新版高考数学文科江苏版1轮复习练习：第2章 基本初等函数、导数的应用 13 第13讲分层演练直击高考 Word版含解析

111.在 R 上可导的函数 f(x)的图象如图所示， 则关于 x 的不等式 xf(x)0的解集为_解析 由 f(x)的图象知，当 x1 时，f(x)0；当1x1 时，f(x)0，所以 xf(x)0)，则获得最大利润时的年产量为_百万件解析 依题意得，y3x2273(x3)(x3)，当 0 x0；当 x3 时，y0.因此，当 x3 时，该商品的年利润最大答案 33若 f(x)xsin xcos x，则 f(3)，f2 ，f(2)的大小关系为_解析 由 f(x)f(x)知函数 f(x)为偶函数，因此 f(3)f(3)又 f(x)sin xxcos xsin xxcos x，当 x0，2 时，f(x)0，当 x2，时，f(x)0，所以 f(x)在区间2，上是减函数，所以 f2 f(2)f(3)f(3)答案 f(3)f(2)f24若函数 f(x)x33xa 有 3 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是_解析 由于函数 f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可f(x)3x23，令 3x230，得 x1，只需 f(1)f(1)0，即(a2)(a2)0，故 a(2，2)答案 (2，2)5若 f(x)ln xx，0ab0，即 f(x)0，所以 f(x)在(0，e)上为增函数，又因为 0abe，所以 f(a)f(b)答案 f(a)0，若 f(1)0，那么关于 x 的不等式 xf(x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增又函数 f(x)是 R 上的偶函数，所以 f(1)f(1)0.当 x0 时，f(x)0，所以 0 x1；当 x0，所以 xlog0.5m（x1）2（7x）对任意 x2，4恒成立，则 m 的取值范围为_解析 以 0.5 为底的对数函数为减函数，所以得真数关系为x1x1x37x2x7，令 f(x)x37x2x7，则 f(x)3x214x1，因为 f(2)0且 f(4)0，所以 f(x)0 在2，4上恒成立，即在2，4上函数 f(x)为增函数，所以 f(x)的最大值为 f(4)45，因此 m45.答案 (45，)11(20 xx泰州期中考试)已知函数 f(x)ln x（x1）22.(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)证明：当 x1 时，f(x)1，当 x(1，x0)时，恒有 f(x)k(x1)解 (1)函数的定义域为(0，)，对函数求导，得 f(x)1xx1x2x1x.由 f(x)0，得x0，x2x1x0，解得 0 x1 52，故 f(x)的单调递增区间为0，1 52.(2)证明：令 F(x)f(x)(x1)，x(1，)，则有 F(x)1x2x，当 x(1，)时，F(x)1 时，F(x)1 时，f(x)1 满足题意；当 k1 时，对于 x1，有 f(x)x1k(x1)，则 f(x)1 满足题意；当 k1 时，令 G(x)f(x)k(x1)，x(1，)，则有 G(x)1xx1kx2（1k）x1x，由 G(x)0 得，x2(1k)x10.解得 x11k （1k）2421，所以当 x(1，x2)时，G(x)0，故 G(x)在(1，x2)内单调递增，从而当 x(1，x2)时，G(x)G(1)0，即 f(x)k(x1)，综上，k 的取值范围是 k1.12(20 xx江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二)如图，两居民小区 A 和 B 相距 20 km， 现计划在两居民小区外以 AB 为直径的半圆弧 AB 上选择一点 C 建信号发射塔， 其对小区的影响度与所选地点到小区的距离有关，对小区 A 和小区 B 的总影响度为小区 A 与小区 B 的影响度之和，记点 C 到小区 A 的距离为 x km，建在 C 处的信号发射塔对小区 A 和小区 B 的总影响度为 y，统计调查表明：信号发射塔对小区 A 的影响度与所选地点到小区 A 的距离的平方成反比，比例系数为 k；对小区 B 的影响度与所选地点到小区 B 的距离的平方成反比，比例系数为 9.当信号发射塔建在半圆弧 AB 的中点时，对小区 A 和小区 B 的总影响度为 0.065.(1)将 y 表示成 x 的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性， 并判断半圆弧 AB 上是否存在一点， 使建在此处的信号发射塔对小区 A 和小区 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到小区 A 的距离；若不存在，请说明理由解 (1)由题意知 ACBC，BC2400 x2，ykx29400 x2(0 x20)，其中当 x102时，y0.065，所以 k4.所以 y4x29400 x2(0 x20)(2)因为 y4x29400 x2(0 x20)，所以 y8x39（2x）（400 x2）218x48（400 x2）2x3（400 x2）2，令 y0 得 18x48(400 x2)2，所以 x2160，即 x4 10，当 0 x410时，18x48(400 x2)2，即 y0，所以函数 y4x29400 x2为单调递减函数，当 4 10 x8(400 x2)2，即 y0，所以函数 y4x29400 x2为单调递增函数所以当 x410时，即当点 C 到小区 A 的距离为 4 10 km 时，函数 y4x29400 x2(0 x20)有最小值，即信号发射塔对小区 A 和小区 B 的总影响度最小1某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品零售价为 p 元，销量 Q(单位： 件)与零售价 p(单位： 元)有如下关系： Q8 300170pp2， 则该商品零售价定为_元时利润最大，利润的最大值为_元解析 设商场销售该商品所获利润为 y 元，则y(p20)Q(p20)(8 300170pp2)p3150p211 700p166 000(p20)，则 y3p2300p11 700.