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1 1 考 点 考 情 两个计数原理1.对两个计数原理及排列、组合的考查主要有两种形式：一是直接利用计数原理、排列、组合知识进行计数，如福建T5,北京T12；二是与概率问题结合起来综合考查2对二项式定理的考查主要是求展开式中的某一项，某一项的二项式系数，各项系数和等，考查赋值技巧，难度不大，如江西T5,新课标全国卷T5,安徽T11.排列、组合问题二项式定理1(20xx福建高考)满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A14B13C12D10解析：选B因为a，b1,0,1,2，可分为两类：当a0时，b可能为1或1或0或2，即b有4种不同的选法；当a0时，依题意得44ab0，所以ab1.当a1时，b有4种不同的选法；当a1时，b可能为1或0或1，即b有3种不同的选法；当a2时，b可能为1或0，即b有2种不同的选法根据分类加法计数原理，(a，b)的个数为443213.2(20xx江西高考)5展开式中的常数项为()A80 B80C40 D40解析：选CTr1C(x2)5rrC(2)rx105r，令105r0，得r2，故常数项为C(2)240.3(20xx新课标全国卷)已知(1x)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则()A4 B3C2 D1解析：选D展开式中含x2的系数为CaC5，解得a1.4(20xx安徽高考)若8的展开式中x4的系数为7，则实数a_.解析：二项式8展开式的通项为Tr1Carx，令8r4，可得r3，故Ca37，易得a.答案：5(20xx北京高考)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_解析：按照要求要把序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券分成4组，然后再分配给4人，连号的情况是1和2,2和3,3和4,4和5，故其方法数是4A96.答案：961两个重要公式(1)排列数公式An(n1)(n2)(nm1)(n，mN*，且mn)(2)组合数公式C (n，mN*，且mn)2三个重要性质和定理(1)组合数性质C(n，mN*，且mn)；C(n，mN*，且mn)；C1.(2)二项式定理(ab)nCanCan1b1Can2b2CankbkCbn，其中通项Tr1Canrbr.(3)二项式系数的性质CC，CC，CC；CCCC2n；CCCCCC2n1.热点一两个计数原理的应用例1(1)某人设计了一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i1,2，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有()A22种B24种C25种 D36种(2)方程ayb2x2c中的a，b，c3，2,0,1,2,3，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()A60条 B62条C71条 D80条自主解答(1)设抛掷三次骰子的点数分别为a，b，c，根据分析，若a1，则bc11，只能是(5,6)，(6,5)，2种情况；若a2，则bc10，只能是(4,6)，(5,5)，(6,4)，3种情况；若a3，则bc9，只能是(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)，4种情况；若a4，则bc8，只能是(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，5种情况；若a5，则bc7，只能是(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，6种情况；若a6，则bc6，只能是(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，5种情况故总计23456525种可能(2)当a1时，若c0，则b2有4,9两个取值，共2条抛物线，若c0，则c有4种取值，b2有两种，共有248条抛物线；当a2时，若c0，b2取1,4,9三种取值，共有3条抛物线，若c0，c取1时，b2有2个取值，共有2条抛物线，c取2时，b2有2个取值，共有2条抛物线，c取3时，b2有3个取值，共有3条抛物线，c取3时，b2有3个取值，共有3条抛物线所以共有3223313条抛物线同理，a2，3,3时，共有抛物线31339条由分类加法计数原理知，共有抛物线39138262条答案(1)C(2)B规律总结应用两个计数原理解题的方法(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化1.如图所示，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有()A9种 B11种C13种 D15种解析：选C按照焊接点脱落的个数进行分类若脱落1个，有(1)，(4)，共2种；若脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6种；若脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4种；若脱落4个，有(1,2,3,4)，共1种综上，共有264113种焊接点脱落的情况2某次活动中，有30个人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为_(用数字作答)解析：其中最先选出的一个有30种方法，此时这个人所在的行和列共10个位置不能再选人，还剩一个5行4列的队形，选第二个人有20种方法，此时该人所在的行和列不能再选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是1 200.