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第第1010节导数的概念与计算节导数的概念与计算 知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读【教材导读】 1.1.函数图像的切线与函数图像一定只有一个公共点吗函数图像的切线与函数图像一定只有一个公共点吗? ?提示提示: :不一定不一定, ,例例y=xy=x3 3在点在点(1,1)(1,1)处的切线处的切线y=3x-2y=3x-2与与y=xy=x3 3有两个公共点有两个公共点. .2.2.曲线曲线y=f(xy=f(x)“)“在点在点P(xP(x0 0,y,y0 0) )处的切线处的切线”与与“过点过点P(xP(x0 0,y,y0 0) )的切线的切线”有有何异同何异同? ?提示提示:(1):(1)曲线曲线y=f(xy=f(x) )在点在点P(xP(x0 0,y,y0 0) )处的切线是指处的切线是指P P为切点为切点, ,切线斜率为切线斜率为k=f(xk=f(x0 0) )的切线的切线, ,是唯一的一条切线是唯一的一条切线. .(2)(2)曲线曲线y=f(xy=f(x) )过点过点P(xP(x0 0,y,y0 0) )的切线的切线, ,是指切线经过是指切线经过P P点点. .点点P P可以是切点可以是切点, ,也可以不是切点也可以不是切点, ,而且这样的直线可能有多条而且这样的直线可能有多条. .知识梳理知识梳理几何意义几何意义函数函数f(xf(x) )在在x=xx=x0 0处的导数处的导数f(xf(x0 0) )的几何意义是在曲线的几何意义是在曲线y=f(xy=f(x) )上点上点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处的处的 ( (瞬时速度就是位移函数瞬时速度就是位移函数s(ts(t) )对时间对时间t t的的导数导数).).相应地相应地, ,切线方程为切线方程为 . .切线的斜率切线的斜率y-f(xy-f(x0 0)=f(x)=f(x0 0)(x-x)(x-x0 0) ) 3.3.导数的运算法则导数的运算法则(1)f(x)(1)f(x)g(x)= g(x)= ; ;(2)f(x)(2)f(x)g(x)= g(x)= , ,ccf(x)=cf(x)=cf(xf(x););f(x)f(x)g(xg(x) )f(x)g(x)+f(x)g(xf(x)g(x)+f(x)g(x) )【重要结论【重要结论】1.1.奇函数的导数是偶函数奇函数的导数是偶函数, ,偶函数的导数是奇函数偶函数的导数是奇函数. .周期函数的导数周期函数的导数还是周期函数还是周期函数. .2.2.函数函数y=f(xy=f(x) )的导数的导数f(xf(x) )反映了函数反映了函数f(xf(x) )的瞬时变化趋势的瞬时变化趋势, ,其正负其正负号反映了变化的方向号反映了变化的方向, ,其大小其大小|f(x|f(x)|)|反映了变化的快慢反映了变化的快慢,|f(x,|f(x)|)|越大越大, ,曲线在这点处的切线越曲线在这点处的切线越“陡陡”. .夯基自测夯基自测B B C C2.2.如果一个物体的运动方程为如果一个物体的运动方程为s=1-t+ts=1-t+t2 2, ,其中其中s s的单位是米的单位是米,t,t的单位是的单位是秒秒, ,那么物体在那么物体在3 3秒末的瞬时速度大小是秒末的瞬时速度大小是( ( ) )(A)7(A)7米米/ /秒秒 (B)6(B)6米米/ /秒秒 (C)5(C)5米米/ /秒秒 (D)8(D)8米米/ /秒秒解析解析: :因为因为s=-1+2t,s=-1+2t,所以物体在所以物体在3 3秒末的瞬时速度大小为秒末的瞬时速度大小为-1+2-1+23=5.3=5.故选故选C.C.C C3.(20153.(2015达州模拟达州模拟) )已知函数已知函数f(x)=ln x,f(xf(x)=ln x,f(x) )是是f(xf(x) )的导数的导数,f(x,f(x) )的大致图象是的大致图象是( ( ) )C C4.(20154.