新版浙江高考数学理二轮专题训练:第1部分 专题六 第2讲 排列、组合与二项式定理选择、填空题型

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1 1 考 点 考 情 两个计数原理1.对两个计数原理及排列、组合的考查主要有两种形式:一是直接利用计数原理、排列、组合知识进行计数,如福建T5,北京T12;二是与概率问题结合起来综合考查2对二项式定理的考查主要是求展开式中的某一项,某一项的二项式系数,各项系数和等,考查赋值技巧,难度不大,如江西T5,新课标全国卷T5,安徽T11.排列、组合问题二项式定理1(20xx福建高考)满足a,b1,0,1,2,且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A14B13C12D10解析:选B因为a,b1,0,1,2,可分为两类:当a0时,b可能为1或1或0或2,即b有4种不同的选法;当a0时,依题意得44ab0,所以ab1.当a1时,b有4种不同的选法;当a1时,b可能为1或0或1,即b有3种不同的选法;当a2时,b可能为1或0,即b有2种不同的选法根据分类加法计数原理,(a,b)的个数为443213.2(20xx江西高考)5展开式中的常数项为()A80 B80C40 D40解析:选CTr1C(x2)5rrC(2)rx105r,令105r0,得r2,故常数项为C(2)240.3(20xx新课标全国卷)已知(1x)(1x)5的展开式中x2的系数为5,则()A4 B3C2 D1解析:选D展开式中含x2的系数为CaC5,解得a1.4(20xx安徽高考)若8的展开式中x4的系数为7,则实数a_.解析:二项式8展开式的通项为Tr1Carx,令8r4,可得r3,故Ca37,易得a.答案:5(20xx北京高考)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_解析:按照要求要把序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券分成4组,然后再分配给4人,连号的情况是1和2,2和3,3和4,4和5,故其方法数是4A96.答案:961两个重要公式(1)排列数公式An(n1)(n2)(nm1)(n,mN*,且mn)(2)组合数公式C (n,mN*,且mn)2三个重要性质和定理(1)组合数性质C(n,mN*,且mn);C(n,mN*,且mn);C1.(2)二项式定理(ab)nCanCan1b1Can2b2CankbkCbn,其中通项Tr1Canrbr.(3)二项式系数的性质CC,CC,CC;CCCC2n;CCCCCC2n1.热点一两个计数原理的应用例1(1)某人设计了一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位,如果掷出的点数为i(i1,2,6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位,一直循环下去则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有()A22种B24种C25种 D36种(2)方程ayb2x2c中的a,b,c3,2,0,1,2,3,且a,b,c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有()A60条 B62条C71条 D80条自主解答(1)设抛掷三次骰子的点数分别为a,b,c,根据分析,若a1,则bc11,只能是(5,6),(6,5),2种情况;若a2,则bc10,只能是(4,6),(5,5),(6,4),3种情况;若a3,则bc9,只能是(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),4种情况;若a4,则bc8,只能是(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),5种情况;若a5,则bc7,只能是(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),6种情况;若a6,则bc6,只能是(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),5种情况故总计23456525种可能(2)当a1时,若c0,则b2有4,9两个取值,共2条抛物线,若c0,则c有4种取值,b2有两种,共有248条抛物线;当a2时,若c0,b2取1,4,9三种取值,共有3条抛物线,若c0,c取1时,b2有2个取值,共有2条抛物线,c取2时,b2有2个取值,共有2条抛物线,c取3时,b2有3个取值,共有3条抛物线,c取3时,b2有3个取值,共有3条抛物线所以共有3223313条抛物线同理,a2,3,3时,共有抛物线31339条由分类加法计数原理知,共有抛物线39138262条答案(1)C(2)B规律总结应用两个计数原理解题的方法(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时,一般先分类再分步,每一步当中又可能用到分类计数原理(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题,可恰当列出示意图或表格,使问题形象化、直观化1.如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通今发现A,B之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况有()A9种 B11种C13种 D15种解析:选C按照焊接点脱落的个数进行分类若脱落1个,有(1),(4),共2种;若脱落2个,有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),共6种;若脱落3个,有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4种;若脱落4个,有(1,2,3,4),共1种综上,共有264113种焊接点脱落的情况2某次活动中,有30个人排成6行5列,现要从中选出3人进行礼仪表演,要求这3人任意2人不同行也不同列,则不同的选法种数为_(用数字作答)解析:其中最先选出的一个有30种方法,此时这个人所在的行和列共10个位置不能再选人,还剩一个5行4列的队形,选第二个人有20种方法,此时该人所在的行和列不能再选人,还剩一个4行3列的队形,此时第三个人的选法有12种,根据分步乘法计数原理,总的选法种数是1 200.