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专题二 数学传统文化的创新应用问题一、选择题1宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著四元玉鉴中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令落一形(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，则本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为()A91B105C120 D210解析：由题意得，从上往下第n层茭草束数为123n.136680，即n(n1)(n2)680，n(n1)(n2)151617，n15.故倒数第二层为第14层，该层茭草总束数为105.答案：B2张丘建算经卷上第23题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？意思是：现有一女子善于织布，若第1天织5尺布，从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月(按30天计)共织930尺布(注：1匹10丈，1丈10尺)，则每天比前一天多织()A.尺布 B.尺布C.尺布 D.尺布解析：设公差为d，则由a15，S30305d930，解得d.答案：B3我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，.第二步：将数列的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，an.则a1a2a2a3an1an等于()An2 B(n1)2Cn(n1) Dn(n1)解析：a1a2a2a3an1ann2n2n2n(n1)答案：C4我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d .人们还用过一些类似的近似公式，根据3.141 59判断，下列近似公式中最精确的一个是()Ad Bd Cd Dd 解析：由球体积公式得d .因为1.777 777 78，1.910 828 03，1.909 090 91.而最接近于，所以选D.答案：D5(2016河西五市二联)我国明朝著名数学家程大位在其名著算法统宗中记载了如下数学问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯，”诗中描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，那么塔顶有_盏灯()A2 B3C5 D6解析：本题可抽象为一个公比为2的等比数列anS7381，可解得a13，即塔顶有3盏灯，故选B.答案：B6(2017武汉调研)中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x为()A1.2 B1.6C1.8 D2.4解析：该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4x、3、1的长方体，组合体的体积VV圆柱V长方体()2x(5.4x)3112.6(其中3)，解得x1.6.故选B.答案：B7九章算术是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)已知弦AB1尺，弓形高CD1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为()(注：1丈10尺100寸，3.14，sin 22.5)A600立方寸 B610立方寸C620立方寸 D633立方寸解析：连接OA，OB，OD，设O的半径为R，则(R1)252R2，R13.sinAOD.AOD22.5，即AOB45.故AOB.S弓形ACBS扇形OACBSOAB13210126.33平方寸该木材镶嵌在墙中的体积为VS弓形ACB100633立方寸选D.答案：D8(2017石家庄模拟)李冶( 11921279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中益古演段主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算) ()A10步，50步 B20步，60步C30步，70步 D40步，80步解析：设圆池的半径为r步，则方田的边长为(2r40)步，由题意，得(2r40)23r213.75240，解得r10或r170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步故选B.答案：B二、填空题9九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升解析：设该数列an的首项为a1，公差为d，依题意即解得则a5a14da17d3d.答案：10“中国剩余定理”又称“孙子定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 016这2 016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an，则此数列的项数为_解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15除余1的数，故an15n14.由an15n142 016，解得n，又nN*，故此数列的项数为135.答案：13511传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1, 3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测：(1)b2 012是数列an中的第_项；(2)b2k1_(用k表示)解析：由题意可得an123n，nN*，故b1a4，b2a5，b3a9，b4a10，b5a14，b6a15，由上述规律可知：b2ka5k(k为正整数)，b2k1a5k1，故b2 012b21 006a51 006a5 030，即b2 012是数列an中的第5 030项答案：(1)5 030(2)12我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”“势”是几何体的高，“幂”是截面积意思是，两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等现有下题：在xOy平面上，将两个半圆弧(x1)2y21(x1)和(x3)2y21(x3)、两条直线y1和y1围成的封闭图形记为D，如图所示阴影部分记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过(0，y)(|y|1)作的水平截面，所得截面面积为48，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为_解析：根据提示，一个底面半径为1，高为2的圆柱平放，一个高为2，底面积为8的长方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积为122282216.