(2015济南模拟济南模拟) )函数函数f(x)=ef(x)=ex xlnln x x在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线方程是处的切线方程是( ( ) )(A)y=2e(x-1)(A)y=2e(x-1)(B)y(B)y=ex-1=ex-1(C)y=e(x-1)(C)y=e(x-1)(D)y=x-e(D)y=x-e考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识导数的概念与计算导数的概念与计算考点一考点一【例【例1 1】 求下列函数的导数求下列函数的导数: :(1)(1)f(x)=-2x+3f(x)=-2x+3x x; ;(2)(2)f(x)=logf(x)=log2 2x-xx-x2 2; ;解解: :(1)f(x)=(-2x+3(1)f(x)=(-2x+3x x)=(-2x)+(3=(-2x)+(3x x)=-2+3=-2+3x xln 3.ln 3.反思归纳反思归纳 导数计算的方法导数计算的方法(1)(1)连乘积形式连乘积形式: :先展开化为多项式的形式先展开化为多项式的形式, ,再求导再求导; ;(2)(2)分式形式分式形式: :观察函数的结构特征观察函数的结构特征, ,先化为整式函数或较为简单的分式先化为整式函数或较为简单的分式函数函数, ,再求导再求导; ;(3)(3)对数形式对数形式: :先化为和、差的形式先化为和、差的形式, ,再求导再求导; ;(4)(4)根式形式根式形式: :先化为分数指数幂的形式先化为分数指数幂的形式, ,再求导再求导; ;(5)(5)三角形式三角形式: :先利用三角函数公式化简先利用三角函数公式化简, ,再求导再求导. .【即时训练【即时训练】 求下列各函数的导数求下列各函数的导数. .(1)y=(3x(1)y=(3x2 2-4x)(2x+1);-4x)(2x+1);(2)y=x(2)y=x2 2sin x;sin x;解解: :(1)(1)因为因为y=(3xy=(3x2 2-4x)(2x+1)-4x)(2x+1)=6x=6x3 3+3x+3x2 2-8x-8x2 2-4x-4x=6x=6x3 3-5x-5x2 2-4x,-4x,所以所以y=18xy=18x2 2-10 x-4.-10 x-4.(2)y=(x(2)y=(x2 2)sin x+x)sin x+x2 2(sin x)(sin x)=2xsin x+x=2xsin x+x2 2cos x.cos x.求曲线的切线方程求曲线的切线方程考点二考点二【例【例2 2】 已知函数已知函数f(xf(x)=x)=x3 3-4x-4x2 2+5x-4.+5x-4.(1)(1)求曲线求曲线f(xf(x) )在点在点(2,f(2)(2,f(2)处的切线方程处的切线方程; ;解解: :(1)(1)因为因为f(xf(x)=3x)=3x2 2-8x+5,-8x+5,所以所以f(2)=1,f(2)=1,又又f(2)=-2,f(2)=-2,所以曲线所以曲线f(xf(x) )在点在点(2,f(2)(2,f(2)处的切线方程为处的切线方程为y-(-2)=x-2,y-(-2)=x-2,即即x-y-4=0.x-y-4=0.(2)(2)求经过点求经过点A(2,-2)A(2,-2)的曲线的曲线f(xf(x) )的切线方程的切线方程. .反思归纳反思归纳 求曲线的切线方程求曲线的切线方程, ,需注意以下两点需注意以下两点: :(1)(1)当曲线当曲线y=f(xy=f(x) )在点在点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线垂直于处的切线垂直于x x轴时轴时, ,函数在该点处函数在该点处的导数不存在的导数不存在, ,切线方程是切线方程是x=xx=x0 0. .(2)(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线. .曲线曲线y=f(xy=f(x) )在在点点P(xP(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线方程是处的切线方程是y-f(xy-f(x0 0)=f(x)=f(x0 0)(x-x)(x-x0 0););求过某点的切求过某点的切线方程线方程, ,需先设出切点坐标需先设出切点坐标, ,再依据已知点在切线上求解再依据已知点在切线上求解. .(2)(2)求斜率为求斜率为4 4的曲线的切线方程的曲线的切线方程. .导数的几何意义的应用导数的几何意义的应用( (高频考点高频考点) )考点二考点二考查角度考查角度1:1:根据导数几何意义求参数的值根据导数几何意义求参数的值. .