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第二讲 数列的综合应用考情分析数列在解答题中的考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合试题难度中等.年份卷别考查角度及命题位置2017卷等差、等比数列的综合应用T17卷已知递推关系求通项与裂项求和T172016卷等差、等比数列的基本运算T17卷数列的递推关系式、等比数列的定义T17真题自检1(2017高考全国卷)已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，a11，b11，a2b22.(1)若a3b35，求bn的通项公式；(2)若T321，求S3.解析：设an的公差为d，bn的公比为q，则an1(n1)d，bnqn1.由a2b22得dq3.(1)由a3b35得2dq26.联立和解得(舍去)，因此bn的通项公式为bn2n1.(2)由b11，T321得q2q200，解得q5，q4.当q5时，由得d8，则S321.当q4时，由得d1，则S36.2(2017高考全国卷)设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和解析：(1)因为a13a2(2n 1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)两式相减得(2n 1)an2，所以an(n2)又由题设可得a12，符合上式，从而an的通项公式为an.(2)记的前n项和为Sn.由(1)知.则Sn.3(2016高考全国卷)已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解析：(1)由题意可得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10得2an1(an1)an(an1)因此an的各项都为正数，所以.故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an.4(2016高考全国卷)已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b11，b2，anbn1bn1nbn.(1)求an的通项公式；(2)求bn的前n项和解析：(1)由已知，a1b2b2b1，b11，b2，得a12.所以数列an是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an3n1.(2)由(1)知， anbn1bn1nbn，得bn1，因此bn是首项为1，公比为的等比数列记bn的前n项和为Sn，则Sn.由递推关系求通项方法结论求数列通项常用的方法(1)定义法：形如an1anC(C为常数)，直接利用定义判断其为等差数列形如an1kan(k为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列(2)叠加法：形如an1anf(n)，利用ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)，求其通项公式(3)叠乘法：形如f(n)0，利用ana1，求其通项公式(4)待定系数法：形如an1panq(其中p，q均为常数，pq(p1)0)，先用待定系数法把原递推公式转化为an1tp(ant)，其中t，再转化为等比数列求解(5)构造法：形如an1panqn(其中p，q均为常数，pq(p1)0)，先在原递推公式两边同除以qn1，得，构造新数列bn，得bn1bn，接下来用待定系数法求解题组突破1(2017威海模拟)已知数列an满足a11，且anan1()n(n2且nN*)，则数列an的通项公式为()AanBanCann2 Dan(n2)3n解析：由anan1()n(n2且nN*)得，3nan3n1an11,3n1an13n2an21，32a23a11，以上各式相加得3nann2，故an.答案：B2已知数列an满足：a1，an1an，则数列an的通项公式为an()A. B1C1 D.解析：通解：an11an1(an1)，令bnan1，则，从而得到，又b1a11，得bnb1，所以an1，选C.优解：a11，a21，a31，归纳可得an1，选C.答案：C3(2017宜昌调研)已知数列an满足a11，an(nN*，n2)，数列bn满足关系式bn(nN*)(1)求证：数列bn为等差数列；(2)求数列an的通项公式解析：(1)证明：bn，且an，bn1，bn1bn4.又b11，数列bn是以1为首项，4为公差的等差数列(2)由(1)知数列bn的通项公式为bn1(n1)44n3，又bn，an.数列an的通项公式为an.4已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an3n12(nN*)证明：数列an3为等比数列，并求出数列an的通项公式解析：当n1时，S1a12a1312，a19.当n1时，SnSn1an2an3n122an13(n1)122an2an13，an32(an13)，an3是以6为首项，2为公比的等比数列an362n1，an62n13.误区警示依据递推式an1panq(p，q为常数)求数列通项公式是最常见的一类题型当p1时，an为等差数列；当p1，p0，q0时，an为等比数列；当p1，p0，q0时，如何求出其通项公式是一个难点，化解这类问题的思路是利用待定系数法，转化成等比数列数列求和方法结论常用求和方法(1)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列把Sna1a2an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSna1qa2qanq，两式错位相减即可求出Sn.