形的大致图形，然后依 照图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确信被积区间.易错与防范1.被积函数假设含有绝对信号，应先去绝对信号，再分段积分.2.假设积分式子中有几个不同的参数，那么必需先分清谁是被积变量.3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.4.定积分的几何意义是曲边梯形面积的代数和，但要注意面积非负，而定积分的结果能够为负.|+4x|32-4-(16-1)+(16-4)=9.333动到x=b时，力F(x)所做的功是W=午(x)dx.a5,0x2F相同的方向，从x=0处运动到x=4(单位：m)处，那么力F(x)做的功为J.36由题意知，力F(x)所做的功为W=午(x)dx=25dx+4(3x+4)dx002=5X2+3x2+4x|22323-2,八=10+2X42+4X4-2X22+4X2=36(J).名师微博
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