高考扫描高考扫描:2015:2015高考新课标全国卷高考新课标全国卷,2015,2015高考新课标全国卷高考新课标全国卷,2014,2014高考新课标全国卷高考新课标全国卷,2014,2014高考新课标全国卷高考新课标全国卷,2013,2013高考高考新课标全国卷新课标全国卷【例【例3 3】 (1)(2015(1)(2015高考新课标全国卷高考新课标全国卷)已知函数已知函数f(xf(x)=ax)=ax3 3+x+1+x+1的的图象在点图象在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线过点处的切线过点(2,7),(2,7),则则a=a=;解析解析: :(1)(1)因为因为f(xf(x)=ax)=ax3 3+x+1,+x+1,所以所以f(xf(x)=3ax)=3ax2 2+1,+1,所以所以f(xf(x) )在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线斜率为处的切线斜率为k=3a+1,k=3a+1,又又f(1)=a+2,f(1)=a+2,所以切线方程为所以切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),y-(a+2)=(3a+1)(x-1),因为点因为点(2,7)(2,7)在切线上在切线上, ,所以所以7-(a+2)=3a+1,7-(a+2)=3a+1,解得解得a=1.a=1.答案答案: :(1)1(1)1(2)(2015(2)(2015高考新课标全国卷高考新课标全国卷)已知曲线已知曲线y=x+lnxy=x+lnx在点在点(1,1)(1,1)处的切处的切线与曲线线与曲线y=axy=ax2 2+(a+2)x+1+(a+2)x+1相切相切, ,则则a=a=.答案答案: :(2)8(2)8反思归纳反思归纳 已知曲线在某点处的切线方程求参数已知曲线在某点处的切线方程求参数, ,是利用导数的几是利用导数的几何意义求曲线的切线方程的逆用何意义求曲线的切线方程的逆用, ,解题的关键是这个点不仅在曲线上也解题的关键是这个点不仅在曲线上也在切线上在切线上. .考查角度考查角度2:2:导数的几何意义与其他知识交汇导数的几何意义与其他知识交汇. .【例【例4 4】 (1)(2015(1)(2015无锡模拟无锡模拟) )抛物线抛物线y=xy=x2 2上的点到直线上的点到直线:x-y-2=0:x-y-2=0的最的最短距离为短距离为;(2)(2)已知曲线已知曲线f(x)=xf(x)=xn+1n+1(n(nN N* *) )与直线与直线x=1x=1交于点交于点P,P,设曲线设曲线y=f(x)y=f(x)在点在点P P处处的切线与的切线与x x轴交点的横坐标为轴交点的横坐标为x xn n, ,则则loglog2 0152 015x x1 1+log+log2 0152 015x x2 2+ +log+log2 0152 015x x2 0142 014的值为的值为.反思归纳反思归纳 导数的几何意义与其他知识交汇导数的几何意义与其他知识交汇, ,往往是建立在求曲线的往往是建立在求曲线的切线方程基础之上切线方程基础之上, ,再融合其他知识再融合其他知识, ,如本题第如本题第(1)(1)题与平行线间距离交题与平行线间距离交汇命题汇命题, ,第第(2)(2)题与对数运算交汇命题题与对数运算交汇命题, ,解题的关键是正确运用相关基础解题的关键是正确运用相关基础知识并合理转化知识并合理转化. .备选例题备选例题【例【例1 1】 f(xf(x)=x(2 015+ln x),)=x(2 015+ln x),若若f(xf(x0 0)=2 016,)=2 016,则则x x0 0等于等于( () )(A)e(A)e2 2 (B)1 (B)1 (C)ln 2 (C)ln 2 (D)e(D)e答案答案: :3 3答案答案: :-3-3易混易错辨析易混易错辨析 用心练就一双慧眼用心练就一双慧眼混淆混淆“在在”与与“过过”某点处的切线致误某点处的切线致误易错提醒易错提醒: :(1)(1)求解本题时没有对点求解本题时没有对点(1,0)(1,0)的位置进行分析的位置进行分析, ,误认为是切误认为是切点导致错误点导致错误. .(2)(2)对于曲线方程切线问题要把握住两点对于曲线方程切线问题要把握住两点: :一是导数法则及导数公式的一是导数法则及导数公式的灵活运用灵活运用, ,二是确定是过点处的切线还是在点处的切线二是确定是过点处的切线还是在点处的切线. .即验证是否为即验证是否为切点切点, ,再选择相应的方法求解再选择相应的方法求解. .
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