答案：1 200热点二排列与组合问题例2(1)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A232B252C472 D484(2)(20xx重庆高考)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_(用数字作答)自主解答(1)法一：从16张不同的卡片中任取3张，共有C560种，其中有两张红色的有CC种，其中三张卡片颜色相同的有C4种，所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法的种数为CCCC4472.法二：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有CCC64种，若2张颜色相同，则有CCCC144种；若红色卡片有1张，则剩余2张若不同色，有CCCC192种，若同色，则有CCC72种，所以共有6414419272472(种)(2)直接法分类，3名骨科，内科、脑外科各1名；3名脑外科，骨科、内科各1名；3名内科，骨科、脑外科各1名；内科、脑外科各2名，骨科1名；骨科、内科各2名，脑外科1名；骨科、脑外科各2名，内科1名所以选派种数为CCCCCCCCCCCCCCCCCC590.答案(1)C(2)590若本例(1)中增加条件“且黄色卡片至多1张”，则有多少种不同的取法？解：可分类完成：若取三张卡片，且三张卡片颜色均不同，则有CCCC256种；若取三张卡片只有两种颜色，则可为蓝绿一种中选两张，红黄一种选一张，共有2CCCCCC144种因此，所有取法种数为256144400. 规律总结1解决排列组合问题应遵循的原则先特殊后一般，先选后排，先分类后分步2解决排列组合问题的11个策略(1)相邻问题捆绑法；(2)不相邻问题插空法；(3)多排问题单排法；(4)定序问题倍缩法；(5)多元问题分类法；(6)有序分配问题分步法；(7)交叉问题集合法；(8)至少或至多问题间接法；(9)选排问题先选后排法；(10)局部与整体问题排除法；(11)复杂问题转化法3解决排列组合问题的四个角度解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；(3)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决3我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼15飞机准备着舰如果甲、乙两机必须相邻先后着舰，而丙、丁不能相邻先后着舰，那么不同的着舰方法有()A12种 B18种C24种 D48种解析：选C将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有AA种方法，而后将丙、丁进行插空，有3个空，则有A种排法，故共有AAA24种方法4某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种数为()A720 B520 C600 D360解析：选C根据题意，分2种情况讨论：若甲、乙其中一人参加，有CCA480种；若甲、乙2人都参加，共有CCA240种发言顺序，其中甲、乙相邻的情况有CCAA120种，故有240120120种则不同的发言顺序种数为480120600.热点三二项式定理例3(1)(20xx新课标全国卷)设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a7b，则m()A5B6C7D8(2)(20xx陕西高考)设函数f(x)则当x0时，f(f(x)表达式的展开式中常数项为()A20 B20C15 D15(3)若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.自主解答(1)根据二项式系数的性质知：(xy)2m的二项式系数最大有一项，Ca，(xy)2m1的二项式系数最大有两项，CCb.又13a7b，所以13C7C，即，解得m6.(2)依据分段函数的解析式，得f(f(x)f()6，Tr1C(1)rxr3.令r30，则r3，故常数项为C(1)320.(3)f(x)x5(1x1)5，它的通项为Tr1C(1x)5r(1)r，T3C(1x)3(1)210(1x)3，所以a310.答案(1)B(2)A(3)10规律总结应用通项公式要注意五点(1)它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；(2)Tr1是展开式中的第r1项，而不是第r项；(3)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；(4)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；(5)对二项式(ab)n展开式的通项公式要特别注意符号问题5若(12x)2 013a0a1xa2 013x2 013(xR)，则的值为()A2 B0C1 D2解析：选C(12x)2 013a0a1xa2 013x2 013(xR)，令x0，则a01.令x，则2 013a00，其中a01，所以1.6若8的展开式中常数项为1 120，则展开式中各项系数之和为_解析：8的展开式的通项为Tr1Cx8r(a2)rxrC(a2)rx82r，令82r0，解得r4，所以C(a2)41 120，所以a22，故88.令x1，得展开式中各项系数之和为(12)81.答案：1
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