答案:1 200热点二排列与组合问题例2(1)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为()A232B252C472 D484(2)(20xx重庆高考)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_(用数字作答)自主解答(1)法一:从16张不同的卡片中任取3张,共有C560种,其中有两张红色的有CC种,其中三张卡片颜色相同的有C4种,所以3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张的不同取法的种数为CCCC4472.法二:若没有红色卡片,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色,则有CCC64种,若2张颜色相同,则有CCCC144种;若红色卡片有1张,则剩余2张若不同色,有CCCC192种,若同色,则有CCC72种,所以共有6414419272472(种)(2)直接法分类,3名骨科,内科、脑外科各1名;3名脑外科,骨科、内科各1名;3名内科,骨科、脑外科各1名;内科、脑外科各2名,骨科1名;骨科、内科各2名,脑外科1名;骨科、脑外科各2名,内科1名所以选派种数为CCCCCCCCCCCCCCCCCC590.答案(1)C(2)590若本例(1)中增加条件“且黄色卡片至多1张”,则有多少种不同的取法?解:可分类完成:若取三张卡片,且三张卡片颜色均不同,则有CCCC256种;若取三张卡片只有两种颜色,则可为蓝绿一种中选两张,红黄一种选一张,共有2CCCCCC144种因此,所有取法种数为256144400. 规律总结1解决排列组合问题应遵循的原则先特殊后一般,先选后排,先分类后分步2解决排列组合问题的11个策略(1)相邻问题捆绑法;(2)不相邻问题插空法;(3)多排问题单排法;(4)定序问题倍缩法;(5)多元问题分类法;(6)有序分配问题分步法;(7)交叉问题集合法;(8)至少或至多问题间接法;(9)选排问题先选后排法;(10)局部与整体问题排除法;(11)复杂问题转化法3解决排列组合问题的四个角度解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手(1)“分析”就是找出题目的条件、结论,哪些是“元素”,哪些是“位置”;(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合,对某些元素的位置有无限制等;(3)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互斥的几类,然后逐类解决;(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤,而每一步都是简单的排列组合问题,然后逐步解决3我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架歼15飞机准备着舰如果甲、乙两机必须相邻先后着舰,而丙、丁不能相邻先后着舰,那么不同的着舰方法有()A12种 B18种C24种 D48种解析:选C将甲、乙捆绑,与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列,有AA种方法,而后将丙、丁进行插空,有3个空,则有A种排法,故共有AAA24种方法4某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言,要求甲、乙2人至少有一人参加,若甲、乙同时参加,则他们发言时顺序不能相邻,那么不同的发言顺序种数为()A720 B520 C600 D360解析:选C根据题意,分2种情况讨论:若甲、乙其中一人参加,有CCA480种;若甲、乙2人都参加,共有CCA240种发言顺序,其中甲、乙相邻的情况有CCAA120种,故有240120120种则不同的发言顺序种数为480120600.热点三二项式定理例3(1)(20xx新课标全国卷)设m为正整数,(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a7b,则m()A5B6C7D8(2)(20xx陕西高考)设函数f(x)则当x0时,f(f(x)表达式的展开式中常数项为()A20 B20C15 D15(3)若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5,其中a0,a1,a2,a5为实数,则a3_.自主解答(1)根据二项式系数的性质知:(xy)2m的二项式系数最大有一项,Ca,(xy)2m1的二项式系数最大有两项,CCb.又13a7b,所以13C7C,即,解得m6.(2)依据分段函数的解析式,得f(f(x)f()6,Tr1C(1)rxr3.令r30,则r3,故常数项为C(1)320.(3)f(x)x5(1x1)5,它的通项为Tr1C(1x)5r(1)r,T3C(1x)3(1)210(1x)3,所以a310.答案(1)B(2)A(3)10规律总结应用通项公式要注意五点(1)它表示二项展开式的任意项,只要n与r确定,该项就随之确定;(2)Tr1是展开式中的第r1项,而不是第r项;(3)公式中a,b的指数和为n,且a,b不能随便颠倒位置;(4)要将通项中的系数和字母分离开,以便于解决问题;(5)对二项式(ab)n展开式的通项公式要特别注意符号问题5若(12x)2 013a0a1xa2 013x2 013(xR),则的值为()A2 B0C1 D2解析:选C(12x)2 013a0a1xa2 013x2 013(xR),令x0,则a01.令x,则2 013a00,其中a01,所以1.6若8的展开式中常数项为1 120,则展开式中各项系数之和为_解析:8的展开式的通项为Tr1Cx8r(a2)rxrC(a2)rx82r,令82r0,解得r4,所以C(a2)41 120,所以a22,故88.令x1,得展开式中各项系数之和为(12)81.答案:1
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