令 y0 得 p2100p3 9000，解得 p30 或 p130(舍去)则 p，y，y变化关系如下表：p(20，30)30(30，)y0y极大值故当 p30 时，y 取极大值为 23 000 元又 yp3150p211 700p166 000 在20，)上只有一个极值，故也是最值所以该商品零售价定为每件 30 元，所获利润最大为 23 000 元答案 3023 0002(20 xx南京、盐城高三模拟)已知函数 f(x)ln x(ea)xb，其中 e 为自然对数的底数若不等式 f(x)0 恒成立，则ba的最小值为_解析：由不等式 f(x)0 恒成立可得 f(x)max0.f(x)1xea，x0，当 ea0，即ae 时， f(x)0， f(x)在(0， )上单调递增， 且 x 趋近于， f(x)趋近于， 此时 f(x)0不可能恒成立；当 ea0，即 ae 时，由 f(x)0 得 x1ae，当 x0，1ae 时，f(x)0，f(x)单调递增，当 x1ae，时，f(x)0，f(x)单调递减，此时 f(x)maxf1ae ln(ae)1b0，则 bln(ae)1，又 ae，所以baln（ae）1a，ae，令aet0，则baln t1te，t0.令 g(t)ln t1te，t0，则 g(t)ln tet（te）2，由 g(t)0 得 te，且当 t(0，e)时，g(t)0，g(t)单调递减，当 t(e，)时，g(t)0，g(t)单调递增，所以 g(t)ming(e)1e，即baln t1te1e，故ba的最小值为1e.答案：1e3(20 xx南京、盐城模拟)已知函数 f(x)满足：f(x)2f(x2)，xR；f(x)ln xax，x(0，2)；f(x)在(4，2)内能取到最大值4.(1)求实数 a 的值；(2)设函数 g(x)13bx3bx，若对任意的 x1(1，2)总存在 x2(1，2)使得 f(x1)g(x2)，求实数 b 的取值范围解 (1)当 x(4，2)时，有 x4(0，2)，由条件得 f(x4)ln(x4)a(x4)，再由条件得 f(x)2f(x2)4f(x4)4ln(x4)4a(x4)故 f(x)4x44a，x(4，2)由，f(x)在(4，2)内有最大值，方程 f(x)0，即4x44a0 在(4，2)内必有解，故 a0，且解为 x1a4.又最大值为4，所以 f(x)maxf(1a4)4ln(1a)4a(1a)4，即 ln(1a)0，所以 a1.(2)设 f(x)在(1，2)内的值域为 A，g(x)在(1，2)内的值域为 B，由条件可知 AB.由(1)知，当 x(1，2)时，f(x)ln xx，f(x)1x11xx0，故 f(x)在(1，2)内为减函数，所以 A(f(2)，f(1)(ln 22，1)对 g(x)求导得 g(x)bx2bb(x1)(x1)若 b0，则当 x(1，2)时，g(x)0，则当 x(1，2)时，g(x)0，g(x)为增函数，所以 B(g(1)，g(2)(23b，23b)由 AB，得23bln 22 且23b1，故必有 b332ln 2.若 b0，则 B0，此时 AB 不成立综上可知，b 的取值范围是(，32ln 23332ln 2，)4(20 xx江苏省扬州中学月考)设函数 f(x)ln x，g(x)m（xn）x1(m0)(1)当 m1 时，函数 yf(x)与 yg(x)在 x1 处的切线互相垂直，求 n 的值；(2)若函数 yf(x)g(x)在定义域内不单调，求 mn 的取值范围；(3)是否存在实数 a，使得 f2ax f(eax)fx2a 0 对任意正实数 x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数 a；若不存在，请说明理由解 (1)当 m1 时，g(x)1n（x1）2，所以 yg(x)在 x1 处的切线斜率为1n4，由 f(x)1x，所以 yf(x)在 x1 处的切线斜率为 1，所以1n411，所以 n5.(2)易知函数 yf(x)g(x)的定义域为(0，)，又 yf(x)g(x)1xm（1n）（x1）2x22m（1n）x1x（x1）2x2m（1n）1x（x1）2，由题意，得 x2m(1n)1x的最小值为负，所以 m(1n)4(注：结合函数 yx22m(1n)x1 图象同样可以得到)，所以m（1n）24m(1n)4，所以 m(1n)4，所以 mn3.(3)令(x)f2ax f(eax)fx2a axln 2aaxln xln xln 2a，其中 x0，a0，则(x)aln 2aaln xa1x，设(x)aln 2aaln xa1x，(x)ax1x2ax1x20，所以(x)在(0，)单调递减，(x)0 在区间(0，)必存在实根，不妨设(x0)0，即(x0)aln 2aaln x0a1x00，可得 ln x01ax0ln 2a1，(*)(x)在区间(0，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减，所以(x)max(x0)，(x0)(ax01)ln 2a(ax01)ln x0，将(*)式代入得(x0)ax01ax02，根据题意(x0)ax01ax020 恒成立又根据基本不等式，ax01ax02，当且仅当 ax01ax0时，等式成立，所以 ax01ax02，ax01 所以 x01a.代入(*)式得，ln1aln 2a，即1a2a，a.