答案：2216传统文化训练二一、选择题1(2017长沙模拟)九章算术是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为()A.升B.升C.升 D.升解析：自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，a9，依题意有，因为a2a3a1a4，a7a92a8，故a2a3a8.选A.答案：A 2.(2017沈阳模拟)中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为Nn(mod m)，例如112(mod 3)现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n等于()A21 B22C23 D24解析：当n21时，21被3整除，执行否当n22时，22除以3余1，执行否；当n23时，23除以3余2，执行是；又23除以5余3，执行是，输出的n23.故选C.答案：C3(2017南昌模拟)我国古代数学名著九章算术中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱)；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有_钱()A28 B32C56 D70解析：设甲、乙、丙三人各持有x，y，z钱，则，解方程组得，所以乙手上有32钱答案：B4(2017石家庄模拟)在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD.且BDCD，ABBDCD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是()解析：如图，作PQBC于Q，作QRBD于R，连接PR，则由鳖臑的定义知PQAB，QRCD.设ABBDCD1，则，即PQ，又，所以QR，所以PR，所以f(x)，故选A.答案：A5欧拉公式eixcos xisin x是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，复数eiei(1i)2的虚部是()A1 B1C2 D2解析：依题意得，eiei(1i)2(cos isin )(cosisin)2i12i，其虚部是2，选D.答案：D6宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5,2，则输出的n()A2 B3C4 D5解析：程序运行如下：n1，a5，b4，ab，继续循环；n2，a，b8，ab，继续循环；n3，a，b16，ab，继续循环；n4，a，b32，此时，ab.输出n4，故选C.答案：C7(2017衡水中学调研)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？()A12日 B16日C8日 D9日解析：由题易知良马每日所行里数构成一等差数列其通项公式为an10313(n1)13n90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为bn97(n1)n，二马相逢时所走路程之和为21 1252 250，所以2 250，即2 250，化简得n231n3600，解得n9或n40(舍去)，故选D.答案：D8埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式，例如，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，若每人分得一个面包的，不够，若每人分得一个面包的，还余，再将这分成5份，每人分得，这样每人分得.形如(n5,7,9,11，)的分数的分解：，按此规律，()A.B.C.D.解析：根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半，第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子都是1，即.故选A.答案：A二、填空题9某同学想求斐波那契数列0,1,1,2，(从第三项起每一项等于前两项的和)的前10项和，他设计了一个程序框图，则满足条件的整数P的值为_解析：由题意，第1次循环：a0，b1，i3，S011，求出第3项c1，求出前3项和S0112，a1，b1，满足条件，i4，执行循环体；第2次循环：求出第4项c112，求出前4项和S01124，a1，b2，满足条件，i5，执行循环体，第8次循环：求出第10项c，求出前10项和S，此时i10，由题意不满足条件，跳出循环，输出S的值，故判断框内应为“i9？”，所以P的值为9.答案：910古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n.记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n，正方形数N(n,4)n2，五边形数N(n,5)n2n，六边形数N(n,6)2n2n，可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.解析：由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)n2n，于是N(n,24)11n210n，故N(10,24)1110210101 000.答案：1 00011(2017贵阳模拟)辗转相除法，又名欧几里得算法，乃求两个正整数之最大公因子的算法它是已知最古老的算法之一，在中国则可以追溯至东汉时期出现的九章算术图中的程序框图所描述的算法就是欧几里得辗转相除法若输入m5 280，n12 155，则输出的m的值为_解析：通解：依题意，当输入m5 280，n12 155时，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，m除以n的余数r5 280，m12 155，n5 280，r0；进行第二次循环时，m除以n的余数r1 595，m5 280，n1 595，r0；进行第三次循环时，m除以n的余数r495，m1 595，n495，r0；进行第四次循环时，m除以n的余数r110，m495，n110，r0；进行第五次循环时，m除以n的余数r55，m110，n55，r0；进行第六次循环时，m除以n的余数r0，m55，n0，r0，此时结束循环，输出的m的值为55.优解：依题意，注意到5 280253511,12 155511221，因此5 280与12 155的最大公因子是55，即输出的m的值为55.答案：5512(2017合肥模拟)中国古代数学有着很多令人惊叹的成就北宋沈括在梦溪笔谈卷十八技艺篇中首创隙积术隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，最上一层长有a个，宽有b个，共计ab个木桶，每一层长宽各比上一层多一个，共堆放n层，设最底层长有c个，宽有d个，则共计有木桶个，假设最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层，则木桶的个数为_个解析：根据题意可知，a2，b1，n15，则c21416，d11415，代入题中所给的公式，可计算出木桶的个数为1 360.答案：1 360- 11 -
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