(2)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法裂项相消法适用于形如(其中an是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列(3)拆项分组法：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和典例(2017大连一中模拟)已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为Sn.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(1)na，求数列bn的前2n项和T2n.解析：(1)设等差数列an的公差为d，由已知得a10，令n1，则S1，所以a1a23，令n2，则S2，所以a2a315，a2a1d，a3a12d，联立，解得或(舍去)，所以an2n1.(2)由题意知，bn(1)na(1)nn(n1)1，所以T2n(121)(231)(341)(1)2n2n(2n1)1(121)(231)(341)(451)(2n1)2n12n(2n1)1484n2n22n.类题通法分类讨论思想在数列求和中的应用(1)当数列通项中含有(1)n时，在求和时要注意分n为奇数与偶数处理(2)对已知数列满足q，在求an的前n项和时分奇数项和偶数项分别求和演练冲关1已知函数f(n)且anf(n)f(n1)，则a1a2a3a100()A0B100C100D10 200解析：由题意，a1a2a3a1001222223232424252992100210021012(12)(32)(99100)(101100)(1299100)(23100101)1101100，故选B.解析：B2已知Sn为数列an的前n项和，且a11，anan13n，则S2 017_.解析：由anan13n，得an1an3n1(n2)，所以3(n2)，则数列an的所有奇数项和偶数项均构成以3为公比的等比数列，又a11，a1a23，所以a23，所以S2 01731 0092.答案：31 00923(2017广西三市联考)已知等比数列an的前n项和为Sn，且6Sn3n1a(nN*)(1)求a的值及数列an的通项公式；(2)若bn(1an)log3(aan1)，求数列的前n项和Tn.解析：(1)6Sn3n1a(nN*)，当n1时，6S16a19a，当n2时，6an6(SnSn1)23n，即an3n1，an是等比数列，a11，则9a6，得a3，数列an的通项公式为an3n1(nN*)(2)由(1)得bn(1an)log3(aan1)(3n2)(3n1)，Tn(1).数列与其他知识交汇的综合问题数列中的综合问题，大多与函数、方程、不等式及解析几何交汇，考查利用函数与方程的思想及分类讨论思想解决数列中的问题，用不等式的方法研究数列的性质，数列与解析几何交汇，主要涉及点列问题交汇点一数列与函数交汇典例1(2016大连双基测试)已知函数f(x)2sin(x)(0，|)的图象经过点，且在区间上为单调函数(1)求，的值；(2)设annf(nN*)，求数列an的前30项和S30.解析：(1)由题可得2 k，kZ，2k，kZ，解得2，2k，kZ.|，.(2)an2nsin(nN*)，数列(nN*)的周期为3，前三项依次为0，a3n2a3n1a3n(3n2)0(3n1)3n()(nN*)，S30(a1a2a3)(a28a29a30)10.类题通法数列与函数的交汇问题的类型及解题方法(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法等对式子化简变形演练冲关1设曲线y2 018xn1(nN*)在点(1,2 018)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令anlog2 018xn，则a1a2a2 017的值为()A2 018B2 017C1 D1解析：因为y2 018(n1)xn，所以切线方程是y2 0182 018(n1)(x1)，所以xn，所以a1a2a2 017log2 018(x1x2x2 017)log2 018()log2 0181.答案：D交汇点二数列与不等式交汇典例2(2017武汉调研)设等差数列an的前n项和为Sn，已知a19，a2为整数，且SnS5.(1)求an的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求证：Tn.解析：(1)由a19，a2为整数可知，等差数列an的公差d为整数又SnS5，a50，a60，于是94d0,95d0，解得d.d为整数，d2.故an的通项公式为an112n.(2)证明：由(1)，得()，Tn()()()()令bn，由函数f(x)的图象关于点(4.5，0)对称及其单调性，知0b1b2b3b4，b5b6b70，bnb41.Tn(1).类题通法数列与不等式的交汇多为不等式恒成立与证明和形式的不等式，在求解时要注意等价转化即分离参数法与放缩法的技巧应用演练冲关2(2017贵阳模拟)在数列an中，a12n1(nN*)，且a11，若存在nN*使得ann(n1)成立，则实数的最小值为_解析：依题意得，数列的前n项和为2n1，当n2时，(2n1)(2n11)2n1，且2111211，因此2n1(nN*)，.记bn，则bn0，1，bn1bn，数列bn是递增数列，数列bn的最小项是b1.依题意得，存在nN*使得bn成立，即有b1，的最小值是.答案：- 9 -
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